Page1專題2.7一元二次方程的應用（3）面積與動點問題（重難點培優）姓名：__________________班級：______________得分：_________________留意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空9道、解答5道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（青山區校級月考）現要在一個長為，寬為的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為，那么小道的寬度應是A．1 B．2 C．2.5 D．3【分析】設小道的寬度應為，則剩余部分可合成長為，寬為的矩形，依據矩形的面積計算公式，結合種植花草的面積為，即可得出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解析】設小道的寬度應為，則剩余部分可合成長為，寬為的矩形，依題意得：，整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），．答：小道進出口的寬度應為2米．故選：．2．（上虞區期末）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去四個邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個無蓋的長方體形態的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），問這張長方形紙板的長與寬分別為多少厘米？若設這張長方形紙板的長為厘米，則由題意可列出的方程是A． B． C． D．【分析】依據題意設這張長方形紙板的長為，寬為，進而表示出長方體的底面積，即可表示出長方體體積，進而得出方程．【解析】設這張長方形紙板的長為，寬為，依據題意可得：，故選：．3．（江干區期末）某公司支配用的材料沿墻（可利用）建立一個面積為的倉庫，設倉庫中和墻平行的一邊長為，則下列方程中正確的是A． B． C． D．【分析】分別表示地處倉庫的長和寬，然后依據矩形的面積計算方法列出方程即可．【解析】設倉庫中和墻平行的一邊長為，則垂直于墻的邊長為，依據題意得：，故選：．4．（下城區期末）將正方形的一邊長增加4，另一邊長保持不變，所得的矩形的面積是原來的2倍．設正方形的邊長為，則A． B． C． D．【分析】設這個正方形的邊長為，依據把一個正方形的一邊增加，另一邊不變，得到的矩形面積的2倍，建立方程．【解析】設這個正方形的邊長為，依據題意得．故選：．5．（香坊區期末）如圖，要設計一幅寬，長的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，各彩條的寬度相等，假如要使彩條所占面積是圖案面積的六分之一．設彩條的寬為，依據題意可列方程A． B． C． D．【分析】設彩條的寬為，依據要設計一幅寬、長的圖案，假如要使彩條所占面積是圖案面積的六分之一，可列方程．【解析】設彩條的寬度是，則，故選：．6．（安溪縣期中）在長為，寬為的長方形田地中開拓三條入口寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為，求道路的寬度設道路的寬度為，則可列方程A． B． C． D．【分析】依據余田的面積為468列出方程即可．【解析】設入口的寬度為，由題意得：．故選：．7．（上城區校級期中）在一幅長，寬的矩形風景畫的四周鑲一條外框，制成一幅矩形掛圖（如圖所示），假如要使整個掛圖的面積是，設邊框的寬為，那么滿足的方程是A． B． C． D．【分析】依據題意表示出矩形掛畫的長和寬，再依據長方形的面積公式可得方程．【解析】設邊框的寬為，所以整個掛畫的長為，寬為，依據題意，得：，故選：．8．（官渡區期末）《生物多樣性公約》第十五次締約方大會將于2024年5月17日至30日在云南省昆明市舉辦、昆明某景觀園林公司為迎接大會召開，支配在一個長為，寬為的矩形場地（如圖所示）上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與平行、另一條與平行，其余部分種草坪，若使每一塊草坪的面積為，求道路的寬度、若設道路的寬度為，則滿足的方程為A． B． C． D．【分析】設道路的寬度為，則六塊草坪可合成長，寬的矩形，依據矩形的面積計算公式，結合每一塊草坪的面積為，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解析】設道路的寬度為，則六塊草坪可合成長，寬的矩形，依題意得：．故選：．9．（平頂山模擬）如圖所示，把四個長和寬分別為和的矩形拼接成大正方形．若四個矩形和中間小正方形的面積和為，則依據題意能列出的方程是A． B． C． D．【分析】依據正方形的面積公式，即可得出關于的一元二次方程，變形后即可得出結論．【解析】依題意，得：，即．故選：．10．（洛陽期末）如圖，在寬為20米、長為32米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪．要使草坪的面積為540平方米，設道路的寬米．則可列方程為A． B． C． D．【分析】設道路的寬為，利用“道路的面積”作為相等關系可列方程．【解析】設道路的寬為，依據題意得．故選：．二、填空題（本大題共9小題，每小題3分，共27分）請把答案干脆填寫在橫線上11．（浦江縣期末）把面積為的一張紙分割成如圖所示的正方形和長方形兩部分，設正方形的邊長為，則列出的方程化為一般形式是．【分析】設正方形的邊長為，依據正方形和矩形的面積公式列方程即可．【解析】設正方形的邊長為，依據題意得，，化為一般形式是，故答案為：．12．（開江縣期末）如圖，有一塊長，寬的矩形空地，支配在這塊空地上修建兩塊相同的矩形綠地，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相同的人行通道，兩塊綠地的面積和為．設人行通道的寬度為，依據題意可列方程：．【分析】設人行通道的寬度為，則兩塊綠地可合成長，寬的矩形，依據兩塊綠地的面積和為，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解析】設人行通道的寬度為，則兩塊綠地可合成長，寬的矩形，依題意得：．故答案為：．13．（東安縣期末）將一塊長方形桌布鋪在長為1.5米，寬為1米的長方形桌面上，各邊下垂的長度相同，并且桌布的面積是桌面面積的2倍，求桌布下垂的長度．設桌布下垂的長度為米，可列方程為．【分析】設桌布下垂的長度為米，則桌布的長為米，寬為米，依據桌布的面積是桌面面積的2倍，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解析】設桌布下垂的長度為米，則桌布的長為米，寬為米，依題意得：．故答案為：．14．（興隆臺區期末）如圖，在寬為，長為的矩形場地上修建同樣寬的三條小路（橫向與縱向垂直），其余部分種草坪，假設草坪面積為，求道路寬為多少？設寬為，則列出的方程是．【分析】設寬為，剩下的耕田面積可平移成長方形，且能表示出長和寬，從而依據面積可列出方程．【解析】設寬為，．故答案為：．15．（鹿城區校級開學）如圖，張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15立方米的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米．現已知購買這種鐵皮每平方米需10元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了350元．【分析】設此長方體箱子的底面寬為米，則長為米，依據長方體箱子的容積為15立方米，即可得出關于的一元二次方程，解之取其正值，進而可得出矩形鐵皮的長和寬，再利用購回這張矩形鐵皮的費用鐵皮的面積，即可求出結論．【解析】設此長方體箱子的底面寬為米，則長為米，依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），矩形鐵皮的長為（米，寬為（米，購回這張矩形鐵皮的費用為（元．故答案為：350．16．（永嘉縣校級模擬）如圖，世紀廣場有一塊長方形綠地，，，在綠地中開拓三條寬為的道路后，剩余綠地的面積為，則3．【分析】由在綠地中開拓三條寬為的道路后，剩余綠地的面積為，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解析】設道路的寬為，依據題意得：，解得：或3，不合題意，舍去，答：道路的寬為．故答案為：3．17．（商河縣校級模擬）現要在一個長為，寬為的矩形花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為，那么小道的寬度應是2．【分析】設小道進出口的寬度為米，然后利用其種植花草的面積為列出方程求解即可．【解析】設小道進出口的寬度為米，依題意得，整理，得．解得，，．（不合題意，舍去），．答：小道進出口的寬度應為2米．故答案為：2．18．（永嘉縣校級期末）如圖，在寬為4、長為6的矩形花壇上鋪設兩條同樣寬的石子路，余下部分種植花卉，若種植花卉的面積15，設鋪設的石子路的寬為，依題意可列方程．【分析】首先設鋪設的石子路的寬應為米，由題意得等量關系：（長方形的寬石子路的寬）（長方形的長石子路的寬），依據等量關系列出方程即可．【解析】設鋪設的石子路的寬應為米，由題意得：，故答案為：．19．（任城區期中）如圖，在中，，，．點從點動身沿方向以每秒2個單位長的速度向點勻速運動，同時點從點動身沿方向以每秒1個單位長的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點．運動的時間是秒．過點作于點，連接、．則當時，四邊形的面積是面積的一半．【分析】易證四邊形為平行四邊形，當點．運動的時間是秒時，，，，，依據四邊形的面積是面積的一半，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【解析】，，，，．點的速度為點速度的一半，．又，，，四邊形為平行四邊形．當點．運動的時間是秒時，，，，，依題意，得：，即，整理，得：，解得：．故答案為：．三、解答題（本大題共5小題，共43分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20．（浦東新區期中）如圖所示，若要建一個由兩個相同的小長方形組成的長方形花圃．花圃的面積為63平方米且一邊靠墻（墻長15米），三邊用籬笆圍成．現有籬笆30米．求這個長方形花圃的長與寬．【分析】設這個長方形花圃的寬為米，平行于墻的邊長為米，依據面積為63平方米，可列方程求解．【解析】設這個長方形花圃的寬為米，依題意得：，解得：，，當時，（舍去）．當時，．答：這個長方形花圃的長為9米，寬為7米．21．（黃浦區校級期中）如圖，利用長20米的一段圍墻，用籬笆圍一個長方形的場地，中間用籬笆分割出2個小長方形，與墻平行的一邊上各開一扇寬為1米的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形的面積為96平方米，求、邊各為多少米？【分析】設為米，然后表示出的長為米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解即可．【解析】設為米，則為米，，解得：，，當時，（不合題意，舍去），當時，．答：米，米．22．（武進區期中）如圖，中，，，，點從點動身沿邊向點以的速度移動，點從點動身沿邊向點以的速度移動；（1）若，兩點同時動身，幾秒后可使的面積為？（2）若，兩點同時動身，幾秒后的長度為；（3）的面積能否等于面積的一半？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．【分析】（1）設果、同時動身，秒鐘后，，，，此時的面積為：，令該式，由此等量關系列出方程求出符合題意的值；（2）利用，則，由勾股定理定理可得解；（3）的面積的一半等于，令，推斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在．【解析】點的移動速度為，點的移動速度為，所以設，則，（1）的面積為，即，解得或4，故2秒或4秒后的面積為；（2）的長度為．即，解得，故1.2秒后的長度為．（3）由題意得：，即：，，△，該方程無實數解，所以，不存在使得的面積等于的面積的一半的時刻．23．（商水縣月考）如圖，在中，，，．點從點起先沿邊向點以的速度移動，點從點起先沿邊向點以的速度移動，假如、分別從、同時動身，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為秒．（1）當為何值時，的面積等于？（2）當為何值時，的長度等于？（3）若點，的速度保持不變，點在到達點后返回點，點在到達點后返回點，一個點停止，另一個點也隨之停止．問：當為何值時，的面積等于？【分析】（1）依據題意表示出、的長，再依據三角形的面積公式列方程即可；（2）依據題意表示出、的長，再依據勾股定理列方程即可；（3）依據題意表示出、的長，再分三種狀況，依據三角形的面積公式列方程即可．【解析】依據題意知，．（1）依據三角形的面積公式，得，，，解得，．故當為5或7時，的面積等于．（2）設秒后，的長度等于，依據勾股定理，得，，解得，．故當為或4時，的長度等于．（3）當時，，即，則，解得，．當時，則，，，則的面積，解得：或8（均舍去）；當時，，，，△，故方程無實數根．綜上