1.1集合的概念與表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念與表示 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1元素與集合的概念 2知識點2常用數集及表示符號 3知識點3元素與集合 5知識點4集合的表示方法 6知識點5集合的分類 8二、典型題型 8題型1元素與集合的關系 10題型2集合中元素的特性及應用 11三、難點題型 12題型1集合表示法的綜合應用 13題型2集合相等 14四、活學活用培優訓練 22一．基礎知識點知識點1元素與集合的概念：(1)一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合．集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．例1考察下列每組對象，能構成集合的是()①中國各地的美麗鄉村；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的自然數；④截止到2021年10月1日，參加一帶一路的國家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列說法中，正確的有________．(填序號)①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合．例3判斷下列每組對象能否構成一個集合．(1)不超過20的非負數；(2)方程x2－9＝0在實數范圍內的解；(3)某校2020年在校的所有高個子同學；(4)eq\r(3)的近似值的全體．知識點2常用數集及表示符號：名稱非負整數集(自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或N＋ZQR例1給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多選題）下列關系式表示錯誤的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3給出下列關系：①；②；③；④.其中正確的序號是______.知識點3元素與集合：1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關系(1)屬于(符號：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號：?或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作a?A或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．例1下列所給關系正確的個數是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)?Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三個元素2,4,6，當a∈A，有6－a∈A.則a的值為________．例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個數為________．知識點4集合的表示方法：表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“{}”內{a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(滿足的條件)表示出來{x|p(x)}Venn圖法用一個封閉曲線圍成的平面區域的內部表示一個集合例1用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負偶數組成的集合A.(2)小于8的質數組成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的實根組成的集合C.例2用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實數根組成的集合B；(3)一次函數y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點組成的集合D.例3用描述法表示下列集合：(1)正偶數集；(2)被3除余2的正整數集合；(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．知識點5集合的分類：(1)集合的分類有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個集合相等．例1下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．很小的實數可以構成集合B．集合{x|y=x2-1}與集合是同一個集合C．由這些數組成的集合有4個元素D．集合是指第二或第四象限內的點集例3已知集合，若，求的值．二．典型題型題型1元素與集合的關系解題技巧：判斷元素與集合關系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，則（

）A．B．C．D．例2（多選題）下列關系中，正確的是（

）A．B．C．D．例3已知集合，.(1)分別判斷元素，與集合A，B的關系；題型2集合中元素的特性及應用解題技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟例1若，則的值為（

）A． B． C．或 D．例2（多選題）下列四個命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合有一個元素 D．集合是有限集.例3若，則中的元素應滿足什么條件？三．難點題型題型1集合表示法的綜合應用解題技巧：集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合．題型2集合相等解題技巧：已知集合相等求參數，關鍵是根據集合相等的定義，建立關于參數的方程(組)，求解時還要注意集合中元素的互異性．例1若，則的值為（

）A．0B．1C．D．例2（多選題）下列各組集合中M與N表示同一集合的是（

）A．與B．與C．與D．與例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.四．活學活用培優訓練一、單選題1．當一個非空數集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數域，以下關于數域的說法：①是任何數域的元素；②若數域有非零元素，則；③集合是一個數域；④有理數集是一個數域；⑤任何一個有限數域的元素個數必為奇數，其中正確的選項是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤2．非空集合A具有下列性質：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④3．已知關于x的方程的解集為P，則P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，154．已知集合，且，則（

）A． B．C． D．不屬于中的任意一個二、多選題5．群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關于“·”構成一個群.則下列說法正確的有（

）A．關于數的乘法構成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．關于數的加法構成群6．設集合是實數集的子集，如果實數滿足：對任意，都存在，使得成立，那么稱為集合的聚點，則下列集合中，1為該集合的聚點的有（

）A． B．C． D．整數集Z三、填空題7．若集合有且只有一個元素，則的取值集合為__________．8．已知集合，則______.四、解答題9．已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個元素，求a的值，并求集合A；10．已知．根據下列條件，求實數a的值構成的集合．(1)當；(2)當M是單元素集（只含有一個元素的集合）；(3)當M是兩個元素的集合.11．設集合．(1)若、，證明：．(2)如果集合整數互素，那么是否存在x，使得x和都屬于B？若存在，請寫出一個；若不存在，請說明理由．12．已知集合，且．（1）判斷是否為中元素（2）設，求證：（3）證明：若，則是偶數；1.1集合的概念與表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念與表示 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1元素與集合的概念 2知識點2常用數集及表示符號 3知識點3元素與集合 5知識點4集合的表示方法 6知識點5集合的分類 8二、典型題型 8題型1元素與集合的關系 10題型2集合中元素的特性及應用 11三、難點題型 12題型1集合表示法的綜合應用 13題型2集合相等 14四、活學活用培優訓練 22一．基礎知識點知識點1元素與集合的概念：(1)一般地，一定范圍內某些確定的、不同的對象的全體組成一個集合．集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．例1考察下列每組對象，能構成集合的是()①中國各地的美麗鄉村；②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點；③不小于3的自然數；④截止到2021年10月1日，參加一帶一路的國家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列說法中，正確的有________．(填序號)①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合．例3判斷下列每組對象能否構成一個集合．(1)不超過20的非負數；(2)方程x2－9＝0在實數范圍內的解；(3)某校2020年在校的所有高個子同學；(4)eq\r(3)的近似值的全體．答案：例1B例2②[例1①中“美麗”標準不明確，不符合確定性，②③④中的元素標準明確，均可構成集合，故選B.例2①不正確．book的字母o有重復，共有3個不同字母，元素個數是3.②正確．集合M中有3個元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個數，集合是相同的，和元素的排列順序無關．例3(1)對任意一個實數能判斷出是不是“不超過20的非負數”，所以能構成集合．(2)能構成集合．(3)“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(如“2”)是不是它的近似值，所以不能構成集合．]知識點2常用數集及表示符號：名稱非負整數集(自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或N＋ZQR例1給出下列關系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多選題）下列關系式表示錯誤的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3給出下列關系：①；②；③；④.其中正確的序號是______.答案：例1B【解析】【分析】根據數集的定義，即可得答案；【詳解】是實數，①正確；是無理數，②錯誤；－3是整數，③錯誤；－是無理數，④正確.所以正確的個數為2.故選：B.例2．BCD【解析】【分析】根據給定條件利用各數集的定義并借助元素與集合的關系直接判斷即可作答.【詳解】對于①，是一個分數，分數是有理數，是有理數集，則，①正確，A正確；對于②，是一個無理數，而無理數是實數，是實數集，則，②錯誤，B錯誤；對于③，0是一個自然數，不是正整數，是正整數集，則，③錯誤，C錯誤；對于④，元素的屬性不確定，而是整數集，則是錯誤的，④錯誤，D錯誤.故答案為：BCD例3．①③④【解析】【分析】根據數的分類直接判斷.【詳解】由題可得，，，，故①③④正確.故答案為：①③④.知識點3元素與集合：1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關系(1)屬于(符號：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號：?或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作a?A或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．例1下列所給關系正確的個數是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)?Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三個元素2,4,6，當a∈A，有6－a∈A.則a的值為________．例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個數為________．答案：例1C例22或4例33[例1①π是無理數∴π∈R故①正確，eq\r(3)是無理數∴eq\r(3)∈R，②正確.eq\r(6)是無理數∴eq\r(6)?Q，④0是自然數是非負整數，0∈N，故④錯誤．|－2|＝2∈Z正確．例2集合A含有三個元素2,4,6且當a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.綜上所述，a＝2或4.例3∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素個數為3.]知識點4集合的表示方法：表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號“{}”內{a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(滿足的條件)表示出來{x|p(x)}Venn圖法用一個封閉曲線圍成的平面區域的內部表示一個集合例1用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負偶數組成的集合A.(2)小于8的質數組成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的實根組成的集合C.答案：(1)不大于10的非負偶數有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的質數有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的實根為2，－1，所以C＝{2，－1}．例2用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實數根組成的集合B；(3)一次函數y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點組成的集合D.答案：(1)因為大于1且小于6的整數包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的實數根為－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函數y＝x＋2與y＝－2x＋5的交點為(1,3)，所以D＝{(1,3)}．例3用描述法表示下列集合：(1)正偶數集；(2)被3除余2的正整數集合；(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合．答案：(1)偶數可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數，故限定n∈N*，所以正偶數集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設被3除余2的數為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數，故n∈N，所以被3除余2的正整數集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標軸上的點(x，y)的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0，即xy＝0，故平面直角坐標系中坐標軸上的點的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．知識點5集合的分類：(1)集合的分類有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個集合相等．例1下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】根據集合元素的性質可判斷.【詳解】對A，兩個集合中元素對應的坐標不同，則A不正確；對B，集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，故B正確；對C，兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數集，則C不正確；對D，是以為元素的集合，是空集，則D不正確．故選：B．例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．很小的實數可以構成集合B．集合{x|y=x2-1}與集合是同一個集合C．由這些數組成的集合有4個元素D．集合是指第二或第四象限內的點集【答案】CD【解析】【分析】A選項：集合中元素需要具備確定性，而很小的數標準不確定；B選項：點集和數集無法相等；C選項：集合中相同的元素算做1個；D選項：可以判斷出x和y異號;【詳解】A選項：很小的實數標準不確定，故不能構成集合；B選項：其中第一個集合是數集，第二個集合是點集，故不是同一集合．C選項：因為，故這些數組成的集合有4個元素．D選項：因為xy<0，故點（x，y）是第二或第四象限內的點．綜上，CD正確．故選：CD例3已知集合，若，求的值．【答案】-1.【解析】【分析】由集合相等，分析兩集合中元素，列出方程組，解得后可求值．【詳解】∵集合，∴解得，則．故答案為：－1．【點睛】本題考查集合的相等，解題時注意集合中元素的性質，特別是互異性．二．典型題型題型1元素與集合的關系解題技巧：判斷元素與集合關系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可．(2)推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用元素與集合的關系判斷即可.【詳解】由集合，即集合是所有的偶數構成的集合.所以，，，故選：D例2（多選題）下列關系中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】根據元素與集合間的關系逐項判斷即可.【詳解】因為是整數集，故，所以A正確；因為是實數集，故，所以B錯誤；因為是有理數集，故，所以C錯誤；因為是自然數集，故，所以D正確，故選：AD.例3已知集合，.(1)分別判斷元素，與集合A，B的關系；【答案】(1)，，，；【解析】【分析】（1）根據集合的描述，判斷是否存在使，屬于集合A，B即可.（2）法一：由（1）結論，并判斷是否有，即知A與B的關系；法二：={x|x是的整數倍}，={x|x是的奇數倍}，即知A與B的關系；(1)法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由題意得：，又，故，；，.題型2集合中元素的特性及應用解題技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟例1若，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】【分析】分別令和，根據集合中元素的互異性可確定結果.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：.故選：A.例2（多選題）下列四個命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合有一個元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【解析】【分析】根據空集的定義可判斷A；根據元素與集合的關系可判斷B；解方程求出集合中的元素可判斷C；為正整數的倒數時，都有可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：含有一個元素，所以不是空集，故選項A不正確；對于B：當時，，則，故選項B不正確；對于C：只有一個元素，故選項C正確；對于D：表示有理數，包括整數和分數，比如為正整數的倒數時，都有，所以集合是無限集，故選項D不正確；故選：ABD.例3若，則中的元素應滿足什么條件？【答案】且且【解析】【分析】根據集合中元素的互異性即可求解.【詳解】根據集合中元素的互異性可得：，解得且且，所以應滿足且且.三．難點題型題型1集合表示法的綜合應用解題技巧：集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關鍵例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數k的值組成的集合．[解](1)當k＝0時，方程kx2－8x＋16＝0變為－8x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；(2)當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個元素，則方程kx2－8x＋16＝0有兩個相等的實數根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意．綜上所述，k＝0或k＝1，故實數k的值組成的集合為{0,1}．例2已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有兩個元素，求實數a的取值范圍．[解]集合A中有兩個元素，即關于x的方程ax2－3x＋1＝0有兩個不相等的實數根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0.題型1集合相等解題技巧：已知集合相等求參數，關鍵是根據集合相等的定義，建立關于參數的方程(組)，求解時還要注意集合中元素的互異性．例1若，則的值為（

）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】【分析】根據題意得出或，求解即可.【詳解】因為，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，綜上，，則.故選：C.例2（多選題）下列各組集合中M與N表示同一集合的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】BCD【解析】【分析】根據集合相等的定義，結合函數定義域和值域的求解方法，即可對每個選項進行判斷.【詳解】對A：因為集合中的元素對應不同的兩個點，故集合不相等；對B：因為，故集合；，其定義域為，即，故；對C：，解得或，又當時，不滿足題意，舍去；即；，即，，解得，故，則；對D：集合均表示奇數構成的集合，故.故選：BCD.例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據題意可得，解方程組即可得出答案；（2）易得，再根據，列出方程組，解之即可得解.(1)解：若，則有，解得；(2)解：，因為，所以，解得.四．活學活用培優訓練一、單選題1．當一個非空數集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數域，以下關于數域的說法：①是任何數域的元素；②若數域有非零元素，則；③集合是一個數域；④有理數集是一個數域；⑤任何一個有限數域的元素個數必為奇數，其中正確的選項是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【解析】【分析】直接根據數域的定義，采用賦值法依次判斷各個選項即可得到結果.【詳解】對于①，當且時，由數域定義知：，是任何數域的元素，①正確；對于②，當且時，由數域定義知：，，，，…，，②正確；對于③，當，時，，③錯誤；對于④，若，則，且當時，，則有理數集是一個數域，④正確；對于⑤，，若且，則，則這個數不為則必成對出現，數域的元素個數必為奇數，⑤正確.故選：D.2．非空集合A具有下列性質：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】對于①：假設，令，由已知推出矛盾，可判斷①；對于②：由題意知，，再得，，從而判斷②；對于③：由，得，，結合性質可判斷③；對于④：，由，，可判斷④.【詳解】解：對于①：假設，則令，則，，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故①對；對于②：由題意知，，則，，故②正確；對于③：，，故③正確；對于④：，若，則，故④錯誤，所以一定成立的是①②③，故選：C.3．已知關于x的方程的解集為P，則P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15【答案】B【解析】【分析】先去掉絕對值，轉化為兩個方程，針對方程根的情況進行討論．【詳解】解：關于x的方程等價于①，或者②．由題意知，P中元素的和應是方程①和方程②中所有根的和．，對于方程①，．方程①必有兩不等實根，由根與系數關系，得兩根之和為6．而對于方程②，，當時，可知方程②有兩相等的實根為3，在集合中應按一個元素來記，故P中元素的和為9；當時，方程②無實根，故P中元素和為6；當時，方程②中，有兩不等實根，由根與系數關系，兩根之和為6，故P中元素的和為12.故選：B．4．已知集合，且，則（

）A． B．C． D．不屬于中的任意一個【答案】B【解析】【分析】設出的值，相加再判斷得解.【詳解】.故選：B二、多選題5．群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關于“·”構成一個群.則下列說法正確的有（

）A．關于數的乘法構成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．關于數的加法構成群【答案】CD【解析】【分析】根據群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.【詳解】對于A：若，對所有的a、，有，滿足乘法結合律，即①成立，滿足②的為1，但當時，不存在，使得，即③不成立，即選項A錯誤；對于B：因為，且，但，所以選項B錯誤；對于C：若，對所有的a、，有，滿足加法結合律，即①成立，滿足②的為0，，，使，即③成立；即選項C正確；對于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；當時，，滿足的，即②成立；，，使，即③成立；即選項D正確.故選：CD.6．設集合是實數集的子集，如果實數滿足：對任意，都存在，使得成立，那么稱為集合的聚點，則下列集合中，1為該集合的聚點的有（

）A． B．C． D．整數集Z【答案】ABC【解析】【分析】利用集合聚點的新定義，集合的表示及元素的性質逐項判斷.【詳解】解：對于A，因為集合中的元素是極限為的數列，所以對于任意，都存在，使得成立，所以為集合的聚點，故正確；對于B，因為集合中的元素是極限為1的數列，除第一項外，其余項與之間的距離均小于，所以對任意，都存在，使得的x，所以為集合的聚點，故正確；對于C，對