第六章定積分及其應用

§6.1定積分的概念

教學目的與要求：

1.使學生初步掌握定積分這一重要概念的內涵與外延。

2.使學生學會用定義計算、證明某些定積分。

3.使學生理解和掌握定積分的思想，分割近似求和，取極限。

4.通過知識學習，加深對數學的抽象性特點的認識；體會數學概念形成的抽象化思維

方法；體驗數學符號化的意義及數形結合方法。

5.掌握定積分的性質.

重點：定積分的數學定義。

難點：“分割、近似求和、取極限”變量數學思想的建立。

課時：2學時

6.1.1定積分問題舉例

1.曲邊梯形的面積

設曲邊梯形是由［凡句上的連續曲線y=/(x)(/(x)>0),x軸及直線x=a,x=b

所圍成的圖形(圖6-1).顯然，如果y=/(x)三C(C為常數)，則該圖形就是矩形，其

面積可用公式：矩形面積=底又高來計算.但在一般情況下，y=/(x)不是常量，而是變

量，這正是問題的困難所在.但由于y=/(x)是連續的，故當x變化很小時，/(x)的變化

也很小.這就是說，在一個很小的區間上，/*)近似于不變.因此，如果把口，句劃分為

很多的小區間，在每一個小區間上對應的小曲邊梯形可以用同底的小矩形面積來近似代替

(小矩形的高可用該區間上的任一點所對應的曲線上點的縱坐標來代替)，這樣把所有小矩

形面積相加便得整個曲邊梯形面積的近似值.顯然對于區間口,句，如果分得越細，曲邊梯

形面積的近似程度越好.而要得到曲邊梯形的精確值，只要使每一個小區間的長度都趨于零,

取近似值的極限即可.具體可按如下步驟進行.

（1分割：在區間［凡們中任意插入〃-1個分點.

a=/<玉<x2<---<xj<???<xn_j<xn-b,

將［凡切分成刀個小區間=1,2,…,即［%,藥］,［…,々］,…,,這些小區間的

XX

長度也依次記為Ax】=xt-0,A2=x2-xx,--,^xn=xn-xn_,,過每個分點玉,》2,…,x,i

作平行于y軸的直線段，就把曲邊梯形劃分為n個小曲邊梯形.

（2）近似代替：在每個小區間上任取一點。（X-<^<x,）,/?）就是曲線上點

（。,/（幻）的縱坐標，用小矩形的面積/?）Ax,近似代替小曲邊梯形的面積，即

△S產/?ND…

（3）求和：用〃個小矩形的面積之和來近似代替曲邊梯形的面積，即

S?+???+/《）％=力偏心,.

/=1

（4）取極限：為保證所有的小區間的長度隨小區間的個數〃無限增加而無限縮小，令

2=max{Ax,.},則當2—0時，就得到曲邊梯形面積的精確值，即

5=網”（沁一

1=1

2.變速直線運動的路程

在勻速直線運動中，有公式：路程=速度義時間.但對變速直線運動，由于速度不是常

數，而是隨時間變化的變量，就不能用上式來計算路程，因此必須尋求其他的方法.

設一質點沿直線作變速運動，其速度是時間/的連續函數V（r）.現采用與求面積相同的

處理方法來求由時刻7；到時刻T2這段時間內質點所經過的路程S.

（1）分割：在時間間隔口工］中任意插入”-1個分點，

Tx=tG<tx<t2<--<tn_x<tn=T2,

將口名］分成〃個小時間間隔區間，即［。，""再］，…，［*/］，將這些小時間間隔區間

的區間長依次記為A?,=tx-t0,^t2=t2-?,,???,△乙=tn-tn_x.

（2）近似代替：在每個小時間間隔區間中任取一個時刻芻（心WtJ,以芻時刻的

速度丫（。）近似代替質點在上各個時刻的速度，于是得質點在上,這段時間內所

經過的路程的近似值為緇?V?)維0=1,2,???,?).

(3)求和：用〃段部分路程的近似值之和近似代替變速直線運動的路程S,即

S。丫&)絹+V&)2V2+…+V?)純=1?&)△/,.

1=1

(4)取極限：記/L=max0fj,當；If0時，取上式右端的極限，就得到變速直線

\<i<n

運動的路程S的精確值，即

5=期￡丫(幻仙,.

/=!

3.總成本

設邊際成本C'(x)為產量x的連續函數，求產量x從a變到0時的總成本.

我們按如下步驟進行：

(1)分割：在［a,6］內任意插入〃—1個分點

a=/<陽<々<…<<xn=p,

把［a,￡］劃分成〃個小產量段，并記每個小產量段的產量為

△^=看一蒼_］,/'=1,2,???,/?

(2)近似代替：在每個小產量段中任意取一點自，把C'(S)作為該段的近似

平均成本，有

AC,?C'C)AX|,i=1,2,…,〃

(3)求和：把每個小產量段的成本相加，得總成本的近似值.

Cxfc—

i=\

(4)取極限：令X=max{AxJ,有

\<i<n

r=l

即為所求的總成本.

6.1.2定積分的定義

上述幾個具體面積、路程及總成本問題，雖然實際意義不同，但其解決問題的途徑一致，

均為求一個乘積和式的極限.類似的問題還很多，弄清它們在數量關系上共同的本質與特性,

加以抽象與概括，就是定積分的定義.

定義6.1設函數〃x)在［凡切上有界.

(1)分割：在［凡句中任意插入〃一1個分點

a-xa<<x2<---<xn_{<xn-b,

把［凡切分成〃個小區間,并記每個小區間的長度為

八\.=七一尤”],j=1,2,…，“

(2)近似代替：在每個小區間［xT,xj上任取點自，作乘積

/?)竺，i=l,2,…,〃

(3)求和：力/?)原,；

1=1

(4)取極限：記，=max{AxJ,作極限

1</<n

(1)

i=l

如果對［凡句任意分割，白在上的任意選取，只要當4->0時，極限(1)總

趨于同一個定數/.這時，我們稱函數/(x)在［a,切上可積，并稱這個極限值/為/(x)在

口,加上的定積分，記作f/(x)dx,即

ffMdx=lim￡/?)...

/=!

其中/(X)稱為被積函數，/(x)dx稱為被積表達式，X稱為積分變量，。稱為積分下限，b

稱為積分上限，［a,切稱為積分區間.

根據定積分的定義，前面所舉的例子可以用定積分表述如下：

(1)曲線y=/(x)(f(x)20),x=a,x=b,y=0所圍圖形的面積

(2)質點以速度v=p(f)作直線運動，從時刻T1到時刻T2所通過的路程

5=(-v(t)dt.

(3)邊際成本為C'(x)在產量x從a變到夕時的總成本

C=^C'(x)dx.

關于定積分，還要強調說明如下幾點：

(1)定積分與不定積分是兩個截然不同的概念.定積分是一個數值，它與被積函數

/(x)及積分區間［凡切有關，而與積分變量取什么字母無關，因此，有

f(x)dx=1/⑺力.

(2)關于函數/(x)的可積性問題，我們不作深入討論，僅直接給出下面兩個定理，

證明從略.

定理1閉區間口,切上的連續函數必在［凡們上可積.

定理2閉區間口,們上的只有有限個間斷點的有界函數必在口力］上可積.

(3)當。=6時，規定j/(x)dx=O.

(4)規定［于(x)dx=-Jf(x)dx.

(5)定積分的幾何意義：在［a,句上如果/(x)NO,f/(x)dx表示曲線y=/(x),

直線x=a,x=b,y=0所圍成的圖形的面積；如果/(x)<0,則，/(x)dx表示由曲線

y=f(x),直線x=a,x=b,y=0所圍成的圖形的面積的負值；如果/(x)既取得正值

又取得負值時，［/(x)dx表示介于x軸，函數/(x)的圖像及直線x=a,x=b之間的各

部分圖形的面積的代數和，其中在x軸上方的部分圖形的面積規定為正，下方的規定為負，

見圖6-2.

圖6-2

例1利用定積分定義計算定積分｛x2dx.

解：因為被積函數/在［0,1］上連續，從而可積.所以積分值與［0,1］的分法及昏的取

法無關，故

(1)將［0,1］分成〃等份，取分點七=人,每個小區間［x,T，尤」的長度

n

Ax.=-(z=1,2,…；

n

(2)近似代替：取作A4產/?).=(與2._?=1,2「..,”)；

nnn

(3)求和：S4〃2=強/=］嗎(2+》；

(4)取極限：令丸=max{ArJ，當4f0時(〃—>oo)

\<i<n

fX虬=燃孕3=也：(1+》(2+1=；

§6.2定積分的性質

在以下所列的性質中，均認定函數/(x),g(x)在指定區間上可積.

性質1兩個函數的和(差)的積分等于兩函數積分的和(差)，即

f"(x)±g(x)］dx=ff(x)dx±fg(x)dx.

證：由定積分的定義有

f"(X)士gM］dx=hm￡"(。)±g?)］蝕=lim￡/?)用土姓fg?)上

i=li=li=l

=f(x)dx±［g(x)dx.

該性質對于任意有限個函數也成立.

性質2被積函數的常數因子可以提到積分號外面，即

^lrf(x)dx-k^f(x)dx.(%為常數)

性質3(定積分的積分區間可加性)如果將積分區間切分成兩個小區間［a,c］和

［c,b］,則在整個區間上的定積分等于這兩個小區間上定積分之和，即若a<c<b,則

ff(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx.

J(iJaJc

當c不介于之間時，上式仍然成立.例如，a<b<c,則

=f/(x)dx+［以x)dx，

于是f/(x)dx=［f(x)dx-［f(x)dx=［f(x)dx+f/(x)dx.

性質4如果在［a,切上，/(x)三1,則f'ldx=f'dx=b-a.

JaJa

性質5如果在［a,6］上，/(x)>0,則［/(x)dx20.

推論1如果在［a,0上，/(x)Kg(x),則［/(x)dxWjg(x)dx.

推論2^f(x)dx<^\f(x)\dx.

性質6(定積分的估值定理)設M及加分別是函數/(x)在［a,句的最大值及最小值,

則

m(b-a)<f(x)dx<M(b—a)(a<b)

以上這些性質或推論的證明均可類似性質1用定積分的定義或利用性質5來完成,請讀

者自行證明.

性質7(定積分中值定理)如果函數/(x)在［凡上連續，則在［a,切上至少存在一

點。，使

f/(x)dx=/C)(A-a)(a必訓.

證：根據定積分估值定理，有

m<--一ff(x)dx<M,

h-a人

這說明『一f/(x)dx是介于函數/(x)的最小值機及最大值M之間的一個數，根據閉區

間上連續函數的介值定理，在［a,切上至少存在一點自，使得

；//(x)dx=/C),gWb),

b-ak

即f/(x)dx=/?3-a)(a<^<b).

性質7的幾何解釋為：在區間［a,切上至少存在一點使得以［凡句為底邊，以曲線

y=/(x)為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊、而高為了《)的一個矩形的面積(見圖6

-3),圖中的正負符號是/(x)相對于長方形凸出和凹進的部分，并稱一L為函

數/(x)在區間［a,加上的平均值.

例2估計積分值的大小.

解：4/(x)=x4,因XG［1,2］,則尸(行=4下>0,所以/(x)在［1,2］上單調增加,

/(x)在口,2］上的最小值zn=/(l)=l,最大值V=/(2)=16.所以有

1-(2-1)<j2x4Jx<16-(2-l),

即1<fx4dx<16.

例3比較feZx與f(l+x)dx的大小.

解:令"x)=e，—(1+x),因xe[0,l],則>'(x)=e*—lN0(僅當x=0時等號成

立)，所以/(x)在［0,1］上單調遞增，即x>0時，/(x)>/(0)=0,故在(0,1)內e'>l+x,

所以

(e'dx〉f(1+x)dx

作業：&91

電1(2)(4)23

§6.3微積分基本公式

教學目的與基本要求：

1.掌握微積分基本定理的條件，結論及應用方法.

2.熟練掌握定積分的基本公式.

重點：微積分基本定理，

難點：變上限積分.

課時:2學時.

在6.1節我們利用定積分的定義計算在［0,1］上被積函數為f(x)=x2的定積分，計算它

己經比較困難，如果被積函數變得比較復雜，利用定積分的定義計算定積分就會變得非常困

難，甚至不可解.因而，必須尋求計算定積分的新的方法.

我們知道，物體以變速V。)作直線運動時，它在時間間隔［4,寫］上所經過的路程為

s=

但從另一角度來考慮，路程S可用位移函數S(f)在時間間隔區,與］上的改變量來表示,

即

S=S(T2)-SQ).

因為S'(f)=v。)，即位移函數SQ)是速度函數V。)的一個原函數，所以上式說明：速

度函數V。)在［工,n］上的定積分，等于原函數S(f)在口,4］上的改變量.這個實例使我們

看到定積分與不定積分之間的內在聯系.對于一般函數/*),設尸(x)=/(x),是否也有

f/(x)dx=F3)—F(a)?

為此，我們先討論積分上限函數和它的導數之間的關系.

6.3.1積分上限函數

設函數/(X)在區間［a,句上連續，x為區間［凡句上的任意一點，則/(X)在［凡對上連

續,因此,定積分［/(x)dx存在,它的值隨上限x的變化而變化.對于每一個上限xe［a,h］,

都有一個唯一的確定值與之對應，故它是上限x的函數，稱為積分上限函數，記為①(x),

即①(x)=f(x)dx.

這里定積分的上限是無，而積分變量也是x,山于定積分與積分變量所用字母無關，為

了避免混淆起見，我們將積分變量換成f,于是寫成①(x)=(a<x<b).

從幾何上看，①(x)=1/⑺力表示區間［a,劃上曲邊梯形的面積，如圖6-4中陰影部

分的面積.

圖6-4

枳分上限函數①(x)具有下面的重要性質：

定理3如果函數y=/(x)在區間[出們上連續，則積分上限函數①(x)=力是

/(x)在[凡切上的一個原函數，即

①'(x)=；f/⑺小=/(x)(a<x<b).

dxJa

證：任取x及Ax,使x,x+Ax￡[〃,/?],則

①a+&)=)力=[7(0^+『珈/⑺力,

于是，

△①=①(x+Ax)-①(x)

M件+AxAXM+AX

=(f(t)dt+[f⑺出,

由積分中值定理，在X與x+Ar之間至少存在一點g,使得

1f⑴dt=fq)Ax.

其中J介于x與;v+?之間，當加:30時，x+Axfx時，，從而有Jf冗，所以有

lim——=hm—=lim/(J)=f(x),

ZLr-?0A,A.V->0A.A.V->0

即①'(x)=/(x).

由原函數的定義可知，積分上限函數①(x)=['/⑺應是函數/(X)在[凡切上的一個原

函數.

推論設/(X)在[a,句上連續，e(x)在句上可導，則

-j-『"/?)力=/Ie(x)M(x)?

dx八

證：設〃=e(x),由定理3與復合函數求導法則得

=/(?)?—=丹例期98)?

ax

定理3說明了連續函數一定存在原函數，并初步揭示了定積分與原函數之間的聯系，從

而有可能利用原函數來計算定積分.

6.3.2微積分基本公式

定理4如果函數尸(x)是口力]上的連續函數/(x)的任意一個原函數，則

f(x)dx=F(b)-F(a).

Jf(l

證：因為①(x)=1/(f)df與E(x)都是/(x)的原函數，故

F(x)-①(無)=C,(a<x<b)

其中C為某一常數.

令x=a,得/(0—①(a)=C,且①⑷=[/(/)力=0,即有C=R(a),故

^(x)=F(x)-F(a)=[f(t)dt.

再令尤=8,有

^f(X)dX=F(b)-F(a).

為了方便起見，還常用/")「表示尸(力)一尸(。)，即

該式稱為微積分基本公式或牛頓-萊布尼茨公式.它揭示了定積分與不定積分之間的內

在聯系，把定積分的計算問題轉化成求原函數的問題，是聯系微分學與積分學的橋梁，在微

積分學中具有極其重要的意義.

例4計算(/公.

解：由于工丁是產的一個原函數，所以根據牛頓一萊布尼茨公式有

3

例5計算

iY

解:由于??/的一個原函數為arcsin己,故

4^2

rtdx.XI.1..K

I",-arcsin—=arcsin——arcsin0=-

2o26

例6計算「叱小.

JX

解：f=￡inxt/(lnx)=^(lnx)||=；.

Ifsinx.2

例7計算lim上]Ldt.

Xf0xM

解：這是一個“9，，型的未定式，運用洛必達法則及本節中的推論來計算這個極限.

o

d產_/2d.2du_2

edt=—e——=esinx-cosx,

du小dt

e%=』3=lim亡3=1.

I,inx

所以lim-f

XT。XMx->0%x->0]

作業：色1(2)(4)

4562⑴⑶34

§6.4定積分的換元法

教學目的與基本要求：

1.熟練掌握定積分的換元積分法和分步積分法.

重點:定積分的換元積分法和分步積分法.

課時：2學時.

牛頓―萊布尼茨公式為定積分計算提供了簡便的方法，即把求定積分的問題歸結為求被

積函數的原函數的問題.與不定積分的換元法相對應，我們可以用換元法來求定積分.

定理5設

(1)函數/(x)在區間[凡句上連續；

(2)函數x=e(t)在區間上是單值的，且有連續導數；

(3)當aW/W/?時，a<(p(t)<b,且e(a)=a,(p(0)=b,貝ij

f/(x)dx=ff[(p(t)](p'(t)dt.

證：由假設可知，上式兩邊的被積函數都是連續的，故它們的定積分和原函數都存在.設

尸(X)是/(X)的一個原函數，由復合函數微分法知

ddFAy

-凡夕⑺]=--=f(x)-(p'(t)=/[*)]“")，

dtdxdt

故He。)]是/即(r)]"⑴的一個原函數.根據牛頓―萊布尼茨公式

f/(x)dx=b(x*=F3)T(a),

于是「力。(。]。'(，)力="。。)]/

="(￡)]--。⑷]=F(b)--⑷,

所以ffMdx=f/蹄⑺心'⑺力(2)

(2)式稱為定積分的換元積分公式.由此定理可知，通過變換x=e(r)把原來的積分

變量X換成新變量f時，在求出原函數后可以不必像計算不定積分那樣把它變回原變量X的

函數，只要根據x=e?),相應變動積分上下限即可.

「dx

例1求定積分11+Vx

解:令近=，，即％=/，則公=3/力，且當x=0忖，f=0；當x=8時，r=2,

于是

dx3t2dtJ12i「J2

----=3—t~-t+ln(l+z)=3In3.

\+y/x1+r2八0

22

例2計算￡yja-xdx(a>0).

JI

解:設x=asinr,則dx=acos/力，且當x=0時，t=0；當x=a時，t=—,于

2

是

cos2tdt

例3計算pcos5xsinxdx.

7T

解:設f=cosx,則力二-sinxdr,且當犬=0時，t=\；當工=—時，Z=0.于是

2

Pcos5xsinxdx=-^t5dt=，力

606

在例3中，如果我們不明顯地寫出新變量7,那么，定積分的上、下限就不要改變.

fr5-jr75JZ、cosxf11

J^2cosxsinx6fx=-^2cosxJ(cosx)=------=一(0一%)二不,

例4試證：若〃x)在[-〃，句上連續，則

(1)L〃x)dx=「"JX)+/"Mx；

(2)當f(x)為奇函數時，P/(x)dx=0；

(3)當/(x)為偶函數時，￡/(x)Jx=2/f(x)dx.

證：(1)因為[f(x)dx=￡f(x)dx+1f(x)dx,

對積分式[J(x)dx作變換x=T,則有

￡/(x)Jx=-￡于(-t)dt=￡f(-x)dx,

從而Jj(x)dx=[[/(-x)+/(x)]Jx.

(2)若f(x)為奇函數，即/(—x)=-/(x),由(1)有

[j(x)dx=1"(—x)+/(x)]dx=0.

(3)若f(x)為偶函數，即/(-%)=f(x),由(1)有

「/(x)dx=￡[/(-%)+f(x)]dx=21f(x)dx.

例5計算「"sin：dx.

*1+cos-X

g產xs?mx.r7rtxs,mx,產xs?mx.

解：I-----=dx=I2------dx+L------dx.

*1+COSX切1+COS~X々1+COSX

在后一積分式中作變換工="-乙有

—j=_"二嚶八n%

+1+cosXS1+COSt力1+COSX

十口rxs?mx,rR；s?inx/、不"朽2

于是------z—dx-71V-----z—ax--7iarctan(cosx)=一

卜l+cos2xl+cos2xo4

§6.5定積分的分部積分法

如果函數〃=u(x),1，二期(%)在［凡。］上具有連續導數，則

[udv=uva~vdu,

這就是定積分的分部積分公式.

事實上(uv)r=UV+UV,

即UV1=(uvY-u'v,

上式兩邊取了由。到匕的定積分，得

ruvdx=f(uv)fdx-fuvdx,

J(IJt?

即iudv=uv^-[vdu.

例1計算flnxdx.

解：令〃=lnx,v=x,du=-dx,則

X

￡Inxdx=xlnx|?-￡x-dx=e-x^=1.

例2計算「x2cosxdx.

角翠：令〃=12,dv=CQSxdx,貝ijd〃=2xdx,v=sinx,于是

]xcosxdx=jxdsinx=(x;inx)|o-]Ixsmxdx=-2jx^nxdx.

再用分部積分公式，得

「x1cosxdx=2「xdcosx=2(XCOSJC)|Q-cosxdx

=21(xcosx)|j-sinx|gJ=一2乃.

i

例3計算parcsinxdx.

i?i

解：?arcsinxdx=(xarcsinx)2-Fxdarcsinx

=1,￡_『X4+2)

26Ji-

吒+G=716.

——+----1.

122

KK

例4證明psin"xdx=Fcosnxd)C,并求/“=fsin"xdx(〃為正整數).

TT

證：在/“中，用換元積分法，令x=—-t,于是dx=-df,sinx=sin--r=cost.

TTrr

當x=0時，t=—；當工=—時，，=0,于是,

22

兀兀兀

Psin"xdx=-，cos"tdt=fcos"tdt=rcos"xdx.

再求/〃.當〃=0時，有/o=?sin°xdx=、；

當〃=1時，有人=,sinxdx=1；

當〃22時，由定積分分部積分法有

nn

,,-1

In=『sin"xdx=PsinxJ(-cosx)

nn

二(-sin"7xcosx)5一f(一cosx)d(sin”“x)

=(/?_1)PsinH-2XCOS2Xi2

2sin〃一2x(l-sinx)dx

元

-(n-l)psin"-2xdx-(n-1)Psin“xdx=(n-l)/?J_2-(H-l)/n,

移項，整理得

(n>2).

這個等式是積分/〃的遞推公式.依此類推，可得，當〃為正偶數時,

/_n—1n-31n-1n—3171

—?/()=-----------

nn-22nn-22,?

當〃為大于1的奇數時，

n-32〃一1tt—342

一?/=-----------

nn-23nn-253

n-\H-3]_TC

"為止偶數

nn-22~2

合并得/“二

n-\n-342

〃為大于1的奇數

n〃一253

從上面幾個例題可知：定積分的分部積分法與不定積分的分部積分法基本相同，只是在

積分過程中，每一步都應寫上積分限.

作業：%1(2)(4)(6)(8)(10)(12)%7

《6112

§6.6廣義積分

教學目的與基本要求：

1.熟練掌握無限區間上的廣義積分與無界函數的廣義積分.

重點：掌握廣義積分的斂散性的判別法.

課時:2學時.

定積分存在有兩個必要條件，即積分區間有限與被積函數有界.但在實際問題中，經常

遇到積分區間無限或被積函數無界等情形的積分，這是定積分的兩種推廣形式，即廣義積分.

6.6.1無限區間上的廣義積分

定義2設函數/(x)在［凡+8)上連續，取f>a,如果lim/(x)dx存在,則此極限稱為

/(X)在［a,+8)上的廣義積分，記作「"(xWx=lim有時也說廣義積分

「"/(幻心收斂，若lim不存在，則稱廣義積分「丁(了世發散.

Jr?r—>+aoJaJa

類似地，可以定義無窮區間(-8,切匕的廣義積分和(-00,+8)上的廣義積分.

ff(x)dx^lim

￡f(x)dx=J/(x)tZx+『f(x)dx.

其中c為任意實數，此時［j^dx與/(xMx都收斂是/(xMx收斂的充分必要條

件.

由牛頓-萊布尼茲公式，若牛(x)是/(x)在［a,+8)上的一個原函數,且limE(x)存在，則

廣義積分

rf{x}dx=limF(x)—F(a).

JaxT+oo

為了書寫方便，當limR(x)存在時，常記E(+oo)=limF(x),即

[rf(x)dx=FM=F(+oo)-F(6Z).

另外兩種類型的廣義積分收斂時也可類似地記為

b+O0

￡/(X)JX=F(X)=F(b)~F(-oo),[/(xRx=F(x)=F(+oo)-F(-oo).

-oo"-00

注意：當F(+oo),F(-oo)有一個不存在時，廣義積分發散.

上述廣義積分統稱為積分區間為無窮的廣義積分，也簡稱無窮限積分.

例1計算無窮限積分］pe-'dx.

圖6-5

xxr

解：Pe~dx=lim[e~dx=lim(-^")=lim(-e-z+1)=1.

Jorf+ooJorf+00o/->+x

此積分在幾何上表示在區間［0,+8)匕e'和x軸之間圖形的面積(如圖6-5)

例2計算［—3dx.

J-?l+x

解：「占小匚q一(一9=%,

例3證明廣義積分］“當當p〉l時收斂，當p41時發散.

證：P=1時

11+8

f-ydx=1—dx-(Inx)|=+oo.

1JP陵+8,”1

當P*I時,f7公=(葭)=］.

Xl-pI-p>\

［p-1

因此，當P>1時，該廣義積分收斂，其值為」一；當pWl時，該廣義積分發散.

例4試討論廣義積分「"xsinxdx的斂散性.

解：因為

lim［xsinxdx=limfxd(-cosx)

/->+ooJ0;->+ocJO

=lim(-xcosx+sin=lim(-/cosz+sinr)

TT+co10-

上述極限不存在，所以「"xsinxdx發散.

6.6.2無界函數的廣義積分

定義3設函數/(x)在\a,b］上連續，而lim/(x)=oo.取￡>0,如果極限

L」X-X/+0

lim￡f(x)dx存在，則此極限叫做函數/(x)在［凡句上的廣義積分，仍然記作

，/(刀心，即

(f(x\lx=lim

Ja￡->0M

這時也說廣義積分f/(xMx收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分f/。9發散

類似地，設/(X)在卜,“上連續，而lim/(x)=8,取￡>0,如果極限limff(x)dx

存在，則定義

ff(x)dx=limf'f(x)dx.

6t->0+M

否則，就說廣義積分發散.

又設/(x)在上力］上除點c(a<c<b)外連續，而lim/(x)=8.如果兩個廣義積分

［與，/(幻心都收斂，則稱上述兩積分之和為函數/(X)在上的廣義積分，

即

￡/(x)Jx=￡f(x)dx+^f(x)dx,

這時稱廣義積分收斂；否則，就說廣義積分f/(xRx發散.

例5計算廣義積分『JL—(a>0).

解：因為

limf，=4-oo,

—。\la2-x2

所以x=a為被積函數的無窮間斷點，于是

..CI—￡

=limarcsin-----arcsin0=arcsin1=—.

￡->o+a2

這個廣義積分值在幾何上表示位于曲線>=-；"=彳之下，X軸之上，直線x=0與

—%-

x=Q之間的圖形面積(如圖6-6).

圖6-6

例6討論廣義積分的斂散性.

解:因為被枳函數〃x)=4在積分區間［-1,1］上除x=0外連續，且㈣4=°°?所以x=0

是被積函數的無窮間斷點，于是

所以廣義積分上;必發散，因而廣義積分發散.

注意：若該題未注意到x=0是無窮間斷點，而直接利用定積分計算，有

J：5dx=(-［)L=-1-1=一2,則出現錯誤，故在積分計算中一定要注意檢查是否有無

窮間斷點.

例7證明廣義積分與當q<1時收斂，當q21時發散.

證：當q=l時

[―=[―lim[—dx=limInxf=oo.

Jox"*)X￡-?0+J/X￡->0+￡

當4聲1時

1,

fdxx'^,1--,"1

"q

+co,q>1

因此，當q<l時，該廣義積分收斂，其值為」一；當q21時，該積分發散.

1-<7

例8

分析:它是一個定積分區間為無窮的廣義積分，并且

除0點外，在積分區間上連續，且lim=00,故廣義積分既是無限

x->0+

區間的廣義積分，又是無界函數的廣義積分，因此本題要分成兩種廣義積分來計算

解：

lim“dx+lim&dx

r->co

=limf(-2上-為(-4)+lim](-2.3(-4)

J—>0/TOOJI

=lim(-2e-1+2"指)+lim(-2e^+21)

=-20-+2+0+2/=2.

注：該廣義積分既是無限區間的廣義積分，又是無界函數的廣義積分，可簡稱為混合型的廣

義積分.

作業：%1(2)(4)(6)2(1)(3)(5)

§6.7定積分的應用

教學目的與要求：

1.學會掌握微分法處理問題的基本思想.

2.熟記平面圖形面積及平面曲線的弧長的計算公式.

重點：微元法的思想及平面圖形面積.

難點：微元法.

課時：6學時.

6.7.1定積分的元素法

根據定積分的定義，用它解決實際問題的基本方法是“分割、近似、求和、取極限”，也就

是下述四個步驟：

第一步：分割，將所求量尸的定義域可任意分成〃個小區間

a=x0<xi---<xn=b.

第二步：近似，在每個小區間上任取一點。作為F在此小區間上的近似值，

第三步：求和，求出產在整個區間［。,可上的近似值，F=

/=1f=l

第四步：取極限，取/l=max(Ar,.)^0時的極限得到b在［a,b］上的精確值，

/=lim￡/C=ff(x)dx.

2->0/=1而

在上述四個步驟中，第二步最為關鍵，因為它直接決定了最后的積分表達式.在實際的應用

中，通常將上述四步簡化為以下兩步：

(1)在可上任取一個子區間［x,x+dx］,求出/在此區間上的部分量△￡.的近似值,

記為dF=f(x)dx(稱為f的元素)

(2)將元素而在［a,句上積分(無限量加)得尸=f/(xMx.

(1)、(2)兩步解決問題的方法稱為定積分的元素法.

利用元素法解決實際問題最主要的是準確求出元素表示式dF=/(x)dx.一般地，根據具體

問題的實際意義及數量關系，在局部［x,x+dx］上，采取以“常量代替變量”，“均勻代替不

勻”，“直線代替曲線”的方法，利用關于常量，均勻，直線的已知公式，求出在局部［x,x+dx］

上所求量的近似值，從而得到所求元素dQ=/(x)dx,就可化為定積分求解.

下面我們用元素法來討論定積分的?些應用問題.

6.7.2平面圖形的面積

1、直角坐標情形

由定積分的幾何意義可知，曲線y=/(x)(/(x)20),x軸及直線x=a,x=b所圍

成的平面圖形的面積可以表示為定積分即

A=￡/(x)Jx.

其中被積表達式/(x)dx就是直角坐標系下的面積微元dA,如圖6-1所示，它表示高為

/(x),底為dx的一個矩形面積.