1.5全稱量詞與存在量詞

1.5.1全稱量詞與存在量詞

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解全稱量詞、全稱量詞命題的定義.2.理解存在量詞、存在量詞命題的定義.

3.會判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它們的真假.

知識梳理-----------梳-理-教-材、夯-實(shí)--基-礎(chǔ)

知識點(diǎn)全稱量詞和存在量詞

全稱量詞存在量詞

量詞所有的、任意一個(gè)存在一個(gè)、至少有一個(gè)

符號V3

命題含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題含有存在量詞的命題是存在量詞命題

“對〃中任意一個(gè)x,p（x）成立“，“存在〃中的元素X,0（x）成立“，可

命題形式

可用符號簡記為“NXRM,筒x）”用符號簡記為'勺XGM,5

■思考辨析判斷正誤

1.“有些”“某個(gè)”“有的”等短語不是存在量詞.（X）

2.全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.（V）

3.“三角形內(nèi)角和是180。”是全稱量詞命題.（V）

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

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一、全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析

例1（1）下列語句不是存在量詞命題的是（）

A.有的無理數(shù)的平方是有理數(shù)

B.有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù)

C.對于任意xdZ,2x+l是奇數(shù)

D.存在xGR,2x+l是奇數(shù)

答案C

解析因?yàn)椤坝械摹薄按嬖凇睘榇嬖诹吭~，“任意”為全稱量詞，所以選項(xiàng)A,B,D均為存

在量詞命題，選項(xiàng)C為全稱量詞命題.

(2)給出下列幾個(gè)命題：

①至少有一個(gè)x,使f+2x+l=0成立；

②對任意的x,都有x+21=0成立；

③對任意的x,都有f+2x+l=0不成立；

④存在x,使犬+2入+1=0成立.

其中是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

答案B

解析因?yàn)椤爸辽儆幸粋€(gè)”、“存在”是存在量詞，“任意的”為全稱量詞，所以①④為存

在量詞命題，②③為全稱量詞命題，所以全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為2.

反思感悟全稱量詞命題或存在量詞命題的判斷

注意：全稱量詞命題可以省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略.

跟蹤訓(xùn)練1下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為()

①平行四邊形的對角線互相平分；

②梯形有兩邊平行；

③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等.

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.

二、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

例2判斷下列命題的真假.

(1)3xGZ,f<l；

⑵存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；

⑶在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x,力都對應(yīng)一點(diǎn)P;

(4)Vx?N,￡〉0.

解(1)因?yàn)橐籰ez,且(―1>=—1<1,

所以FxGZ,xtl”是真命題.

(2)真命題，如梯形.

(3)由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系知，它是真命題.

⑷因?yàn)镺WN,。=。，所以命題“VxGN,f>0”是假命題.

反思感悟全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判斷

⑴要判斷一個(gè)全稱量詞命題為真，必須對于給定集合的每一個(gè)元素x,命題p(x)為真；但要

判斷一個(gè)全稱量詞命題為假時(shí)，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素X,使命題p(x)為假.

⑵要判斷一個(gè)存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個(gè)元素X,使命題p(x)為真;

要判斷一個(gè)存在量詞命題為假，必須對于給定集合的每一個(gè)元素X,命題0(x)為假.

跟蹤訓(xùn)練2指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的真假.

(l)VxWN,2x+l是奇數(shù)；

(2)存在一個(gè)xGR,使」7=0.

解(1)是全稱量詞命題，因?yàn)閂xGN,2x+1都是奇數(shù)，所以該命題是真命題.

(2)是存在量詞命題.因?yàn)椴淮嬖趚GR,使^=0成立，所以該命題是假命題.

三、由全稱量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)

例3已知集合/={x|—2WxW5},8={X|R+1WXW20-1},且片。.

(1)若命題0:"VxGB,xG/"是真命題，求勿的取值范圍；

(2)命題g：'勺x^A,xGB"是真命題，求R的取值范圍.

解(1)由于命題2”VxG"'是真命題，

所以醫(yī)4肝。,

1,

所以<勿+12—2,

、2/?—1W5,

解得2W必W3.

(2)g為真，則,

因?yàn)檗k。，所以〃22.

")+1W5,

所以氣0一12一2,

”22.

解得2W〃W4.

反思感悟求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略

對于全稱(存在)量詞命題為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立(能成立)問題，通常轉(zhuǎn)化為求

函數(shù)的最大值(或最小值).

跟蹤訓(xùn)練3若命題“對任意實(shí)數(shù)x,2x>Mf+l)”是真命題，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

解由題意知，不等式2x>H(y+i)恒成立，

即不等式2x+ffl<0恒成立.

⑴當(dāng)0=0時(shí)，不等式可化為一2x<0,顯然不恒成立，不合題意.

（2）當(dāng)0#0時(shí)，要使不等式勿隨一2了+成0恒成立，

則2

解得水一1.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)0的取值范圍是水一1.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.下列語句不是全稱量詞命題的是（）

A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零

B.自然數(shù)都是正整數(shù)

C.高二（一）班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員

D.每一個(gè)學(xué)生都充滿陽光

答案C

解析“高二（一）班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員”，即“高二（一）班有的同學(xué)不是團(tuán)員”，是存在

量詞命題.

2.下列命題中為全稱量詞命題的是（）

A.有些實(shí)數(shù)沒有倒數(shù)

B.矩形都有外接圓

C.存在一個(gè)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)的和為0

D.過直線外一點(diǎn)有一條直線和已知直線平行

答案B

3.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）

A.每個(gè)二次函數(shù)的圖象都開口向上

B.存在一條直線與已知直線不平行

C.對任意實(shí)數(shù)a,b,若a—6W0,則

D.存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使等式系一2x+l=0成立

答案C

解析B,D是存在量詞命題，故應(yīng)排除；對于A,二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a〈0）的圖象開口

向下，也應(yīng)排除，故應(yīng)選C.

4.下列命題，是全稱量詞命題的是,是存在量詞命題的是（填序號）.

①正方形的四條邊相等；

②有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正數(shù)的平方根不等于0;

④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù).

答案①②③④

解析①②③是全稱量詞命題，④是存在量詞命題.

5.若對任意x〉3,x〉a恒成立，則a的取值范圍是.

答案aW3

解析對于任意x〉3,x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a,所以aW3.

■課堂小結(jié)—

1.知識清單：

⑴全稱量詞命題、存在量詞命題的概念.

⑵含量詞的命題的真假判斷.

⑶通過含量詞的命題的真假求參數(shù).

2.常見誤區(qū)：有些命題省略了量詞，全稱量詞命題強(qiáng)調(diào)“整體、全部”，存在量詞命題強(qiáng)調(diào)

“個(gè)別、部分”.

課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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g基礎(chǔ)鞏固

1.下列命題是“VxCR,/〉3”的另一種表述方式的是（）

A.有一個(gè)xGR,使得x”3

B.對有些xGR,使得x”3

C.任選一個(gè)xGR,使得f〉3

D.至少有一個(gè)xWR,使得尤〉3

答案C

2.存在量詞命題“存在實(shí)數(shù)x,使f+l〈0”可寫成（）

A.若xGR,則f+l>0B.VxGR,/+K0

C.aXGR,A-2+1<0D.以上都不正確

答案c

解析存在量詞命題中“存在"可用符號'勺”表示，故選C.

3.以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角

B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)￡,使/W0

C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使>2

X

答案B

4.給出下列三個(gè)命題：

①對任意的xCR,xyQ；

②存在xGR,使得/Wx成立；

③對于集合4B,若XG4C6,則XG4且

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析對于①，存在x=0,使得1=0,故①是假命題；顯然②③是真命題.

5.下列說法正確的是（）

A.對所有的正實(shí)數(shù)力，有⑴〈力

B.存在實(shí)數(shù)x,使x?—3x—4=0

C.不存在實(shí)數(shù)x,使水4且f+5x-24=0

D.任意實(shí)數(shù)x,使得|x+l|Wl且V>4

案

答B(yǎng)

1

解析

時(shí)

力

-4-t,所以A選項(xiàng)錯(cuò)；由f—3x—4=0,得x=—1或x=4,因此當(dāng)x=-1

或x=4時(shí)，x"—3x—4=0,故B選項(xiàng)正確；由/+5x—24=0,得x=—8或x=3,所以C

選項(xiàng)錯(cuò)；x=0時(shí)，不成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò).

6.下列存在量詞命題中真命題有.

①有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

答案①②③

7.命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式（1+x）（1—9x）2〉0"用‘勺”寫成存在量詞命題為

答案mx<0,（1+x）（1—9X）2>0

解析存在量詞命題“存在〃中的元素x,使0（x）成立"可用符號簡記為'勺xGM,p（x）”.

8.下列命題中，是全稱量詞命題的有.（填序號）

①有的實(shí)數(shù)是整數(shù)；②三角形是多邊形；

③矩形的對角線互相垂直；④VxdR,f+2〉0；

⑤有些素?cái)?shù)是奇數(shù).

答案②③④

9.判斷下列命題的真假.

(1)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示；

(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得等式f+x+8=0成立.

解(1)假命題，如邊長為1的正方形，其對角線的長度為鏡，鏡就不能用正有理數(shù)表示.

(2)假命題，方程V+x+8=0的判別式zl=-31<0,故方程無實(shí)數(shù)解.

10.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假：

(1)3x,x—2W0.

(2)三角形兩邊之和大于第三邊.

⑶有些整數(shù)是偶數(shù).

解(1)存在量詞命題.X—1時(shí)，x—2=-1W0,故存在量詞命題x,x-2W0”是真命

題.

(2)全稱量詞命題.三角形中，任意兩邊之和大于第三邊.故全稱量詞命題“三角形兩邊之和

大于第三邊”是真命題.

⑶存在量詞命題.2是整數(shù)，2也是偶數(shù).故存在量詞命題“有些整數(shù)是偶數(shù)”是真命題.

京綜合運(yùn)用

11.下列全稱量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)為()

①對任意的實(shí)數(shù)a,b,都有

②二次函數(shù)與x軸恒有交點(diǎn)；

③Vx￡R,p￡R,都有f+|y|>0.

A.1B.2C.3D.0

答案B

12.已知命題夕：Vx￡R,3+2入一己〉0.若夕為真命題，則實(shí)數(shù)H的取值范圍是()

A.a)—1B.水—1C.—1D.aW—1

答案B

解析依題意不等式x?+2x-a>0對x￡R恒成立，所以必有/=4+4水0,解得水一1.

13.若存在x￡R,使af+2x+水0,則實(shí)數(shù)z的取值范圍為.

答案伯|水1}

解析當(dāng)aWO時(shí)，顯然存在x￡R,使3系+2萬+水0；

當(dāng)於0時(shí)，需滿足d=4一4才>0,得一1〈水1,

故0〈水1.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是水1.

14.若任意x￡R,函數(shù)V:"小+工一加一女的圖象和x軸恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)當(dāng)勿=0時(shí)，p=x—a與x軸恒相交，所