Page1專題6.25反比例函數(shù)（對稱性問題）（培優(yōu)篇）一、單選題1．如圖，若雙曲線與它的一條對稱軸交于A、B兩點，則線段AB稱為雙曲線的“對徑”．若雙曲線的對徑長是，則k的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．2．如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點A和其次象限的點C分別在雙曲線y=和y=的一支上，分別過點A、C作x軸的垂線，垂足分別為M和N，則有以下的結(jié)論：①=；②陰影部分面積是（k1+k2）；③當∠AOC=90°時，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，則兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①④3．如圖，點A與點B關于原點對稱，點C在第四象限，∠ACB=90°．點D是軸正半軸上一點，AC平分∠BAD，E是AD的中點，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點A,E．若△ACE的面積為6，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)的圖象關于直線對稱．下列命題：①圖象C與函數(shù)的圖象交于點；②點在圖象C上；③圖象C上的點的縱坐標都小于4，④，是圖象C上隨意兩點，若，則．其中真命題是（

）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②④5．如圖，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過點A（﹣2，2），過點A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點P（0，t），過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，點B經(jīng)軸對稱變換得到的點B'在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是（）A．1+ B．4+ C．4 D．-1+6．點關于y軸的對稱點在反比例函數(shù)的圖像上，下列說法不正確的是（

）A．y隨x的增大而減小B．點在該函數(shù)的圖像上C．當時，D．該函數(shù)圖像與直線的交點是（，）和（-，-）7．如圖，矩形的頂點坐標分別為，動點F在邊上（不與重合），過點F的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點E，直線分別與y軸和x軸相交于點D和G．給出下列命題：①若，則的面積為；②若，則點C關于直線的對稱點在x軸上；③滿足題設的k的取值范圍是；④若，則．其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．已知某函數(shù)的圖象C與函數(shù)的圖象關于直線對稱下列命題：①圖象C與函數(shù)的圖象交于點；②在圖象C上；③圖象C上的點的縱坐標都小于4；④，是圖象C上隨意兩點，若，則，其中真命題是（

）A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④9．如圖，一次函數(shù)和與反比例函數(shù)的交點分別為點、和，下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）①點與點關于原點對稱；②；③點的坐標是；④是直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，矩形的邊，，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和．給出以下命題：①若，則的面積為；②若，則點關于直線的對稱點在軸上；③滿足題設的的取值范圍是；④若，則；其中正確的命題個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題11．已知A、B兩點為反比例函數(shù)的圖像上的動點，他們關于y軸的對稱點恰好落在直線上，若點A、B的坐標分別為且，則________．12．如圖反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點與點關于軸對稱，點是軸上一點，若的面積為2，則該反比例函數(shù)的解析式為_____________13．如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B(2，0)，∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為.在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′．（1）當點O′與點A重合時，點P的坐標是；（2）設P(t，0)，當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是．14．如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形的對稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，邊在軸上，點在軸上，已知．若該反比例函數(shù)圖象與交于點，則點的橫坐標是_________．15．如圖，是反比例函數(shù)上的一個動點，過作軸，軸．（1）若矩形的對角線，則矩形周長為________；（2）如圖，點在上，且，若關于直線的對稱點恰好落在坐標軸上，連結(jié)，則的面積為___________．16．如圖，Rt△AOB的頂點O是坐標原點，點B在x軸上，∠OAB=90°，反比例函數(shù)（）的圖象關于AO所在的直線對稱，且與AO、AB分別交于D、E兩點，過點A作AH⊥OB交x軸于點H，過點E作EFOB交AH于點G，交AO于點F，則四邊形OHGF的面積為_________17．如圖，矩形的頂點坐標分別為、、、，動點在邊上（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，直線分別與軸和軸相交于點和，給出下列命題：①若，則的面積為；②若，則點關于直線的對稱點在軸上；③滿足題設的的取值范圍是；④若，則．其中正確的命題的序號是________．（寫出全部正確命題的序號）18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD與菱形GFED關于點D成中心對稱，點C，G在x軸的正半軸上，點A，F(xiàn)在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，延長AB交x軸于點P（1，0），若∠APO＝120°，則k的值是_____________．三、解答題19．綜合與探究如圖1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的橫坐標是－2，點關于坐標原點的對稱點為點，作直線．推斷點是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；如圖1，過坐標原點作直線交反比例函數(shù)的圖象于點和點，點的橫坐標是4，順次連接，，和．求證：四邊形是矩形；已知點在軸的正半軸上運動，點在平面內(nèi)運動，當以點，，和為頂點的四邊形為菱形時，請干脆寫出此時點的坐標．20．如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，與軸交于點，與軸交于點，軸于點，，點關于直線的對稱點為點．(1)點是否在這個反比例函數(shù)的圖像上？請說明理由；(2)連接、，若四邊形為正方形．①求、的值；②若點在軸上，當最大時，求點的坐標．21．如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線與相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．當時，求k的值；點B關于y軸的對稱點為C，連接；①推斷的形態(tài)，并說明理由；②當?shù)拿娣e等于16時，雙曲線上是否存在一點P，連接，使的面積等于面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．22．如圖，矩形的面積為8，它的邊位于x軸上．雙曲線經(jīng)過點A，與矩形的邊交于點E，點B在雙曲線上，連接并延長交x軸于點F，點G與點О關于點C對稱，連接，．求k的值；求的面積；求證：四邊形AFGB為平行四邊形．23．如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與軸交于點．(1)求和的值．(2)若點與點關于直線對稱，連接．①求點的坐標；②若點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，以點為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，干脆寫出點的坐標；若不能，請說明理由．24．如圖，菱形OABC的點B在y軸上，點C坐標為（12，5），雙曲線的圖象經(jīng)過點A．(1)菱形OABC的邊長為____；(2)求雙曲線的函數(shù)關系式；(3)①點B關于點O的對稱點為D點，過D作直線l垂直于y軸，點P是直線l上一個動點，點E在雙曲線上，當P、E、A、B四點構成平行四邊形時，求點E的坐標；②將點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點Q，當點Q落在雙曲線上時，求點Q的坐標．參考答案1．B【分析】依據(jù)題中的新定義：可得出對徑AB=OA+OB=2OA，由已知的對徑長求出OA的長，過A作AM垂直于x軸，設A（a，a）且a>0，在直角三角形AOM中，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例解析式中，即可求出k的值．解：過A作AM⊥x軸，交x軸于點M，如圖所示：設A(a,a)，a>0，可得出AM=OM=a，又∵雙曲線的對徑AB=，∴OA=OB=，在Rt△AOM中,依據(jù)勾股定理得：AM2+OM2=OA2，則a2+a2=()2，解得：a=2或a=?2(舍去)，則A(2,2)，將x=2,y=2代入反比例解析式得：2=，解得：k=4故選B2．D解：試題分析：過點C作CD⊥y軸于點D，過點A作AE⊥y軸于點E．∵，∴CD=AE．由題意，易得四邊形ONCD與四邊形OMAE均為矩形，∴CD=ON，AE=OM，∴ON=OM．∵，CN·ON=，AM·OM=∴，結(jié)論①正確．由題意＞0，＜0，∴陰影部分的面積為，∴結(jié)論②錯誤．當∠AOC=90°時，易得△CON∽△OAM，要使成立，則需△CON≌△OAM，而△CON與△OAM不愿定全等，故結(jié)論③錯誤．若四邊形OABC為菱形，則OA=OC，∵ON=OM，∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），∴=，即=－，∴兩雙曲線既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，結(jié)論④正確．考點：反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形全等．3．C【分析】過A作,連接OC、OE，依據(jù)點A與點B關于原點對稱，∠ACB=90°，AC平分∠BAD得出，從而得出三角形AEC的面積與三角形AOE的面積相等，設，依據(jù)E是AD的中點得出得出三角形OAE的面積等于四邊形AFGE的面積建立等量關系求解．解：過A作,連接OC，連接OE：∵點A與點B關于原點對稱，∠ACB=90°∴又∵AC平分∠BAD∴∴∴設，依據(jù)E是AD的中點得出:∴解得：故答案選：C．【點撥】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，有確定的難度．將三角形AEC的面積轉(zhuǎn)化與三角形AOE的面積相等是解題關鍵．4．A【分析】依據(jù)軸對稱的性質(zhì)和圖象點的特征可知①正確；依據(jù)點關于y=2的對稱點坐標在函數(shù)圖象上，即可判定②正確；由上隨意一點為，則點與對稱點的縱坐標為可推斷③錯誤；由關于對稱點性質(zhì)可推斷④不正確；解：點，是函數(shù)的圖象的點，也是對稱軸直線上的點，∴點，是圖象與函數(shù)的圖象交于點；①正確；點，關于對稱的點為點，，，在函數(shù)上，點，在圖象上；②正確；中，，取上隨意一點為，則點與對稱點的縱坐標為；圖象C上的點的縱坐標不愿定小于4.故③錯誤；，，，關于對稱點為，，，在函數(shù)上，，，若，則；若或，則；④不正確；故選．【點撥】本題考查反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)；嫻熟駕馭函數(shù)關于直線的對稱時，對應點關于直線對稱是解題的關鍵．5．A【分析】依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征由A點坐標為（-2，2）得到k=-4，即反比例函數(shù)解析式為y=-，且OB=AB=2，則可推斷△OAB為等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后軸對稱的性質(zhì)得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y軸，則點B的坐標可表示為（-，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-|=，然后解方程可得到滿足條件的t的值．解：如圖，∵點A坐標為（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函數(shù)解析式為y=-，∵OB=AB=2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵點B和點B′關于直線l對稱，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y軸，∴點B′的坐標為（-，t），∵PB=PB′，∴t-2=|-|=，整理得t2-2t-4=0，解得t1=，t2=1-（不符合題意，舍去），∴t的值為．故選A．【點撥】本題是反比例函數(shù)的綜合題，解決本題要駕馭反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)及會用求根公式法解一元二次方程．6．A【分析】先確定對稱點坐標為（-1，-3），將其代入反比例函數(shù)中求得k=3，得到函數(shù)解析式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答.解：點關于y軸的對稱點坐標為（-1，-3），將（-1，-3）代入，得k=，∴反比例函數(shù)解析式為，∵k=3>0，∴在每個象限內(nèi)y隨著x的增大而減小，故A錯誤；當x=1時，y=3，故B正確；當時，，故C正確；解方程組，得或，故函數(shù)圖像與直線的交點是（，）和（-，-），故D正確，故選：A.【點撥】此題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象交點問題.7．D【分析】①若，則計算，故命題①正確；②如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題②正確；③因為點不經(jīng)過點，所以，即可得出的范圍；④求出直線的解析式，得到點、的坐標，然后求出線段、的長度；利用算式，求出，故命題④正確．解：命題①正確．理由如下：，，，，，．，故①正確；命題②正確．理由如下：，，，，，．如答圖，過點作軸于點，則，；在線段上取一點，使得，連接．在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：．，又，直線為線段的垂直平分線，即點與點關于直線對稱，故②正確；命題③正確．理由如下：由題意，點與點不重合，所以，，故③正確；命題④正確．理由如下：設，則，．設直線的解析式為，則有，解得，．令，得，；令，得，．如答圖，過點作軸于點，則，．在中，，，由勾股定理得：；在中，，，由勾股定理得：．，解得，，故命題④正確．綜上所述，正確的命題是：①②③④，共4個，故選：D．【點撥】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法、矩形及勾股定理等多個學問點，有確定的難度．本題計算量較大，解題過程中留意細致計算．8．A【分析】依據(jù)題意畫出圖形，①將代入得，從而可推斷①正確；②令時，，即關于時的對稱點為，從而可推斷②正確；③依據(jù)圖形分析可得C右側(cè)圖與x軸間距離小于4，但y軸左側(cè)與x軸距離大于4，從而可推斷③錯誤；④由圖像即可推斷④錯誤．解：由圖像C與反比例函數(shù)關于對稱可得如下圖，①當時，，故①正確；②當時，，即關于時的對稱點為，故②正確；③如圖：與之間距離小于2，即C與x軸間距離小于4（C右側(cè)圖），但y軸左側(cè)與x軸距離大于4，故③錯誤；④當時，，則；當時，，則；∴當x1＞0＞x2時，y2＞y1故④錯誤．故答案為：A．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)；嫻熟駕馭函數(shù)關于直線對稱時，對應點關于直線對稱是解題的關鍵．9．D【分析】依據(jù)題意，由反比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出點A、B、C的坐標，然后通過計算，分別進行推斷，即可得到答案．解：依據(jù)題意，由，解得：或，∴點A為（1，2），點B為（，），∴點A與點B關于原點對稱；故①③正確；由，解得：或，∴點C為（，）；∴，，∴，故②正確；∵，，，∵，∴，∴是直角三角形，故④正確；故選：D．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理求兩點間的長度，以及兩直線的交點問題，解題的關鍵是嫻熟駕馭所學的性質(zhì)進行解題．10．B【分析】①若，則計算，故命題①正確；②如答圖所示，若，可證明直線是線段的垂直平分線，故命題②正確；③因為點不經(jīng)過點，所以，即可得出的范圍；④求出直線的解析式，得到點、的坐標，然后求出線段、的長度；利用算式，求出，故命題④錯誤．解：命題①正確．理由如下：，，，，，，故①正確；命題②正確．理由如下：，，，，．如答圖，過點作軸于點，則，；在線段上取一點，使得，連接．在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：．，又，直線為線段的垂直平分線，即點與點關于直線對稱，故②正確；命題③錯誤．理由如下：由題意，點與點不重合，所以，，故③錯誤；命題④錯誤．理由如下：設，則，．設直線的解析式為，則有，解得，．令，得，；令，得，．如答圖，過點作軸于點，則，．在中，，，由勾股定理得：；在中，，，由勾股定理得：．，解得，，故命題④錯誤．綜上所述，正確的命題是：①②，共2個，故選：B．【點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征等，綜合性比較強，難度較大．11．1【分析】設點，關于y軸得對稱點，設點，關于y軸得對稱點，代入，求出k，再求即可．解：A、B兩點為反比例函數(shù)的圖像上，點A、B的坐標分別為，則點，關于y軸得對稱點，設點，關于y軸得對稱點，把A′、B′坐標分別代入得，和，兩式相減得，，解得，則，，故答案為1．【點撥】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，解題關鍵是嫻熟運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)學問，通過設坐標建立等量關系，表示出比例系數(shù)．12．【分析】依據(jù)題意，設點A為（x，y），則AB=2y，由點C在y軸上，則△ABC的AB邊上的高為，結(jié)合面積公式，即可求出k的值.解：∵反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴設點A為（x，y），且點A在其次象限，∵點與點關于軸對稱，∴AB=2y，∵點C在y軸上，∴△ABC的AB邊上的高為，∴，∴，∵點A在其次象限，則，∴，∴，即，∴反比例函數(shù)的解析式為：.故答案為：.【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和反比例函數(shù)的幾何意義，能依據(jù)三角形的面積求出xy的值是解此題的關鍵．13．（1）（4，0）；（2）4≤t≤或≤t≤－4【分析】（1）當點O′與點A重合時，即點O與點A重合，進一步解直角三角形AOB，利用軸對稱的現(xiàn)在解答即可；（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時，P的坐標即可．解：（1）當點O′與點A重合時，∵∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經(jīng)軸對稱變換后的像是O′B′．AP′=OP′，∴△AOP′是等邊三角形，∵B（2，0），∴BO=BP′=2，∴點P的坐標是（4，0），（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°，∴OM=t，OO′=t，過O′作O′N⊥X軸于N，∠OO′N=30°，∴ON=t，NO′=t，∴O′（t，t），依據(jù)對稱性可知點P在直線O′B′上，設直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，解得：，∴y=﹣x+t①，∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=2，∴A（2，2）），代入反比例函數(shù)的解析式得：k=4，∴y=②，①②聯(lián)立得，x2﹣tx+4=0，即x2﹣tx+4=0③，b2﹣4ac=t2﹣4×1×4≥0，解得：t≥4，t≤﹣4．又O′B′=2，依據(jù)對稱性得B′點橫坐標是1+t，當點B′為直線與雙曲線的交點時，由③得，（x﹣t）2﹣+4=0，代入，得（1+t﹣t）2﹣+4=0，解得t=±2，而當線段O′B′與雙曲線有交點時，t≤2或t≥﹣2，綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．【點撥】本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根的判別式等學問點的理解和駕馭，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有確定的難度．14．【分析】過點P作x軸垂線PG，連接BP，可得BP＝2，G是CD的中點，所以P（2，），從而求出反比例函數(shù)的解析式，易求D（3，0），，待定系數(shù)法求出DE的解析式為，聯(lián)立反比例函數(shù)與一次函數(shù)即可求點Q的坐標．解：過點P作x軸垂線PG，連接BP，∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中點，∴CG=1，CP=2，∴PG＝=，∴P（2，），∵P在反比例函數(shù)上，∴k＝2，∴，∵OD=OC+CD=3,BE=2BP=4,∴D（3，0），E（4，），設DE的解析式為y＝mx＋b，∴，∴，∴，聯(lián)立方程解得∵Q點在第一象限，∴點橫坐標為，故答案為：．【點撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)；將正六邊形的邊角關系與反比例函數(shù)上點的坐標將結(jié)合是解題的關系．15．

4或【分析】（1）設矩形的兩邊為、，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，再依據(jù)勾股定理得到，依據(jù)完全平分公式變形得到，則可計算出，從而得到矩形的周長；（2）當關于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖2，與相交于點，利用三角形面積公式得到，再依據(jù)對稱軸的性質(zhì)得垂直平分，，接著證明垂直平分得到，所以，則；當關于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖3，證明四邊形為正方形得到，，則可計算出，而，于是得到．解：（1）設矩形的兩邊為、，則，矩形的對角線，，，，，矩形的周長為，故答案為；（2）當關于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖2，與相交于點，矩形的面積，而，，點與點關于對稱，垂直平分，，，，，，，垂直平分，，，；當關于直線的對稱點恰好落在軸上，如圖3，點與點關于對稱，，，為等腰直角三角形，平分，四邊形為正方形，，，，，而，，綜上所述，的面積為4或，故答案為4或．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：嫻熟駕馭反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)的幾何意義和軸對稱的性質(zhì)；靈敏運用矩形的性質(zhì)進行幾何計算；理解坐標與圖形性質(zhì)．16．【分析】先依據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得直線的解析式為，從而可得，再依據(jù)等腰直角三角形的判定可得是等腰直角三角形，從而可得，然后設點的坐標為，點的坐標為，由此可得，，，從而可得，最終利用面積減去面積即可得．解：反比例函數(shù)的圖象關于所在的直線對稱，直線的解析式為，，，，，是等腰直角三角形，（等腰三角形的三線合一），設點的坐標為，點的坐標為，，，，，即，則四邊形的面積為，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、等腰直角三角形的三線合一等學問點，嫻熟駕馭反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．17．①②【分析】①若k＝4，則計算S△OEF＝，故命題①正確；②若，可證明直線EF是線段CN的垂直平分線，故命題②正確；③因為點F不經(jīng)過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；④求出直線EF的解析式，得到點D、G的坐標，然后求出線段DE、EG的長度；利用算式，求出k＝1，故命題④錯誤．解：命題①正確．理由如下：∵k＝4，∴E（，3），F(xiàn)（4，1），∴CE＝4?＝，CF＝3?1＝2．∴S△OEF＝S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△CEF＝S矩形AOBC?OA?AE?OB?BF?CE?CF＝4×3?×3×?×4×1?××2＝12?2?2?＝，故命題①正確；命題②正確．理由如下：∵，∴E（，3），F(xiàn)（4，），∴CE＝4?＝，CF＝3?＝．如圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則EM＝3，OM＝；在線段BM上取一點N，使得EN＝CE＝，連接NF．在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2?EM2=，∴MN＝，∴BN＝OB?OM?MN＝4??＝．在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2=，∴NF＝．∴NF＝CF，又EN＝CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關于直線EF對稱，故命題②正確；命題③錯誤．理由如下：由題意，得點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命題③錯誤；命題④正確．理由如下：設k＝12m，則E（4m，3），F(xiàn)（4，3m）．設直線EF的解析式為y＝ax＋b，則，解得，∴y＝x＋3m＋3．令x＝0，得y＝3m＋3，令y＝0，得x＝4m＋4，∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．如圖，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM＝AE＝4m，EM＝3．在Rt△ADE中，AD＝OD?OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；在Rt△MEG中，MG＝OG?OM＝（4m＋4）?4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．∴DE?EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，∴k＝12m＝1，故命題④錯誤．綜上所述，正確的命題是：①②，故答案為：①②．【點撥】本題綜合考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、比例系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法求解析式、矩形的性質(zhì)及勾股定理等學問點，本題計算量較大，正確的計算實力是解決問題的關鍵．18．【分析】連接、交于點，作軸于點，設線段，得，由菱形和菱形關于點成中心對稱結(jié)合可得點和點的坐標，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征列出方程，求，最終求得．解：連接、交于點，作軸于點，設，，，，菱形和菱形關于點成中心對稱，點，在軸的正半軸上，軸，，，，，，，點，，，點和點在反比例函數(shù)圖象上，，解得：（舍或，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形三邊關系、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是利用菱形的性質(zhì)表達出點和點的坐標．19．(1)點在反比例函數(shù)的圖象上，理由見分析；(2)見分析；(3)，和【分析】（1）求出點B的坐標，推斷即可；（2）證明OA=OB，OC=OD，推出四邊形ADBC是平行四邊形，再證明AB=CD，可得結(jié)論；（3）當四邊形OBPQ是菱形時，對圖形進行分類探討，設點P的坐標為，然后依據(jù)鄰邊相，用兩點間距離公式表示線段長度列方程即可．解：（1）結(jié)論：點在反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點的橫坐標是－2，∴把代入中，得，∴點的坐標是，∵點關于坐標原點的對稱點為點，∴點的坐標是，把代入中，得，∴點在反比例函數(shù)的圖象上；（2）證明：在反比例函數(shù)中令x=4則y=-2，∵過坐標原點作直線交反比例函數(shù)的圖象于點和點，∴C，D關于原點對稱，∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，∵A，B關于原點對稱，∴OA=OB，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∵CD=，AB=，∴AB=CD，∴四邊形ACBD是矩形；（3）設點P的坐標為，如圖，當四邊形OBP1Q1是菱形時，可得，∴，解得，∴P1；當四邊形OBQ2P2是菱形時，可得，∴，∴P2；當四邊形OP3BQ3是菱形時，可得,∴，解得，∴P3，綜上所述，滿足條件的點的坐標分別為，和．【點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等學問，解題的關鍵是學會用分類探討的思想思索問題，屬于中考壓軸題．20．(1)點在這個反比例函數(shù)的圖像上，理由見分析；(2)①，；②點的坐標為【分析】（1）設點的坐標為，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，平分，如圖，連接交于，得到，再結(jié)合等腰三角形三線合一得到為邊上的中線，即，求出，進而求得，于是得到點在這個反比例函數(shù)的圖像上；（2）①依據(jù)正方形的性質(zhì)得到，垂直平分，求得，設點的坐標為，得到（負值舍去），求得，，把，代入得，解方程組即可得到結(jié)論；②延長交軸于，依據(jù)已知條件得到點與點關于軸對稱，求得，則點即為符合條件的點，求得直線的解析式為，于是得到結(jié)論．（1）解：點在這個反比例函數(shù)的圖像上．理由如下：一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點，設點的坐標為，點關于直線的對稱點為點，，平分，連接交于，如圖所示：，軸于，軸，，，，，在Rt中，，，為邊上的中線，即，，，，點在這個反比例函數(shù)的圖像上；（2）解：①四邊形為正方形，，垂直平分，，設點的坐標為，，，，（負值舍去），，，把，代入得，；②延長交軸于，如圖所示：，，點與點關于軸對稱，，則點即為符合條件的點，由①知，，，，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，，即，故當最大時，點的坐標為．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正確地作出幫助線是解題的關鍵．21．(1)；(2)①為直角三角形，理由見分析；②點P的坐標為或或或．【分析】（1）設點B的坐標為，則點，則，即可求解；（2）①點A、C的橫坐標相同，軸，點B關于y軸的對稱點為C，故軸，即可求解；②過點C作直線，交反比例函數(shù)于點P，則點P符合題設要求，同樣在下方等間隔作直線交反比例函數(shù)于點P，則點P也符合要求，進而求解．（1）解：設點B的坐標為，則點，則：，解得（負值已舍去），故點B的坐標為，將點B的坐標代入反比例函數(shù)表達式得∶，解得∶；（2）解：①為直角三角形，理由∶設點，則點，∵點A、C的橫坐標相同，∴軸，∴點B關于y軸的對稱點為C，∴軸，∴，∴為直角三角形；②由①得∶，則的面積，解得（負值已舍去），∴點B的坐標為，C的坐標為，將點B的坐標代入反比例函數(shù)表達式得∶，解得，∴反比例函數(shù)表達式為①；過點C作直線，交反比例函數(shù)于點P，則點P符合題設要求，同樣在AB下方等間隔作直線交反比例函數(shù)于點P，則點P也符合要求．∵，∴設直線m的表達式為，將點C的坐標代入，解得，故直線m的表達式為②，依據(jù)圖形的對稱性，則直線n的表達式為③，聯(lián)立①②并解得∶或，聯(lián)立①③并解得∶或，∴點P的坐標為或或或．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同底等高的三角形的面積等學問，綜合性較強．22．(1)；(2)；(3)證明見分析．【分析】（1）設，，利用點A和點B的縱坐標相等，以及矩形面積為8，即可求出k的值；（2）求出直線的函數(shù)解析式為：，進一步可求出，再求出，，即可求出；（3）表示出，進一步求出，，利用，，即可證明．（1）解：設，，依據(jù)題意可知：，整理可得：．（2）解：∵，∴，∵點E在，且點B和點E的橫坐標相等，∴，即，設直線的函數(shù)解析式為：，將和代入可得：，解得：，故直線的函數(shù)解析式為：，令，可得：，∴，∵，即，∴，∵點C的橫坐標和點B的橫坐標相等，∴，∴．（3）證明：∵，點G與點О關于點C對稱，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點撥】本題考查反比例函數(shù)，一次函數(shù)的綜合，平行四邊形的判定，解題的關鍵是駕馭待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及平行四邊形的判定定理，結(jié)合圖形找出點的坐標之間的聯(lián)系．23．(1)；(2)①②的坐標為或或【分析】將點代入可得，直線的表達式為，把點代入得，故；連接，過作軸于，由，知是等腰直角三角形，，依據(jù)點與點關于直線