機械工程測試與控制技術三

機械系統的數學模型3.1系統微分方程的建立3.2拉氏變換與反變換3.3系統傳遞函數的求法3.4系統函數方框圖及簡化3.1系統微分方程的建立連續系統的微分方程的一般形式：分別為系統輸出和輸入;為微分方程系數若所有系數都不是輸入、輸出及其各階導數的函數，則微分方程表示的系統為線性系統；否則，系統為非線性系統。對線性系統，若系數為常數則為線性定常系統。線性定常系統線性時變系統非線性系統3.1系統微分方程的建立線性系統的疊加原理3.1系統微分方程的建立一、機械系統Fv2v1cFv2v1mv2v1Fk質量彈簧阻尼兩端相對速度v21機械系統中以各種形式出現的物理現象,都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素:較大慣性的構件抽象為質量塊；較小慣性且柔度較大的構件抽象為彈簧；這樣受控對象的機械系統可抽象為質量-彈簧-阻尼系統。3.1系統微分方程的建立例1：圖示機械系統m-c-k，列寫微分方程。1.明確：2.牛頓第二定律列寫原始微分方程：3.整理：

系統輸入f(t)，系統輸出x(t)3.1系統微分方程的建立3.1系統微分方程的建立J-旋轉體轉動慣量;k-扭轉剛度系數;D-粘性阻尼系數.例2：機械旋轉系統，列寫微分方程。1.明確：輸入qi，輸出qo3.消除中間變量，并整理：ccc2.微分方程：3.1系統微分方程的建立例3：列寫微分方程1.明確：輸入T，輸出x(t)2.微分方程：3.消除中間變量，并整理：q0c1c23.1系統微分方程的建立二、電路系統電路網絡由三個基本元件:電阻、電容和電感.電路元件兩端電位差v21電感電阻電容基爾霍夫定律3.1系統微分方程的建立例4：圖示電網絡，列寫微分方程。1.明確系統的輸入與輸出：

輸入ui(t)，輸出uo(t)2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理3.1系統微分方程的建立例5：圖示電網絡，列寫微分方程。1.明確系統的輸入與輸出：

輸入u(t)，輸出電量q2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理列寫微分方程的一般方法：確定系統的輸入量和輸出量。注意：輸入量包括給定輸入量和擾動量2.按信息傳遞順序，從系統輸入端出發，根據各變量所遵循的物理定律，列寫系統中各環節的動態微分方程。注意：負載效應，非線性項的線性化。3.消除中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程。4.整理微分方程。輸出有關項放在方程左側，輸入有關項放在方程右側，各階導數項降階排列。3.1系統微分方程的建立3.1系統微分方程的建立數學模型形式相同組成系統的物理元件不同質量元件彈簧元件阻尼元件電感元件電阻元件電容元件例：彈簧-質量-阻尼單自由度系統(a)(b)初始狀態：系統固有特性：外界作用：與外界的關系：系統的輸出：初始狀態、系統固有特性、外界作用、與外界的關系等四大因素決定系統響應3.1系統微分方程的建立3.1系統微分方程的建立數學模型線性化問題的提出:(1)幾乎所有的實際物理系統都是非線性的:機械系統中的高速阻尼器,阻尼力與速度的平方有關;齒輪嚙合系統由于間隙的存在導致的非線性傳輸特性.(2)非線性系統的理論還不完善,求解非線性系統也很復雜.(3)線性系統的理論相當成熟:將非線性系統簡化為線性系統,利用線性系統理論解決非線性系統是解決問題的一個方法.實際的系統通常都是非線性的,線性只在一定的工作范圍內成立.為分析方便通常在合理條件下將非線性系統簡化為線性系統處理.非線性方程的線性化3.1系統微分方程的建立線性化的條件：1.非線性函數是連續函數(即不是本質非線性)。2.系統在預定工作點附近作小偏差運動線性化的方法：1.確定預定工作點。2.在工作點附近將非線性方程展開成Taylor級數形式。3.忽略高階小項。4.表示成增量化方程的形式。非線性方程的線性化3.1系統微分方程的建立例:單擺運動線性化解:根據牛頓第二定律:將非線性項sinθ0在θ0=0點附近泰勒展開,

3.1系統微分方程的建立3.2拉氏變換與反變換3.3系統傳遞函數的求法3.4系統函數方框圖及簡化3.2拉氏變換與反變換

對于利用微分方程表達的數學模型形式,手算是很麻煩的.利用拉氏變換,可將微分方程轉換為代數方程,使求解大為簡化,故拉氏變換成為分析機電控制系統的基本數學方法之一.皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵(Pierre-SimonmarquisdeLaplace，1749-1827)3.2拉氏變換與反變換一.拉氏變換定義函數x(t)的拉普拉斯變換定義為:其中s=σ+jω(σ,ω均為實數)拉氏變換存在的條件:(1)當t<0時,x(t)=0;當t>0時,x(t)在每個有限區間上是分段連續的;(2)存在一正實數σ,使得:X(s)稱為函數x(t)的拉普拉氏變換或象函數,它是一個復變函數;x(t)稱為X(s)的原函數;L為拉氏變換的符號.3.2拉氏變換與反變換二

簡單函數的拉氏變換1）單位階躍函數(1(t))單位階躍函數的拉氏變換:幅度為A的階躍函數的拉氏變換為:t10u(t)3.2拉氏變換與反變換2）指數函數（a為常數）指數函數的拉氏變換:3.2拉氏變換與反變換3）簡諧函數正弦函數的拉氏變換:余弦函數的拉氏變換:3.2拉氏變換與反變換4）單位脈沖函數δ(t)由洛必達法則：3.2拉氏變換與反變換5）單位斜坡函數t10f(t)1單位斜坡函數的拉氏變換:斜率為A的斜坡函數的拉氏變換為:3.2拉氏變換與反變換6）單位加速度函數3.2拉氏變換與反變換7）冪函數3.2拉氏變換與反變換3.2拉氏變換與反變換三

拉氏變換的性質1）疊加原理顯然,拉氏變換為線性變換.若L[x1(t)]=X1(s),

L[x2(t)]=X2(s)則L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)＋bX2(s)3.2拉氏變換與反變換2）微分定理零初始條件(當x(0)=0,x(1)(0)=0,…,x(n－1)(0)=0時)3.2拉氏變換與反變換3）積分定理當初始條件為零時3.2拉氏變換與反變換4）衰減定理L[e?at

x(t)]=X(s+a),a為實數5)延時定理3.2拉氏變換與反變換6)初值定理初值定理建立了函數x(t)在t=0處的初值與函數sX(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系.7)終值定理x(t)穩定值與sX(s)在s=0時的值相同.3.2拉氏變換與反變換8)時間比例尺定理即若一個函數在時間上展寬(或壓縮)a倍,則它的象函數在復平面上向原點將收縮(或伸展)a倍.9)時間乘函數定理3.2拉氏變換與反變換10)卷積分的象函數3.2拉氏變換與反變換3.2拉氏變換與反變換L－1為拉氏反變換的符號.三.拉氏反變換直接求解復雜,不便于工程應用.對于大多數控制系統,可避免積分,而是利用部分分式展開,化象函數為拉氏變換常見的形式,查表得到原函數.3.2拉氏變換與反變換如果x(t)的拉氏變換X(s)已分解成為下列分量:X(s)=X1(s)+X2(s)+…+Xn(s)假定X1(s),X2(s),…，Xn(s)的拉氏反變換可以容易地求出,則L-1[X(s)]=L-1[X1(s)]+L-1[X2(s)]+…+L-1[Xn(s)]=x1(t)+x2(t)+…+xn(t)部分分式法思想:3.2拉氏變換與反變換例1試求如下式子的拉氏反變換:3.2拉氏變換與反變換在控制系統中,拉氏變換X(s)可寫成下列一般形式:因式分解:式中,-p1,-p2,…,-pn稱為X(s)的極點3.2拉氏變換與反變換1）只含不同單極點的情況3.2拉氏變換與反變換例求