課時規范練8函數的奇偶性與周期性基礎鞏固組1.(2021山東德州高三月考)下列函數既是偶函數又存在零點的是()A.y=lnx B.y=x2+1C.y=sinx D.y=cosx2.(2021廣東肇慶高三二模)已知函數f(x)=sinx(x+1)(A.-1 B.12 C.-12 D3.(2021廣東廣州高三月考)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,則g(2)=()A.-4 B.4C.-8 D.84.(2021山東聊城高三期中)已知奇函數f(x)=x3-1,x<0,g(x),A.-11 B.-7C.7 D.115.已知定義域為I的偶函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且?x0∈I,f(x0)<0,則下列函數符合上述條件的是()A.f(x)=x2+|x| B.f(x)=2x-2-xC.f(x)=log2|x| D.f(x)=x6.已知f(x)是定義在R上的奇函數,f(x)的圖象關于直線x=1對稱,當x∈(0,1]時,f(x)=-x2+2x,則下列判斷正確的是()A.f(x)的值域為(0,1] B.f(x)的周期為2C.f(x+1)是偶函數 D.f(2021)=07.(2021浙江金華高三月考)函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=a(x+1)-2x,則f(f(3))=.

8.(2021河南鄭州高三月考)已知函數f(x)滿足f(x)+f(-x)=2,g(x)=1x+1,y=f(x)與y=g(x)的圖象交于點(x1,y1),(x2,y2),則y1+y2=.綜合提升組9.(2021山西太原高三期中)函數f(x)=ex-2-e2-x的圖象()A.關于點(-2,0)對稱B.關于直線x=-2對稱C.關于點(2,0)對稱D.關于直線x=2對稱10.對于函數f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),選取a,b,c的一組值計算f(1)和f(-1),所得出的正確結果不可能是()A.4和6 B.3和1C.2和4 D.1和211.已知函數f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),則下列結論一定正確的是()A.f(x)的圖象關于點(-2,0)對稱B.f(x)是周期為4的周期函數C.f(x)的圖象關于直線x=-2對稱D.f(x+4)為奇函數12.(2021廣東佛山高三二模)已知函數f(x)=x(2x-2-x),則不等式2f(x)-3<0的解集為.

13.(2021重慶八中高三月考)已知函數f(x)=e|x|-x13+1e|x|+1(x∈R創新應用組14.已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則()A.f-12=B.f(-1)=0C.f(2)=0 D.f(4)=015.如果存在正實數a,使得f(x-a)為奇函數,f(x+a)為偶函數,我們稱函數f(x)為“和諧函數”.給出下列四個函數:①f(x)=(x-1)2+5;②f(x)=cos2x-π4;③f(x)=sinx+cosx;④f(x)=ln|x+1|.其中“和諧函數”的個數為.

課時規范練8函數的奇偶性與周期性1.D解析:選項A中的函數既不是奇函數,也不是偶函數,不合題意;選項C中的函數是奇函數,不合題意;B項中的函數是偶函數,但不存在零點,故選D.2.D解析:函數的定義域為{x|x≠-1且x≠a},因為f(x)=sinx(x+1)(x-a)為奇函數,所以定義域關于原點對稱,則a=1,所以f(x)=sinx(x+1)(x-1)=sinx3.C解析:因為f(x)-g(x)=x3+x2+a,①所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,因為f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數,所以f(x)+g(x)=-x3+x2+a,②②-①得:2g(x)=-2x3,所以g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8,故選C.4.C解析:f(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)=f(-1)-f(-2)=(-1)3-1-[(-2)3-1]=-2-(-9)=7,故選C.5.C解析:?x∈R,f(x)=x2+|x|≥0,故A不符合題意;函數f(x)=2x-2-x是定義在R上的奇函數,故B不符合題意;函數f(x)=log2|x|是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數,且在(0,+∞)上,f(x)=log2x單調遞增,?x0=12,f12=-1<0,故C符合題意;冪函數f(x)=x-43在(0,+∞)上單調遞減,故D6.C解析:對于A,當x∈(0,1]時,f(x)=-x2+2x,此時0<f(x)≤1,又由f(x)是定義在R上的奇函數,則f(0)=0,且當x∈[-1,0)時,-1≤f(x)<0,故在區間[-1,1]上,-1≤f(x)≤1,A錯誤;對于B,函數f(x)圖象關于直線x=1對稱,則有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定義在R上的奇函數,則f(x)=-f(-x)=-f(2+x),則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函數,B錯誤;對于C,f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則函數f(x+1)的圖象關于y軸對稱,f(x+1)是偶函數,C正確;對于D,f(x)是周期T=4的周期函數,則f(2021)=f(1+4×505)=f(1)=1,D錯誤.故選C.7.11解析:f(0)=a-1=0,a=1.當x<0時,-x>0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x),即f(x)=x-1+2-x,故f(x)=x+1-2x,x≥0,x-1+2-x,x<0.f(3)=4-23=-4,f8.2解析:因為f(x)+f(-x)=2,所以y=f(x)關于點(0,1)對稱,y=g(x)=1x+1也關于點(0,1)對稱,則交點(x1,y1)與(x2,y2)關于(0,1)對稱,所以y1+y2=29.C解析:∵f(x)=ex-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex,∴f(2+x)+f(2-x)=0,因此,函數f(x)的圖象關于點(2,0)對稱,故選C.10.D解析:因為f(x)=asinx+bx+c,所以f(1)+f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c.因為c∈Z,所以f(1)+f(-1)為偶數,所以f(1)和f(-1)可能為4和6,3和1,2和4,不可能是1和2,故選D.11.A解析:因為f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的圖象關于點(2,0)對稱.又因為函數f(x)為偶函數,所以f(x)是最小正周期為8的周期函數,且它的圖象關于點(-2,0)對稱和關于直線x=4對稱,所以f(x+4)為偶函數,故選A.12.(-1,1)解析:根據題意,對于函數f(x)=x(2x-2-x),都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),則f(x)為偶函數,函數f(x)=x(2x-2-x),其導數f'(x)=2x-2-x+xln2(2x+2-x),當x>0時,f'(x)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調遞增,在(-∞,0)上單調遞減.又f(1)=2-12=32,由2f(x)-3<0可得f(x)<f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集是13.2解析:f(x)=e|x|-x13+1設g(x)=x13e|∴g(-x)=(-x)13e|-∴g(x)為奇函數,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max,∴M+m=2-[g(x)max+g(x)min]=2.14.B解析:因為f(x+2)是偶函數,f(2x+1)是奇函數,所以f(x)=f(4-x),f(1)=0,f(x)=f(x+4),即f(3)=f(1)=0,f(-1)=f(3)=0.故B正確.設f(x)=cosπ2x,因為f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,所以f-12=cos-π4≠0,f(2)=cosπ≠0,f(4)=cos2π≠0.故A,C,D錯誤.15.1解析:①中f(x)≥5,無論正數a取什么值f(0)≠0,f(x-a)都不是奇函數,故不是“和諧函數”;②中f(x)=cos2x-π2=sin2x,f(x)的圖象向左或右平移π4個單位長度后其函數變為偶函數,f(x)的圖象向左或右平移π2個單位長度后其函數