第09講勾股定理逆定理及簡單應用【學習目標】1.掌握勾股定理的逆定理及其應用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用范圍.【基礎知識】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數勾股數：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．說明：①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．【考點剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小題）1．（真題?邗江區期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定2．（真題?鎮江期末）下列四組數，可作為直角三角形三邊長的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm3．（真題?沛縣期末）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點均為格點．判斷△ABC的形狀，并說明理由．4．（真題?惠山區校級期末）以下列各組數為邊長的三角形中，不能構成直角三角形的一組是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、65．（2022春?姜堰區期中）如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，共可以畫個直角三角形．6．（2022春?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中線，則△ABD的周長比△ACD的周長大cm．7．（2022春?高港區校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面積．二．勾股數（共3小題）8．（真題?溧陽市期末）在下列各數中，不是勾股數的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，419．（真題?靖江市期中）我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．請你根據上述的規律寫出下一組勾股數：；10．（2022春?清江浦區校級期中）勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢時期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫做“整數直角三角形”；這三個整數叫做一組“勾股數”．在一次“構造勾股數”的探究性學習中，老師給出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n為正整數，且m＞n．（1）觀察表格，當m＝2，n＝1時，此時對應的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長？說明你的理由．（2）探究a，b，c與m、n之間的關系并用含m、n的代數式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例．三．勾股定理的應用（共6小題）11．（真題?沛縣期末）如圖，將長為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動2m，則梯子底端B向左滑動m．12．（真題?句容市期末）有5cm，13cm兩根木條，現想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm13．（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此綠地ABCD的面積．14．（真題?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的長度與點A到點E的距離相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的長度．15．（2022春?東湖區期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時出發．其中，貨船沿著北偏西54°方向以15海里/小時的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時的速度航行．1小時后，兩船分別到達B、C點，求B、C兩點之間的距離．16．（真題?新吳區期末）如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（真題?梁溪區校級期末）下列各組數中，以它們為邊長的線段能構成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，132．（2022春?啟東市校級月考）下列各組數不是勾股數的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，13．（真題?錫山區期末）如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長為（）A．1m B．2m C．3m D．4m4．（真題?溧陽市期中）一座建筑物發生了火災，消防車到達現場后，發現最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米5．（真題?贛榆區期中）在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.556．（真題?六合區期中）如圖，有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺二．填空題（共9小題）7．（真題?儀征市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是．8．（真題?無錫期末）若三角形的邊長分別為6、8、10，則它的最長邊上的中線為．9．（真題?惠山區校級期末）如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時而繩索用盡．則木柱長為尺．10．（真題?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的高度是尺．（這是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題其中的丈、尺是長度單位，1丈＝10尺．）11．（真題?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高米．12．（真題?溧陽市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的中線AD＝3，則AC＝．13．（真題?靖江市期末）一個三角形兩條邊長為3和4，當第三條邊長為時，此三角形為直角三角形．14．（真題?朝陽區校級期末）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝°（點A，B，P是網格線交點）．15．（真題?姜堰區期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應門自動打開了，此時這名學生離感應門的距離BC為1.2米，頭頂離感應器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為米．三．解答題（共9小題）16．（真題?大豐區期末）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．17．（真題?朝陽區期末）如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C兩點之間的距離．（2）求這張紙片的面積．18．（真題?淮安區期末）如圖，某人從點A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C離欲到達點B有45m，已知他在水中實際劃了75m，求該河流的寬度AB．19．（真題?姜堰區期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AC上一點，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．20．（真題?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長．21．（2022春?長沙期中）如圖，已知點C是線段BD上一點，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的長；（2）求證：∠ACE＝90°．22．（真題?儀征市期末）小東和小明要測量校園里的一塊四邊形場地ABCD（如圖所示）的周長，其中邊CD上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測量其長度．小東經測量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明說根據小東所得的數據可以求出四邊形ABCD的周長．你同意小明的說法嗎？若同意，請求出四邊形ABCD的周長；若不同意，請說明理由．23．（真題?阜寧縣期末）阜寧市民廣場要對如圖所示的一塊空地進行草坪綠化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，綠化草坪價格150元/米2．求這塊地草坪綠化的價錢．24．（真題?高郵市期末）圖1是超市購物車，圖2為超市購物車側面示意圖，測得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）兩輪中心AB之間的距離為dm；（2）若OF的長度為dm，支點F到底部DO的距離為5dm，試求∠FOD的度數．第09講勾股定理逆定理及簡單應用【學習目標】1.掌握勾股定理的逆定理及其應用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區別與聯系，掌握它們的應用范圍.【基礎知識】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．二．勾股數勾股數：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．說明：①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的應用（1）在不規則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．【考點剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小題）1．（真題?邗江區期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定【分析】由勾股逆定理即可得到答案．【解答】解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故選：B．【點評】本題主要考查了勾股逆定理，解決本題的關鍵是熟悉三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．2．（真題?鎮江期末）下列四組數，可作為直角三角形三邊長的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm【分析】根據勾股定理的逆定理對四個選項進行逐一判斷即可．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此組數據不能構成直角三角形，故本選項錯誤；B、12+22≠32，∴此組數據不能構成直角三角形，故本選項錯誤；C、∵22+32≠42，∴此組數據不能構成直角三角形，故本選項錯誤；D、∵12+（）2＝（）2，∴此組數據能構成直角三角形，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．3．（真題?沛縣期末）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的頂點均為格點．判斷△ABC的形狀，并說明理由．【分析】先根據勾股定理求出AC2，BC2以及AB2的值，再根據勾股定理的逆定理得出結論即可．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：由題可得，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．4．（真題?惠山區校級期末）以下列各組數為邊長的三角形中，不能構成直角三角形的一組是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故此選項不符合題意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此選項不符合題意；C、82+152＝172，故是直角三角形，故此選項不符合題意；D、42+52≠62，故不是直角三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．5．（2022春?姜堰區期中）如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，共可以畫3個直角三角形．【分析】根據題意畫出圖形，再找到其中的直角三角形即可得到結論．【解答】解：如圖，一共可以畫9個三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以畫3個直角三角形．故答案為：3．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是正確作出圖形，不要漏掉任何一種情況．6．（2022春?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中線，則△ABD的周長比△ACD的周長大2cm．【分析】根據中線的定義可得BD＝CD，然后求出△ABD的周長與△ACD的周長的差為AB﹣AC，從而得解．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長﹣△ACD的周長＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC，∵AB＝8cm，AC＝6cm，∴△ABD的周長﹣△ACD的周長＝8﹣6＝2（cm）．故△ABD的周長比△ACD的周長大2cm．故答案為：2．【點評】本題考查了三角形的中線，求出兩個三角形的周長的差等于AB﹣AC是解題的關鍵．7．（2022春?高港區校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面積．【分析】（1）連接AC，根據勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；（2）過D點作DE⊥BC于E，根據勾股定理和三角形面積公式即可求得△ABD的面積．【解答】（1）證明：連接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝BC＝5，∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，∵CD＝7，AD＝1，∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC＝90°；（2）解：過D點作DE⊥BC于E，設BE＝x，則CE＝5﹣x，DE，則AB?BCAD?CDAB?BEBC?DE，即5×51×75x5，解得x1，x2（不合題意舍去），則△ABD的面積為52．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關鍵，注意：如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形．二．勾股數（共3小題）8．（真題?溧陽市期末）在下列各數中，不是勾股數的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【解答】解：A．52+122＝132，是正整數，故是勾股數，此選項不符合題意；B．82+122≠152，不是勾股數，此選項符合題意；C．82+152＝172，三邊是整數，同時能構成直角三角形，故是勾股數，此選項不符合題意；D．92+402＝412，能構成直角三角形，是整數，故是勾股數，此選項不符合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了勾股數，解答此題要用到勾股數的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2＝c2，則△ABC是直角三角形．9．（真題?靖江市期中）我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．請你根據上述的規律寫出下一組勾股數：11、60、61；【分析】分析所給四組的勾股數：第一個數n是連續的奇數，第二個數為，第三個數比第二個數大1，由此可得答案．【解答】解：第一組：3，4，5＝4+1；第二組：5，12，13＝12+1；???，最后一組為：11，60，61．故答案為：11，60，61．【點評】本題屬規律性題目，考查的是勾股數之間的關系，根據題目中所給的勾股數及關系式進行猜想、計算即可．10．（2022春?清江浦區校級期中）勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢時期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫做“整數直角三角形”；這三個整數叫做一組“勾股數”．在一次“構造勾股數”的探究性學習中，老師給出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n為正整數，且m＞n．（1）觀察表格，當m＝2，n＝1時，此時對應的a、b、c的值能否為直角三角形三邊的長？說明你的理由．（2）探究a，b，c與m、n之間的關系并用含m、n的代數式表示：a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．（3）以a，b，c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？如果是，請說明理由；如果不是，請舉出反例．【分析】（1）計算出a、b、c的值，根據勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據給出的數據總結即可；（3）分別計算出a2、b2、c2，根據勾股定理的逆定理進行判斷．【解答】解：（1）當m＝2，n＝1時，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能為直角三角形三邊的長；（2）觀察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；故答案為：m2+n2，2mn，m2﹣n2；（3）以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c為邊長的三角形一定為直角三角形．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．三．勾股定理的應用（共6小題）11．（真題?沛縣期末）如圖，將長為10m的梯子AB斜靠在墻上，使其頂端A距離地面6m．若將梯子頂端A向上滑動2m，則梯子底端B向左滑動2m．【分析】根據題意畫出圖形，根據題意兩次運用勾股定理即可解答．【解答】解：如圖所示：由題意可得，AC＝6m，AB＝10m，則BC8（m），A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，故B′C6（m），則梯子底端B向左滑動：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．故答案為：2．【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中根據梯子長不會變的等量關系求解是解題的關鍵．12．（真題?句容市期末）有5cm，13cm兩根木條，現想找一根木條組成直角三角形，則下列木條長度適合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm【分析】根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵52+132，132﹣52＝122，∴木條長度適合的是12cm，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．13．（2022春?啟東市期中）如圖是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此綠地ABCD的面積．【分析】連接BD，先根據勾股定理求出BD的長，再由勾股定理的逆定理判定△ABD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積＝直角△BCD的面積+直角△ABD的面積．【解答】解：連接BD．如圖所示：∵∠C＝90°，BC＝15cm，CD＝20cm，∴BD25（cm）；在△ABD中，∵BD＝25cm，AB＝24cm，DA＝7cm，∴242+72＝252，即AB2+AD2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCDAB?ADBC?CD24×715×20＝84+150＝234（cm2）；即綠地ABCD的面積為234cm2．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理的相關知識，通過勾股定理由邊與邊的關系也可證明直角三角形，正確分割四邊形ABCD的面積是解題關鍵．14．（真題?蘇州期末）滑梯的示意圖如圖所示，左邊是樓梯，右邊是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的長度與點A到點E的距離相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的長度．【分析】設AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通過解方程即可求得答案．【解答】解：設AC＝xm，則AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，由題意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得x＝2.5故滑道AC的長度為2.5m．【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形，難度不大．15．（2022春?東湖區期中）如圖，貨船和快艇分別從碼頭A同時出發．其中，貨船沿著北偏西54°方向以15海里/小時的速度勻速航行，快艇沿著北偏東36°方向以36海里/小時的速度航行．1小時后，兩船分別到達B、C點，求B、C兩點之間的距離．【分析】根據方向角得出∠BAC的度數，再利用勾股定理得出BC的長．【解答】解：由題意可得：∠BAC＝54°+36°＝90°，AB＝15海里，AC＝36海里，則BC39（海里），答：B、C兩點之間的距離為39海里．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出AB，AC的長是解題關鍵．16．（真題?新吳區期末）如圖，長為16cm的橡皮筋放置在數軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】據勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝8cm，CD＝6cm；根據勾股定理，得：AD10（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；故橡皮筋被拉長了4cm．故選：A．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質以及勾股定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（真題?梁溪區校級期末）下列各組數中，以它們為邊長的線段能構成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13【分析】根據勾股定理的逆定理是解決本題的關鍵．【解答】解：A．根據勾股定理的逆定理，12+32＝10≠42，那么以1、3和4為邊長的線段不能構成直角三角形，故A不符合題意．B．根據勾股定理的逆定理，，那么以、和2為邊長的線段不能構成直角三角形，故B不符合題意．C．根據勾股定理的逆定理，，那么以、和為邊長的線段不能構成直角三角形，故C不符合題意．D．根據勾股定理的逆定理，52+122＝169＝132，那么以5、12和13為邊長的線段能構成直角三角形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解決本題的關鍵．2．（2022春?啟東市校級月考）下列各組數不是勾股數的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【分析】根據勾股數的定義求解即可．【解答】解：A．∵32+42＝52，且3，4，5是正整數，∴3，4，5是勾股數，此選項不符合題意；B．∵52+122＝132，且5，12，13是正整數，∴5，12，13是勾股數，此選項不符合題意；C．∵72+242＝252，且7，24，25是正整數，∴7，24，25是勾股數，此選項不符合題意；D．∵0.62+0.82＝12，但0.6，0.8，1不是整數，∴0.6，0.8，1不是勾股數，此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查勾股數，解題的關鍵是掌握①三個數必須是正整數，例如：0.6，0.8，1滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…3．（真題?錫山區期末）如圖，已知釣魚竿AC的長為10m，露在水面上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉動到AC'的位置，此時露在水面上的魚線B'C'為8m，則BB'的長為（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根據勾股定理分別求出AB和AB′，再根據BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB（m），∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：B．【點評】此題考查了勾股定理的應用，用到的知識點是勾股定理，根據已知條件求出AB和AB′是解題的關鍵．4．（真題?溧陽市期中）一座建筑物發生了火災，消防車到達現場后，發現最多只能靠近建筑物底端7米，消防車的云梯最大升長為25米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由題意可知消防車的云梯長、地面、建筑物高構成一直角三角形，斜邊為消防車的云梯長，根據勾股定理就可求出高度．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝7米，由勾股定理可得，AC24（米）．故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確將實際問題轉化為勾股定理是解決問題的關鍵．5．（真題?贛榆區期中）在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】畫出圖形，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如圖，由題意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，設折斷處離地面x尺，則AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折斷處離地面4.55尺．故選：D．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理得出方程是解題的關鍵．6．（真題?六合區期中）如圖，有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【分析】我們可以將其轉化為數學幾何圖形，如圖所示，根據題意，可知EB'的長為14尺，則B'C＝7尺，設出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根據勾股定理建立方程即可．【解答】解：依題意畫出圖形，設蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深AC＝（x﹣1）尺，因為B'E＝14尺，所以B'C＝7尺在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2∴72+（x﹣1）2＝x2，解得x＝25，∴這根蘆葦長25尺，∴水的深度是25﹣1＝24（尺），故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正方形的性質等知識，熟悉數形結合的解題思想是解題關鍵．二．填空題（共9小題）7．（真題?儀征市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，則△ABD的面積是6．【分析】先作輔助線DE⊥AB，然后根據角平分線的性質即可得到DE＝DC，再根據三角形的面積公式即可計算出△ABD的面積．【解答】解：作DE⊥AB于點E，如圖所示，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵CD＝2，∴DE＝2，∵AB＝6，∴S△ABD6，故答案為：6．【點評】本題考查角平分線的性質、直角三角形，三角形的面積，解答本題的關鍵是作出合適的輔助線，求出DE的長．8．（真題?無錫期末）若三角形的邊長分別為6、8、10，則它的最長邊上的中線為5．【分析】根據勾股定理的逆定理得到這個三角形是直角三角形，根據直角三角形斜邊上中線的性質進行計算即可．【解答】解：∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴這個三角形是直角三角形，∴最長邊上的中線長為10＝5，故答案為：5．【點評】本題考查的是直角三角形的性質、勾股定理的逆定理的應用，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．9．（真題?惠山區校級期末）如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何．譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時而繩索用盡．則木柱長為尺．【分析】設木柱長為x尺，根據勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：設木柱長為x尺，根據題意得：AB2+BC2＝AC2，則x2+82＝（x+3）2，解得：x，答：木柱長為尺．故答案為：．【點評】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．10．（真題?海門市期末）一根竹子高一丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，則折斷處離地面的高度是4.55尺．（這是我國古代數學著作《九章算術》中的一個問題其中的丈、尺是長度單位，1丈＝10尺．）【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面的高度是x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．【解答】解：1丈＝10尺，設折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為（10﹣x）尺，根據勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：折斷處離地面的高度為4.55尺．故答案為：4.55．【點評】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．11．（真題?泗縣期末）在一棵樹的5米高B處有兩個猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高7.5米．【分析】首先設樹的高度為x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出樹的高度．【解答】解：設樹的高度為x米．∵兩只猴子所經過的距離相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根據勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案為：7.5．【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理的應用，設出未知數x，用x表示有關的線段是解題關鍵．12．（真題?溧陽市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的中線AD＝3，則AC＝5．【分析】根據中線定義可得BD＝4，再根據勾股定理逆定理可得∠ADB＝90°，然后根據勾股定理可得AC．【解答】解：∵AD為中線，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∵32+42＝52，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AC5．故答案為：5．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．13．（真題?靖江市期末）一個三角形兩條邊長為3和4，當第三條邊長為或5時，此三角形為直角三角形．【分析】由題意，需分類討論，再根據勾股定理的逆定理解決此題．【解答】解：設第三條邊長為x，此三角形為直角三角形，那么可能出現以下兩種情況：①邊長為4的邊為斜邊，此時x＜4，則32+x2＝42，得x；②邊長為4的邊為直角邊，此時邊長為x的邊為斜邊，則32+42＝x2，得x＝5．綜上，x或5．故答案為：或5．【點評】本題主要考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理以及分類討論的思想是解決本題的關鍵．14．（真題?朝陽區校級期末）如圖所示的網格是正方形網格，則∠PAB+∠PBA＝45°（點A，B，P是網格線交點）．【分析】延長AP交格點于D，連接BD，根據勾股定理和逆定理證明∠PDB＝90°，根據三角形外角的性質即可得到結論．【解答】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案為：45．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．15．（真題?姜堰區期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地面的高度AB為2.5米，一名學生站在C處時，感應門自動打開了，此時這名學生離感應門的距離BC為1.2米，頭頂離感應器的距離AD為1.5米，則這名學生身高CD為1.6米．【分析】過點D作DE⊥AB于E，則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），則BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，如圖所示：則CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米米，由勾股定理得：AE0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故答案為：1.6．【點評】本題考查了勾股定理的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．三．解答題（共9小題）16．（真題?大豐區期末）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．【分析】設杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因為直徑為20cm的杯子，可根據勾股定理列方程求解．【解答】解：設杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直徑為20cm，∴杯子半徑為10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍長26cm．【點評】本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是看到構成的直角三角形以及各邊的長．17．（真題?朝陽區期末）如圖，有一張四邊形紙片ABCD，AB⊥BC．經測得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C兩點之間的距離．（2）求這張紙片的面積．【分析】（1）由勾股定理可直接求得結論；（2）根據勾股定理逆定理證得∠ACD＝90°，由于四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACD，根據三角形的面積公式即可求得結論．【解答】解：（1）連接AC，如圖．在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，∴AC15．即A、C兩點之間的距離為15cm；（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四邊形紙片ABCD的面積＝S△ABC+S△ACDAB?BCAC?CD9×1215×8＝54+60＝114（cm2）．【點評】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，熟記定理是解題的關鍵．18．（真題?淮安區期末）如圖，某人從點A劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C離欲到達點B有45m，已知他在水中實際劃了75m，求該河流的寬度AB．【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理進行計算即可得到該河流的寬度．【解答】解：由題意知，AB⊥BC，AC＝75m．BC＝45m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB60（米）．答：該河流的寬度AB為60米．【點評】此題考查了勾股定理的應用，從實際問題中抽象出勾股定理這一數學模型，準確畫出示意圖是解決問題的關鍵．19．（真題?姜堰區期末）如圖，已知等腰△ABC的底邊BC＝10cm，D是腰AC上一點，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判斷△BCD的形狀，并說明理由；（2）求△ABC的周長．【分析】（1）由BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形；（2）由此可求出AC的長，周長即可求出．【解答】解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BC2＝BD2+CD2．∴△BDC為直角三角形；（2）設AB＝xcm，∵等腰△ABC，∴AB＝AC＝x，∵AB2＝AD2+BD2，即x2＝（x﹣8）2+62，∴x，∴△ABC的周長＝2AB+BCcm）．【點評】此題考查勾股定理的逆定理，關鍵是根據等腰三角形的性質、勾股定理以及逆定理的應用解答．20．（真題?蘇州期末）如圖，AD是△ABC的中線，DE⊥AC于點E，DF是△ABD的中線，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求證：∠ADC＝90°；（2）求DF的長．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，證明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根據三角形的中線的定義以及直角三角形的性質解答即可．【解答】證明：（1）∵DE⊥A