專題01一元一次不等式與一元一次不等式組目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一不等式的定義】 2【考點二不等式的性質】 3【考點三一元一次不等式的定義】 5【考點四根據一元一次不等式的解集求參數】 6【考點五求一元一次不等式的解集】 7【考點六方程(組)與一元一次不等式結合求參數的問題】 9【考點七一元一次不等式與一次函數】 10【考點八求一元一次不等式組的解集】 14【考點九利用一元一次不等式組的整數解求參數的取值范圍】 17【考點十根據一元一次不等式組的解集的情況求參數的取值范圍】 19【考點十一方程與不等式（組）解決實際問題】 20【過關檢測】 261.不等式的概念2.不等式的基本性質3.一元一次不等式的解法4.一元一次不等式組列一元一次不等式（組）解實際問題的一般步驟：（1）審題；（2）設未知數，找不等量關系式；（3）設元，根據不等量關系式列不等式（組）；（4）解不等式（組），檢驗并作答。考點剖析【考點一不等式的定義】例題：（22-23八年級下·四川達州·期末）在數學表達式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】一元一次不等式的定義：含有一個未知數，且未知數的次數是1，未知數的系數不為0，左右兩邊為整式的不等式；根據一元一次不等式的定義，對各個表達式逐一分析，即可得出答案．【詳解】解：是不等式，不是一元一次不等式；是整式，不是一元一次不等式；是方程，不是一元一次不等式；是整式，不是一元一次不等式；是一元一次不等式；有兩個未知數，不是一元一次不等式；∴是一元一次不等式的只有1個，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元一次不等式的定義，從而完成求解．【變式訓練】1．（22-23七年級下·山東淄博·期末）在下列數學表達式中，不等式的個數是（

）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由不等號（，，，，）連接的式子叫不等式，據此進行判斷．【詳解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4個故選擇：C．【點睛】本題考查來了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵．2．（22-23七年級下·遼寧撫順·期末）下列數學式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（

）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據不等式的定義：用不等號連接的式子是不等式，逐個進行判斷即可．【詳解】解：①，是不等式，符合題意；②，是不等式，符合題意；③，是等式，不符合題意；④，是多項式，不符合題意；⑤，是不等式，符合題意；綜上：是不等式的有①②⑤，共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了不等式的定義，解題的關鍵是掌握用不等號連接的式子是不等式．【考點二不等式的性質】例題：（23-24八年級上·浙江紹興·期末）若，則下列式子中一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了不等式的性質，根據不等式的性質進行計算，逐一判斷即可解答．熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故符合題意；D、，的符號不確定不一定成立故不符合題意；故選：C．【變式訓練】1．（22-23七年級下·四川涼山·期末）已知，下列變形一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查不等式的性質，不等式性質一：不等式兩邊同時加上可減去同一個數或整式，不等號不變；不等式性質二：不等式兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號不變；不等式性質三：不等式兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號要改變方向．根據不等式的性質，逐項判定即可．【詳解】解：∵，A.，故此選項不符合題意；B.不能推出，故此選項不符合題意；

C.當時，當時，當時，故此選項不符合題意；

D.一定成立，故此選項符合題意，故選：D．2．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了不等式的性質．根據不等式的性質，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；B．若，則，故本選項錯誤，不符合題意；C．若，，則，故本選項錯誤，不符合題意；D．若，，則，故本選項正確，符合題意；故選：D．【考點三一元一次不等式的定義】例題：（23-24八年級上·湖南·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元一次不等式的定義．熟練掌握含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式是解題的關鍵．根據一元一次不等式的定義進行判斷作答即可．【詳解】A中不含未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；B中是一元一次不等式，故符合題意；C中中含有兩個未知數，不是一元一次不等式，故不符合題意；D中未知數的最高次數為2，不是一元一次不等式，故不符合題意．故選：B．【變式訓練】1．（22-23七年級下·山東泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】只含有一次未知數，且未知數的最高次數為1的不等式叫一元一次不等式，根據一元一次不等式的定義可直接判斷求解．【詳解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；B、此不等式是一元一次不等式，故此選項符合題意；C、此不等式含有2個未知數，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；D、此不等式最高次數是2次，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的定義是解題的關鍵．要注意：一元一次不等式中必須只含有一個未知數，未知數的最高次數是一次，并且不等式左右兩邊必須是整式．2．（22-23七年級下·福建福州·期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一元一次不等式的三個特點：不等式的兩邊都是整式；只含個未知數；未知數的最高次數為次，進行求解即可．【詳解】解：不含未知數，錯誤；B.符合一元一次不等式的定義，正確；C.分母含未知數，錯誤；D.含有兩個未知數，錯誤．故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的三個特點是關鍵．【考點四根據一元一次不等式的解集求參數】例題：（22-23八年級上·江西南昌·期末）已知關于的不等式的解集如圖所示，則的值為．【答案】【分析】根據不等式的性質：系數化解得不等式，然后根據數軸可知不等式的解，即可解得的值．【詳解】合并同類項，得，結合題圖把系數化為1，得，則有=，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了在數軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式的知識，掌握解關于的不等式是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（22-23八年級下·寧夏銀川·期末）關于x的不等式的解集為，則k的取值范圍為．【答案】/【分析】根據不等式的性質，不等式的兩邊同乘或除以同一個正數，不等號的方向不變，可得答案．【詳解】解：不等式的解集為，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次不等式的性質，解一元一次不等式，掌握不等式性質，不等式的兩邊同時乘以或除以一個正數，不等號的方向不變是解題關鍵．2．（22-23八年級下·寧夏中衛·期末）不等式的解集為，則【答案】【分析】按照解一元一次不等式的步驟進行計算可得，然后根據已知易得，從而可得，最后把m的值代入式子中進行計算，即可解答．【詳解】解：，，，，，，∵不等式的解集為，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關鍵．【考點五求一元一次不等式的解集】例題：（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）解不等式，并將其解集在數軸上表示出來．【答案】，數軸見解析．【分析】本題考查的是解一元一次不等式，在數軸上表示不等式解集，先去分母，再移項，合并同類項，求出x的取值范圍在數軸上表示出來即可．【詳解】解：去分母，得，移項，合并同類項，得，分母化為1，得．在數軸上表示如下：．【變式訓練】1．（23-24七年級上·江蘇蘇州·期末）解不等式:，并把它的解集在數軸上表示出來.【答案】，數軸見解析【分析】本題考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括號，移項，合并同類項，把的系數化為1，再把不等式的解集在數軸上表示出來即可．【詳解】解：2．（22-23七年級下·吉林白山·期末）解不等式，并把解集在數軸上表示出來．【答案】，數軸見解析【分析】先根據不等式的解法求解不等式，然后把解集在數軸上表示出來．【詳解】解：，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并得：，系數化為1得：，在數軸上表示為：【點睛】本題考查了解簡單不等式的能力，以及在數軸上表示不等式的解集，解不等式要依據不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．3．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）小米同學求解一元一次不等式的過程：解不等式：.解：去分母，得.第一步去括號，得.第二步移項，得.第三步合并同類項，得.第四步系數化為1，得.第五步所以原不等式的解為.(1)該解題過程中從第_________步開始出現錯誤；(2)請你按照上面演算步驟寫出正確的解答過程.【答案】(1)一(2)見詳解【分析】本題主要考查一元一次不等式的解法，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵；（1）根據去分母可進行求解；（2）根據一元一次不等式的解法可進行求解．【詳解】（1）由題意可知解題過程中從第一步開始出現錯誤；故答案為一；（2）解：去分母得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項得：，系數化為1得：，∴原不等式的解集為．【考點六方程(組)與一元一次不等式結合求參數的問題】例題：（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）已知方程組的解滿足，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是解二元一次方程組及解一元一次不等式．兩式相加求得，再由得出的取值范圍即可．【詳解】解：，①②得，，解得；，解得．故答案為：．【變式訓練】1．（22-23七年級下·四川樂山·期末）已知關于x的方程的解是非負數，則m的取值范圍是．【答案】【分析】方程變形后求出解，根據解為負數求出m的范圍即可．【詳解】解：方程，移項得：，∴根據題意得：，解得：，所以m的取值范圍是．【點睛】點評：本題考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解題的關鍵是把字母m看作一個常數來解，本題是常見的題型要求掌握．2．（23-24八年級上·廣西貴港·期末）關于的二元一次方程組的解滿足不等式，則的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了解一元一次不等式，二元一次方程組的解．先利用整體的思想求出，從而可得，進而可得，然后按照解一元一次不等式的步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：，①②得：，解得：，，，解得：，故答案為：．【考點七一元一次不等式與一次函數】例題：（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，直線交軸、軸分別于點、，直線與直線交于點，與軸交于點．已知，點的橫坐標為．(1)求直線的解析表達式；(2)觀察圖像，直接寫出不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與不等式的關系；（1）先根據點與圖象的關系求出的坐標，再利用待定系數法求解；（2）根據函數與不等式的關系求解．【詳解】（1）當時，，，由題意得：，解得：，直線的解析表達式為；（2）由圖象得：當時，直線高，不等式的解集為：．【變式訓練】1．（22-23八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，已知直線經過點A，B，直線與該直線交于點C．

(1)求直線的表達式；(2)求兩直線交點C的坐標；(3)根據圖象，直接寫出關于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查的是待定系數法求解析式和一次函數與一元一次不等式的關系（1）利用待定系數法代入求解即可；（2）兩直線的解析式聯立方程組，解方程組得到點的坐標；（3）根據圖象，找出點右邊的部分的的取值范圍即可．【詳解】（1）解：直線經過點，，，解得，直線的表達式為；（2）解：直線與直線相交于點，，解得，點的坐標為，；（3）解：由圖象可知，點右邊直線在的上面，不等式的解集為．2．（22-23八年級上·云南文山·期末）已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點，與相交于點．(1)請根據圖象直接寫出當時，的取值范圍是__________．(2)求點的坐標．(3)在軸上一點．若，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查一次函數綜合，解題的關鍵是掌握求一次函數交點的方法，平面直角坐標系中三角形面積的表示方法，通過函數圖象得出不等式解集的方法．（1）先分別求出A、D、C的坐標，然后根據題意，x的取值范圍是當直線在直線上方且兩條直線都在x軸上方時x的范圍；（2）由（1）直接得出即可；（3）設，先求出直線與y軸的交點坐標，然后得出關于m的方程求解即可。【詳解】（1）解：聯立方程組，解得，∴，對于，當時，，解得，∴，對于，當時，，解得，∴，根據題意，直線在直線上方時，x的取值范圍是，滿足兩條直線都在x軸上方，則，∴當時，的取值范圍是，故答案為：；（2）解：由（1）知：；（3）解：設，與y軸相交于F，對于，當時，，∴，∴，∵，∴，∴或，∴點E的坐標為或.【考點八求一元一次不等式組的解集】例題：（23-24七年級下·貴州黔南·期末）解不等式組，并在數軸表示不等式組的解集．【答案】，數軸表示見解析．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再把解集在數軸上表示出來即可，掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：解得，，解得，，∴不等式組的解集為，在數軸上表示不等式組的解集如圖所示：【變式訓練】1．（22-23七年級下·湖南衡陽·期末）解不等式組，把不等式組的解集在數軸上表示出來；

【答案】畫圖見解析，不等式組的解集是．【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的求解，以及用數軸表示解集，熟練掌握解不等式組的方法與步驟是關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到來確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：．解不等式②得：，把不等式①和②的解集在數軸上表示出來．

∴不等式組的解集是．2．（22-23七年級下·云南昆明·期末）解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．【答案】，見解析【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【詳解】由得：，由得：，則不等式組的解集為，將解集表示在數軸上如下：3．（22-23八年級下·四川達州·期末）解不等式組，并寫出它的非負整數解．【答案】非負整數解為：，，，；【分析】本題考查解不等式組，先解不等式①②，再由同大取大，同小取小，相交取中間相背無解直接求解即可得到答案；【詳解】解：解不等式得，，解不等式得，，∴不等式組的解集為：，它的非負整數解為：，，，．4．（22-23七年級下·遼寧葫蘆島·期末）解不等式組把解集在數軸上表示出來．并寫出其整數解

【答案】，圖見解析，整數解為3，4，5，6，7，8【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數軸表示，再結合數軸找出整數解即可．【詳解】，解不等式①，得：，解不等式②，得：，故不等式組的解集為：，把解集在數軸上表示出來為：

則整數解是：3，4，5，6，7，8．【考點九利用一元一次不等式組的整數解求參數的取值范圍】例題：（22-23七年級下·黑龍江佳木斯·期末）關于x的不等式組的整數解有5個，則a的取值范圍是【答案】/【分析】先表示出不等式組的解集，再由整數解的個數，可得a的取值范圍．【詳解】解：由，解得：，∵不等式組的整數解共有5個，則其整數解為：，，，0，1，∴．故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數解等知識點，關鍵是能根據不等式組的解集和已知得出a的取值范圍．【變式訓練】1．（22-23八年級下·四川成都·期末）若關于x的不等式組的整數解只有2，3，4，且a，b均為整數，則的最大值為．【答案】10【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：，∵整數解只有2，3，4，∴，解得：，∵a，b均為整數，∴當時，最大值為：．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，根據整數解只有2，3，4找到不等關系是解題關鍵．2．（22-23七年級下·江蘇宿遷·期末）已知關于x的不等式組的解集中至少有個整數解，則整數的最小值是．【答案】【分析】表示出不等式組的解集，由解集中至少有個整數解，確定出的范圍，進而求出整數的最小值即可．【詳解】解：不等式組整理得：，解得：，不等式組解集中至少有個整數解，即至少個整數解為，，，，，則整數的最小值為，故答案為：．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．【考點十根據一元一次不等式組的解集的情況求參數的取值范圍】例題：（22-23八年級下·四川成都·期末）已知一元一次不等式組的解集為．則的取值范圍是.【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．根據不等式組取解集的方法確定出的范圍即可．【詳解】解：解不等式，得，因為一元一次不等式組的解集為．所以．故答案為：．【變式訓練】1．（22-23七年級下·重慶長壽·期末）若關于的不等式組無解，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了，求出a的取值范圍是多少即可．【詳解】解：解第一個一元一次不等式得：，關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組的解集，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．2．（22-23七年級下·重慶萬州·期末）若關于x的不等式組的解集為，則的值為．【答案】【分析】解出不等式組的解集，根據題意，可以求出，的值，代入即可求值．【詳解】由，解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組解集為：，∴，，解得：，，則：，故答案為：．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組．【考點十一方程與不等式（組）解決實際問題】例題：（23-24八年級上·湖南懷化·期末）某中學為落實《教育部辦公廳關于進一步加強中小學生體質健康管理工作的通知》文件要求，決定增設籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球，已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．(1)求籃球和足球的單價分別是多少元．(2)學校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5460元，那么有哪幾種購買方案？【答案】(1)籃球和足球的單價分別是120元，90元(2)有三種購買方案：方案一：購買籃球30個，足球20個；方案二：購買籃球31個，足球19個；方案三：購買籃球32個，足球18個【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式組的實際應用：（1）設籃球和足球的單價分別是x元，y元，根據購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元列出方程組求解即可；（2）設購買籃球m個，則購買足球個，根據購買費用不超過5460元，且籃球不少于30個列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設籃球和足球的單價分別是x元，y元，由題意得，，解得，答：籃球和足球的單價分別是120元，90元；（2）解：設購買籃球m個，則購買足球個，由題意得，，解得，∵m為正整數，∴m的值可以為30或31或32，∴有三種購買方案：方案一：購買籃球30個，足球20個；方案二：購買籃球31個，足球19個；方案三：購買籃球32個，足球18個．【變式訓練】1．（23-24八年級上·湖北隨州·期末）“垃圾分一分，環境美十分”．某社區為積極響應有關垃圾分類的號召，從百貨商場購進了A，B兩種品牌的垃圾桶作為可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每個貴40元，用3000元購買A品牌垃圾桶的數量是用2000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍．(1)購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若該社區決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶共60個，恰逢百貨商場對這兩種品牌垃圾桶的售價進行調整：A品牌按上一次購買時售價的七折出售，B品牌比上一次購買時售價提高了．那么該社區此次最多可購買多少個B品牌垃圾桶？【答案】(1)購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元(2)該學校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式的應用，找出等量關系即可列出方程，或找到不等關系列出不等式：（1）設一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元，根據“用3000元購買A品牌垃圾桶的數量是用2000元購買B品牌垃圾桶數量的2倍”即可列出分式方程，求解后檢驗即可解答；（2）設該學校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶，根據“該校決定再用不超過6000元購進A，B兩種品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．【詳解】（1）解：設一個A品牌的垃圾桶需要x元，則一個B品牌的垃圾桶需要元．根據題意，得：，解得：，經檢驗，是該分式方程的解．∴答：購買一個A品牌需要120元，購買一個B品牌的垃圾桶需160元．（2）解：設該學校此次購買n個B品牌垃圾桶，則購買個A品牌垃圾桶．根據題意，得，解得：，∵n取整數，∴n的最大值為10，答：該學校此次最多可購買10個B品牌垃圾桶．2．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）某水果超市兩次去批發市場采購同一品種的蘋果，第一次用800元購進了若干千克，很快實完，第二次用2200元所購數量比第一次多120千克，且每千克的進價比第一次提高了．(1)求第一次購買蘋果的進價；(2)求第二次購買蘋果的數量；(3)該水果超市按以下方案賣出第二次購買的蘋果；先以a元/千克的價格售出m千克，再以15元/千克的價格售出剩余的全部蘋果（不計損耗），共獲利1500元，若a，m均為正整數，且a不超過第二次進價的2倍，直接寫出a和m的值．【答案】(1)第一次購買蘋果的進價為10元/千克，第二次購買的進價為11元/千克(2)200千克(3)，【分析】本題考查分式方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．（1）設第一次購買蘋果的進價為元，根據第二次用2200元所購數量比第一次多120千克，且每千克的進價比第一次提高了，列出分式方程進行求解即可；（2）用總價除以進價，求出數量即可；（3）根據總利潤等于單價利潤乘以銷量，列出二元二次方程，用含的代數式表示出的值，根據a不超過第二次進價的2倍，求出的范圍，求出的正整數解即可．【詳解】（1）解：設第一次購買蘋果的進價為元/千克，則：第二次購買的進價為元/千克，由題意，得：，解得：，經檢驗是原方程的解，∴，答：第一次購買蘋果的進價為10元/千克，第二次購買的進價為11元/千克；（2）第二購買的數量為（千克）；（3）由題意，得：，整理，得：，解得：，∵，∴，∴，∵均為正整數，∴，．3．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）武漢市某區的天然氣管道升級工程，若由乙工程隊單獨完成所需天數是由甲工程隊單獨完成所需天數的兩倍；若甲工程隊單獨做5天后，再由乙工程隊單獨做15天，恰好完成該工程的一半，共需施工費28萬元，甲工程隊每天的施工費用比乙工程隊每天的施工費用多0.8萬元，(1)單獨完成此項工程，甲、乙兩工程隊各需多少天？(2)甲、乙兩工程隊每天的施工費各為多少萬元？(3)甲、乙兩工程隊合做，若要完成全部工程的施工費不超過52萬元，且乙工程隊的施工天數大于6天，直接寫出甲工程隊施工天數．（天數為整數）【答案】(1)甲需25天，乙需50天(2)甲每天的施工費用為萬元，乙每天的施工費用為1.2萬元；(3)20天或21天【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次方程和不等式組的應用，根據已知數量關系正確列式是解題關鍵．（1）設單獨完成此項工程，甲需工x天，則乙需2x天，根據題意列分式方程求解，檢驗后即可得到答案；（2）設乙每天的施工費用為y萬元，則甲每天的施工費用為萬元，根據題意列一元一次方程求解即可；（3）設甲工程隊施工天數為天，甲工程隊完成了此工程的，則乙工程隊完成了此工程的，所用時間為天，根據題意列一元一次不等式組求解即可【詳解】（1）解：設單獨完成此項工程，甲需工x天，則乙需2x天，由題意得：，．解得，檢驗：當時，，原分式方程的解為，故甲需25天，乙需50天；（2）解：設乙每天的施工費用為y萬元，則甲每天的施工費用為萬元，由題意得：，解得，，故甲每天的施工費用為萬元，乙每天的施工費用為1.2萬元；（3）解：設甲工程隊施工天數為天，則甲工程隊完成了此工程的，乙工程隊完成了此工程的，乙工程隊所用時間為天，，解得：，甲工程隊施工天數為20天或21天．4．（22-23七年級下·內蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫藥公司往武漢運送醫藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫藥公司準備將一批醫藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？【答案】(1)輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸(2)當安排輛型車，輛型車時，總費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是找準等量關系和不等關系，正確列出二元一次方程組和一元一次不等式組．（1）設輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據“用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設安排輛型車，則安排輛型車，根據“付費總金額不超過元，且物資不少于噸”，可列出關于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，結合為正整數，可得出各租車方案，再求出各租車方案所需總費用，比較后即可得出結論．【詳解】（1）解：設輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸，根據題意得：，解得：．答：輛型車輛裝滿物資一次運噸，輛型車輛裝滿物資一次運噸；（2）解：設安排輛型車，則安排輛型車，根據題意得：，解得：，又為正整數，可以為，，共有種租車方案，方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為；（元）；方案：安排輛型車，輛型車，所需總費用為（元）．∵，當安排輛型車，輛型車時，總費用最少．5．（22-23七年級下·四川涼山·期末）某體育用品店準備購進甲、乙兩種品牌跳繩，若購買甲種跳繩根，乙種跳繩5根，需要元，若購買甲種跳繩5根，乙種跳繩3根，需要元．(1)求購進甲，乙兩種跳繩每根各需多少元？(2)若該體育用品店剛好用了元購進這兩種跳繩，考慮顧客需求，要求購進甲種跳繩的數量不少于乙種跳繩數量的3倍，且乙種跳繩數量不少于根，那么該文具店共有哪幾種購買方案？(3)若該體育用品店銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元(2)有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根(3)購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元【分析】（1）設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，然后根據題意建立二元一次方程組求出其解即可；（2）設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，然后根據題意建立不等式組求出其解即可；（3）根據（2）的結論，結合題意，分別求得利潤，比較即可求解．【詳解】（1）解：設購進甲種跳繩每根需要a元，購進乙種跳繩每根需要b元，由題意得：，解得：，答：購進甲種跳繩每根需要元，購進乙種跳繩每根需要元．（2）解：設購進甲種跳繩x個，則購進乙種跳繩個，根據題意得，解得：，∵為正整數，∴，當時，，當時，，不是整數，不符合題意，舍去，當時，，當時，，不是整數，不符合題意，舍去，當時，，答：該商店有3種進貨方案：方案①購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案②購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；方案③購進甲種跳繩根，乙種跳繩根；（3）解：∵銷售每根甲種跳繩可獲利潤3元，銷售每根乙種跳繩可獲利潤4元，由（2）可知，方案①：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案②：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，則利潤為；∵，∴方案③：購進甲種跳繩根，乙種跳繩根，獲利最大，最大利潤是元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據題意列出方程組與不等式組是解題的關鍵．【過關檢測】過關檢測一、單選題1．（22-23七年級下·福建福州·期末）下列各式中，是一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據一元一次不等式的定義解答即可．【詳解】解：A.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；B.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；C.，符合一元一次不等式的定義，故符合題意；D.，不符合一元一次不等式的定義，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查的是一元一次不等式的定義，含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式，熟練掌握此定義，是解題的關鍵．2．（22-23七年級下·四川·期末）若關于的不等式的解集是，則的值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】先用含的式子表示出不等式的解集，進而得到關于的方程，進行求解即可．【詳解】解：由，得：，∵不等式的解集為：，∴，∴；故選B．【點睛】本題考查根據不等式的解集求參數的值，正確的求出不等式的解集，是解題的關鍵．3．（23-24八年級上·湖南湘潭·期末）若，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了不等式的性質，能熟記不等式的性質的內容是解此題的關鍵，注意：不等式的性質1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數或式子，不等號的方向不變；不等式的性質2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的性質3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．根據不等式的性質逐個判斷即可．【詳解】解：A、將兩邊都減去3，得：，故此選項錯誤；B、將兩邊都乘以，再加上5，得：，故此選項正確；C、將兩邊都乘以，得：，故此選項錯誤；D、將兩邊都除以，得：，故此選項錯誤；故選：B．4．（23-24八年級上·陜西西安·期末）已知一次函數的圖象上兩點，，當時，有，并且圖象不經過第三象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數的坐標特征和圖象性質，根據一次函數和的變化規律得到一次函數的，圖象不經過第三象限，得到一次函數的或，建立不等式組求出結果即可．解題的關鍵是根據題意成立不等式組，并求出解．【詳解】解：∵時，有，∴；又∵圖象不經過第三象限，∴，∴，解得：，故選：D．5．（23-24八年級上·江西南昌·期末）若關于y的不等式組有解，則滿足條件的整數m的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】解不等式組得，，根據不等式組有解可得，即，即可求解．【詳解】解：，由①得，，由②得，，∵關于y的不等式組有解，∴，即，∴滿足條件的整數m的最大值為7，故選：B．6．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，一次函數與的圖象相交于點，則下列說法錯誤的是（

）

A． B．C．關于x的方程的解是 D．關于x的不等式的解集是【答案】D【分析】本題主要考查兩條直線的交點問題，運用待定系數法可求出交點坐標，和一次函數圖象的解析式，再結合圖形分析即可求解，掌握一次函數圖象的性質即可求解．【詳解】解：根據題意，把交點代入一次函數中得，，解得，，∴，把點代入一次函數圖象得，，根據一次函數的圖象可得，，故A，B選項正確，不符合題意；當時，，故C選項正確，不符合題意；當時，，故D選項錯誤，符合題意；故選：D．二、填空題7．（22-23八年級上·浙江寧波·期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為．【答案】【分析】a的一半為，與3的和為，小于即，據此列不等式．【詳解】解：由題意得，．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出不等式．8．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）已知點在第二象限，則a的值可以等于．（寫出一個符合要求的a值）【答案】【分析】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵．根據第二象限內點的橫坐標是負數進行解答即可．【詳解】解：∵點在第二象限，∴，即，∴a的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．9．（22-23七年級下·四川綿陽·期末）關于的方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】/【分析】由方程組可得，結合可得，求解即可獲得答案．【詳解】解：對于方程組，由，可得，整理可得，因為，即有，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組、解一元一次不等式等知識，求出是解答本題的關鍵．10．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）若關于的不等式組無解，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組無解，先求出每個不等式的解集，根據不等式組無解可得，解不等式即可求解，理解不等式組無解即兩個不等式的解集沒有公共部分是解題的關鍵．【詳解】解：，解得，，解得，，∵不等式組無解，∴，解得，故答案為：．11．（22-23七年級下·重慶·期末）已知平面直角坐標系中的點在第四象限，且關于x的不等式組有且只有4個整數解，則符合條件的整數m的和為．【答案】5【分析】先求出點在第四象限的取值范圍，再求出關于的不等式組的解集，根據不等式組有且只有4個整數解，得，綜合的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：點在第四象限，，解得：，關于的不等式組，解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式組的解集為：，關于的不等式組有且只有4個整數解，，解得：，∴，符合條件的整數有：2，3；符合條件的整數的和為：．故答案為：5．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數解，坐標與圖形，解題的關鍵是熟練掌握不等式組的解法．12．（22-23七年級下·山東威海·期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關聯方程”．在方程①，②，③中，不等式組的關聯方程是．【答案】③【分析】分別解不等式組和各一元一次方程，再根據“關聯方程”的定義即可判斷．【詳解】解：解不等式組，得：，方程①的解為；方程②的解為；方程③的解為，不等式組的關聯方程是③，故答案為：③．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解題的關鍵是理解并掌握“關聯方程”的定義和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．三、解答題13．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）解下列不等式（組）：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解不等式或不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解題方法，準確計算．（1）先移項，合并同類項，然后再將系數化為1即可；（2）分別求出兩個不等式的解集，然后再求出不等式組的解集即可．【詳解】（1）解：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．14．（23-24七年級上·重慶北碚·期末）解不等式（組）(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式組，（1）不等式移項合并，把x系數化為1，即可求出解；（2）不等式去括號，移項合并，把x系數化為1，即可求出解；（3）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（4）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．【詳解】（1）移項，合并同類項得，系數化為1得，；（2）去括號得，移項，合并同類項得，系數化為1得，；（3）解不等式①，移項，合并同類項得，；解不等式②，去括號得，移項，合并同類項得，系數化為1得，；故不等式組的解集為：；（4）解不等式①，去分母得，移項，合并同類項得，；解不等式②，去分母得，去括號得，移項，合并同類項得，系數化為1得，；故不等式組的解集為：．15．（22-23七年級下·山東濟寧·期末）如圖，平面直角坐標系中，直線與直線交于點．

(1)求，的值；(2)當時，的取值范圍是______；(3)請求出當取何值時，滿足不等式．【答案】(1)的值為，的值為(2)(3)【分析】（1）把代入，求出，再把代入，即可求出；（2）根據圖象找出直線不在直線上方的部分對應的自變量的取值范圍即可；（3）根據圖象找出直線與直線均落在軸上方的部分對應的自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）把代入得：，把代入得：，解得．即的值為，的值為；（2）由圖象可知當時，的取值范圍是．故答案為：；（3）由圖象可知當時，滿足不等式．【點睛】本題考查兩條直線的交點問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解．也考查了一次函數一元一次不等式，利用數形結合的思想是解題的關鍵．16．（23-24八年級上·廣西百色·期末）某校計劃租用甲、乙兩種型號客車送200名師生去研學基地開展綜合實踐活動，需租用甲、乙兩種型號的客車共10輛．已知租用一輛甲型客車需800元，租用一輛乙型客車需1100元．甲型客車每輛可坐16名師生，乙型客車每輛可坐22名師生．設租用甲型客車x輛，租車總費用為y元．(1)請寫出y與x之間的函數表達式．（不要求寫自變量的取值范圍）(2)據資