數(shù)學(xué)電子教案空白模板

聾校數(shù)學(xué)電子教案

【篇1:聾校數(shù)學(xué)七年級(jí)第十三冊(cè)教案】

聾校數(shù)學(xué)七年級(jí)第十三冊(cè)教案

句容市特殊教育學(xué)校王露2015年9月——2016年1月

教材分析：這一冊(cè)教材包括下面一些內(nèi)容：分?jǐn)?shù)加法和減法，分

數(shù)乘法，分?jǐn)?shù)除法。

在計(jì)算方面，教學(xué)分?jǐn)?shù)加?減.乘.除法，分?jǐn)?shù)加減.乘加.乘減.乘

除混合運(yùn)算，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，分?jǐn)?shù)與小數(shù)加減混合運(yùn)算。在應(yīng)

用題方面，著重教學(xué)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)四則應(yīng)用題。

教學(xué)要求：

1.學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減法的意義，掌握分?jǐn)?shù)加、減法的計(jì)算法

則，比較熟練的計(jì)算分?jǐn)?shù)加、減法（簡(jiǎn)單的能夠口算）。

2.使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的意義，掌握分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算法則,

比較熟練的計(jì)算分?jǐn)?shù)乘除法（簡(jiǎn)單的能夠口算）。

3.使學(xué)生會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)加減混

合運(yùn)算以及分?jǐn)?shù)四則兩步混合運(yùn)算。4.使學(xué)生理解比的意義和性質(zhì),

會(huì)求比值和化簡(jiǎn)比。

5.使學(xué)生能夠按要求用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一.二步分

數(shù)加、減法應(yīng)用題，會(huì)解答分?jǐn)?shù)乘除法一步應(yīng)用題以及按比例分配

的應(yīng)用題。

教學(xué)重點(diǎn)：

掌握分?jǐn)?shù)加、減、乘、除法的計(jì)算法則，比較熟練的計(jì)算分?jǐn)?shù)加、

減、

乘、除法以及四則兩步混合運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：

用算術(shù)方法或方程解法解答分?jǐn)?shù)一二分?jǐn)?shù)加減應(yīng)用題，會(huì)解答分

數(shù)乘法.除法一步應(yīng)用題以及按比例分配的應(yīng)用題。

課時(shí)安排：

一、分?jǐn)?shù)加減法（31課時(shí)）1.同分母分?jǐn)?shù)加減法10課時(shí)

2.異分母分?jǐn)?shù)加減法8課時(shí)3.分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算4課時(shí)

4.分?jǐn)?shù).小數(shù)加減混合運(yùn)算7課時(shí)5.整理復(fù)習(xí)2課時(shí)

二、分?jǐn)?shù)乘法（23課時(shí)）

1.乘法的意義和計(jì)算法則15課時(shí)2.分?jǐn)?shù)乘法一步應(yīng)用題4課

時(shí)3.倒數(shù)的認(rèn)識(shí)2課時(shí)4.整理復(fù)習(xí)2課時(shí)

1.分?jǐn)?shù)除法的意義和計(jì)算法則12課時(shí)2.分?jǐn)?shù)除法一步應(yīng)用題

4課時(shí)3.比7課時(shí)

4.整理和復(fù)習(xí)3課時(shí)

一、分?jǐn)?shù)的加法和減法

教學(xué)要求：

1.使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)加、減的意義，理解并掌握分?jǐn)?shù)加減法的法

則，并能夠比較熟練的計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法，會(huì)口算簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加、減

法。2.使學(xué)生理解整數(shù)加法運(yùn)算定律對(duì)于分?jǐn)?shù)加法同樣適用，并會(huì)

用這些定律進(jìn)行一些分?jǐn)?shù)加法的簡(jiǎn)便計(jì)算。

3.使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化方法，正確的進(jìn)行分?jǐn)?shù)、小數(shù)

加減混合運(yùn)算。

教學(xué)課時(shí)：31課時(shí)

教學(xué)過程：

第一課時(shí)

內(nèi)容：例L2

目的：了解分?jǐn)?shù)加減法的意義

教具：小黑板

過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

7/8的分?jǐn)?shù)單位是。5/9是（）個(gè)l/9o4/7是4個(gè)。3個(gè)1/5是。

一、新型

1.設(shè)計(jì)情景，導(dǎo)入新課。2.學(xué)習(xí)指導(dǎo)

例1一張長(zhǎng)方形紙，做紙花用去2/5,做小旗用去1/5。一共用

去這張紙的幾分之幾？（小黑板）

做紙花用去2/5做小旗用去1/5一共用去？

想：2個(gè)1/5加1個(gè)1/5是3個(gè)1/5,就是3/5。2/5+1/5=3/

5答：一共用去這張紙的3/5。

意義：與整數(shù)加法的意義相同，是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

練習(xí)：2/5+2/5=3/7+1/7=

例2一塊布長(zhǎng)9/10米，用去6/10米。還剩多少米？（小黑板）

想：9個(gè)1/10米減去6個(gè)1/10米剩3個(gè)1/10米，就是3/10米。

9/10-6/10=3/10（米）

答：還剩3/10米。

意義：與整數(shù)減法的意義相同，是已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一

個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

三、練習(xí)：4/53/7=0/7=

想：和可以直接想減嗎？為什么？做課后練習(xí)

比較上面兩個(gè)例題，說(shuō)一說(shuō)同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的計(jì)算有什么

共同點(diǎn)。

同分母分?jǐn)?shù)加法和減法的法則：（小黑板）

同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。

小結(jié)：分?jǐn)?shù)加減法的法則。作業(yè)：1.課堂作業(yè)：P7782.課外作業(yè):

p79

第三課時(shí)

教學(xué)目的：運(yùn)用加減法法則計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：例

5教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)（小黑板）

二、新授設(shè)計(jì)情景，導(dǎo)入新課。指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

例5計(jì)算：

出示例5題同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，只把分子相加減。能

化成整數(shù)的要化成整數(shù)把整數(shù)化成分?jǐn)?shù)

三、做課后練習(xí)，教師巡查。

四、小結(jié)：熟練的運(yùn)用分?jǐn)?shù)加減法法則進(jìn)行計(jì)算。

五、作業(yè)：1.課堂作業(yè)：p710n2.課外作業(yè)：p71

2教學(xué)后記：

教學(xué)例5時(shí)，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和怎樣把1化成與其他分?jǐn)?shù)

的分母相同的分?jǐn)?shù)。再按同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則計(jì)算。

【篇2：聾校二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)教案】

特殊教育學(xué)校教師

電子備課簿

2011--2012學(xué)年度第二學(xué)期學(xué)科數(shù)學(xué)

年級(jí)

教師周詠梅

學(xué)校新沂市特教中心

第四冊(cè)聾部數(shù)學(xué)學(xué)期教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃

數(shù)學(xué)第一單元教學(xué)進(jìn)度計(jì)劃1、乘法的初步認(rèn)識(shí)

第（1）課時(shí)，總第（1）課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容：乘法的初步認(rèn)識(shí)，例1,練習(xí)一1-4題。教學(xué)目標(biāo)：

1、使學(xué)生理解乘法含義，知道“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”用乘法計(jì)算

比較簡(jiǎn)便。2、會(huì)口述乘法算式所表示的意思.3、培養(yǎng)學(xué)生觀察比

較的能力。

教學(xué)重難點(diǎn)：“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，乘

法算式所表示的意義。教學(xué)準(zhǔn)備：小紅花、正方形、小圓片等實(shí)物

圖，課件教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)鋪墊：

7+2+6,3+3；4+5+2,5+5+5,6+4+3,4+4+4+4

像上面這樣求幾個(gè)相同加數(shù)的和，除了用加法計(jì)算外，還可以用

一種簡(jiǎn)便方單的方法，這種簡(jiǎn)便方法是是什么呢？這正是我們今天

要研究的問題.三、探究新知：

（一）、出示例1擺一擺，算一算

1、師生共同先擺2朵，再擺2朵，最后又?jǐn)[2朵，想：擺了幾

個(gè)2,

想：擺了幾個(gè)2?要求一共擺了多少朵？用加法算式怎樣表示？

想：你寫出的加法算式有什么特點(diǎn)？相同加數(shù)是幾，幾個(gè)2連

加.數(shù)一數(shù)，算一算?板書：2+2+2=6

2、教師小結(jié)：像這樣求幾個(gè)相同加數(shù)的和，除了用加法計(jì)算外,

還有一種比較簡(jiǎn)便的方法叫做乘法.板書課題：乘法的初步認(rèn)識(shí)

【篇3：聾校數(shù)學(xué)第十四冊(cè)教案】

聾校數(shù)學(xué)第十四冊(cè)教案

第一課時(shí)

教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算。教學(xué)內(nèi)容：例1、

2教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

新授

1.設(shè)計(jì)情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=應(yīng)該先算什么，再算什么？==

分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相

同。練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一1、2、3題。

教學(xué)后記：

在學(xué)生練習(xí)時(shí)教師應(yīng)注意巡視，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，隨時(shí)給予個(gè)別的

輔導(dǎo)和糾正。還應(yīng)提醒學(xué)生做分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算時(shí)，不僅要注意運(yùn)

算順序，還要注意分?jǐn)?shù)加減法和分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算方法差異較大，

必須要分清什么時(shí)候需要通分什么時(shí)候需要把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。

第二課時(shí)

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)。

教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一5一8題

教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

練習(xí)：

5.(1)學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)計(jì)算順序，然后再計(jì)算。

(2)老師講評(píng)。6.(1)學(xué)生練習(xí)：

先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)計(jì)算順序，然后再計(jì)算。

(2)老師講評(píng)。7.(1)學(xué)生練習(xí)：

本題都是三四步的分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算，計(jì)算比較復(fù)雜。學(xué)生做題時(shí),

可先學(xué)生說(shuō)說(shuō)計(jì)算的順序。

(2)老師講評(píng)。

8.說(shuō)出下面的圖形的名稱，并計(jì)算出它們的面積。

(1)學(xué)生練習(xí)：(2)老師講評(píng)。作業(yè)：練習(xí)一6、7、8

第三課時(shí)

教學(xué)目的：分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算。

教學(xué)內(nèi)容：例

3教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

新授：

1.設(shè)計(jì)情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：

=2(1/7)+C5/8+3/8)(應(yīng)用了什么定律？)==

在分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算中有時(shí)可以應(yīng)用運(yùn)算定律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)一10T2題。

教學(xué)后記：

教學(xué)例3時(shí)，可以先出示例題，讓學(xué)生想一想這道題應(yīng)該先算什

么，然后指名讓學(xué)生說(shuō)出計(jì)算的方法，教師在黑板上演算。

第四課時(shí)

教學(xué)目的：混合練習(xí)。

教學(xué)內(nèi)容：練習(xí)一13—18題

教具準(zhǔn)備：小黑板。

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)：

練習(xí)：

13.(1)學(xué)生練習(xí)：

(2)老師講評(píng)。

14.(1)學(xué)生練習(xí)：

要充分運(yùn)用各種運(yùn)算定律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

(2)老師講評(píng)。

15.(1)學(xué)生練習(xí)：

要充分運(yùn)用各種運(yùn)算定律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

(2)老師講評(píng)。

16.(1)學(xué)生練習(xí)：

復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的表面積公式。

(2)老師講評(píng)。17.(1)學(xué)生練習(xí)。

讀題，歹U式、計(jì)算、答題。

(2)老師講評(píng)。

18.(1)學(xué)生練習(xí)。

讀題，列式、計(jì)算、答題。

(2)老師講評(píng)。

作業(yè)：練習(xí)一14一18題。

第五課時(shí)

教學(xué)目的：學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算

教學(xué)內(nèi)容：例

4教具準(zhǔn)備：小黑板

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)

新授：

1.設(shè)計(jì)情景，導(dǎo)入新課。2.指導(dǎo)學(xué)習(xí)：=1(2/3)

因?yàn)橛?jì)算分?jǐn)?shù)乘除法時(shí)，有時(shí)可以先約分，再計(jì)算比較簡(jiǎn)便。所

以，分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘除混合運(yùn)算一般先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)后再計(jì)算。

練習(xí)：做一做

作業(yè)：練習(xí)二1、3題

教學(xué)后記：

教學(xué)例4以前，可以先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化的方法和分?jǐn)?shù)、小數(shù)

加減混合運(yùn)算。出示例4,讓學(xué)生想一想，這道題怎樣計(jì)算比較方

便。由于本題中的8/39不能化成有限小數(shù)，所以都化成分?jǐn)?shù)計(jì)算比

較簡(jiǎn)單。第六課時(shí)

教學(xué)目的：鞏固練習(xí)

高等數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

第十二章

無(wú)窮級(jí)數(shù)

教學(xué)目的：

1、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。

2、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

3、掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。

4、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。

5、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。

6、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條

件收斂的關(guān)系。。

7、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。

8、掌握嘉級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解塞

級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。

9、會(huì)利用嘉級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和

10、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

11、會(huì)利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)

間接展開成塞級(jí)數(shù)。

12、理解函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件。

13、掌握將定義在區(qū)間（一冗，n）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)

的方法。

14、會(huì)將定義在區(qū)間［0,門上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。

15、會(huì)將定義在區(qū)間（一1,1）上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

3、塞級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

4、泰勒級(jí)數(shù)

5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：

1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件

2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

3、塞級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

4、泰勒級(jí)數(shù)；

5、函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

§121常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)一般地，給定一個(gè)數(shù)列

ulu2u3un

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

ulu2u3un

叫做（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)記為un即

n1

unulu2u3un

n1其中第n項(xiàng)un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)

級(jí)數(shù)的部分和作級(jí)數(shù)un的前n項(xiàng)和

nIn

snuiulu2u3un

i1稱為級(jí)數(shù)un的部分和

n1級(jí)數(shù)斂散性定義如果級(jí)數(shù)un的部分和數(shù)列｛sn｝有極

限s

n1即

1imsns

n則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)un收斂這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和

n1并寫成

sunulu2u3un

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

如果｛sn｝沒有極限則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)un發(fā)散

n1n1n

1余項(xiàng)當(dāng)級(jí)數(shù)un收斂時(shí)其部分和sn是級(jí)數(shù)un的和s的

近似值它們之間的差值

rnssnun1un2

叫做級(jí)數(shù)un的余項(xiàng)

n1

例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）

aqnaaqaq2aqn

n0的斂散性其中a0q叫做級(jí)數(shù)的公比

解：如果q1則部分和

snaaqaqaq2nlaaqnaqna

1qlqlqaa

當(dāng)|q|1時(shí)因?yàn)閘imsn所以此時(shí)級(jí)數(shù)aqn收斂其和為

1qlqnn0

當(dāng)|q|>l時(shí)因?yàn)閘imsn所以此時(shí)級(jí)數(shù)aqn發(fā)散

nn0

如果|q|1則當(dāng)q1時(shí)snna因此級(jí)數(shù)aqn發(fā)散

n0

當(dāng)q1時(shí)級(jí)數(shù)aqn成為

n0

aaaa

時(shí)|q|1時(shí)因?yàn)閟n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

所以sn的極限不存在從而這時(shí)級(jí)數(shù)aqn也發(fā)散

n0a

綜上所述如果|q|1則級(jí)數(shù)aq收斂其和為如果

Iq1則級(jí)數(shù)aqn發(fā)散

1qnOnOn

僅當(dāng)|q|1時(shí)幾何級(jí)數(shù)aqna0）收斂其和為n0a

1q

例2證明級(jí)數(shù)

135(2n-l)是發(fā)散的

證此級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為

n(2In)n

sn135

顯然limsn因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的

n

例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

1111

122334n(n1）的收斂性

解由于

un因此

sn1111122334n(n1)111

n(n1)nn1

(1)()(從而

limsnlim(lnn1212131nll

)1nIn11)1

n1所以這級(jí)數(shù)收斂它的和是1

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

提示un111

n(n1)nn1

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

n1n

1性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)un收斂于和s則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)

k所得的級(jí)數(shù)kun也收斂

且其和為ks

證明：設(shè)un與kun的部分和分別為sn與n則

nIn1

limnlim(kulku2kun)klim(ulu2un)

klimsnks

nnnn這表明級(jí)數(shù)kun收斂且和為ks

n1表明：級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)不為零常數(shù)后，它的收斂

性不會(huì)改變。

性質(zhì)2如果級(jí)數(shù)un、vn分別收斂于和s、則級(jí)數(shù)

(unvn)也收斂且其和為s

nInIn1

證明：如果un、vn、(unvn)的部分和分別為sn、n、

n則

nInIn1

1imnlim[(ulvl)(u2v2)(unvn)]

nn

lim[(ulu2un)(vlv2vn)]

n

lim(snn)s

n表明：兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。

性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂

性

比如級(jí)數(shù)1111是收斂的

122334n(n1)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)

組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

加一項(xiàng)后級(jí)數(shù)

9895112123134ln(n1)也是收斂

的

減一項(xiàng)后級(jí)數(shù)m也是收斂的

3445n(n1)

性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)un收斂則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成

的級(jí)數(shù)仍收斂且其和不變

n1注意如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂則不能斷定去括號(hào)

后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂

例如級(jí)數(shù)

(11)+(1D+收斂于零但級(jí)數(shù)

1111卻是發(fā)散的

推論如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散

級(jí)數(shù)收斂的必要條件

性質(zhì)5如果un收斂則它的一般項(xiàng)un趨于零即limun0

nIn0

證：設(shè)級(jí)數(shù)un的部分和為sn且limsns則

nIn

limunlim(snsn1)limsnlimsn1ss0

nOnnn

注意級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件

例如

調(diào)和級(jí)數(shù)

11111

23nnInin盡管它的一般項(xiàng)limn0,但它是發(fā)散的

因?yàn)?/p>

假若級(jí)數(shù)1收斂且其和為ssn是它的部分和

nn1顯然有l(wèi)imsns及l(fā)ims2ns于是lim(s2nsn)0

nnn

但另一方面

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

s2nsn1n1111111

n22n2n2n2n2故lim(s2nsn)0矛盾這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)

1必定發(fā)散

nnIn§122常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

定義：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。

正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類非常重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)有列重要結(jié)論：

定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}

有界

n1證

設(shè)級(jí)數(shù)

ulu2un

是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。其部分和為sn

顯然sn是一個(gè)單調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列sn有界則根據(jù)單

調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，可知級(jí)數(shù)un收斂；反之若級(jí)數(shù)

un收斂，則部分和數(shù)列sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)

列的性質(zhì)可知｛sn｝有界

n1n1n1定理2(比較審斂法)設(shè)un和vn都是正

項(xiàng)級(jí)數(shù)且unvn(n12)若級(jí)數(shù)vn收

n1n1n1斂則級(jí)數(shù)un收斂反之若級(jí)數(shù)un發(fā)

散則級(jí)數(shù)vn發(fā)散

證

設(shè)級(jí)數(shù)vn收斂于和則級(jí)數(shù)un的部分和

nIn1

snulu2unvlv2vn(n1,2,

)

即部分和數(shù)列｛sn｝有界由定理1知級(jí)數(shù)un收斂

n1n1n

1反之設(shè)級(jí)數(shù)un發(fā)散則級(jí)數(shù)vn必發(fā)散

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

n1n1因?yàn)槿艏?jí)數(shù)vn收斂由上已證明的結(jié)論將有

級(jí)數(shù)un也收斂與假設(shè)矛盾

n1n1n1

推論

設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)vn收斂且存在自然

數(shù)N使當(dāng)nN時(shí)有n1nlunkvn(k0)成立則級(jí)數(shù)

un收斂如果級(jí)數(shù)vn發(fā)散且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k0)成

則級(jí)數(shù)un發(fā)散

n1

例1討論p級(jí)數(shù)

n1111111

np2P3P4pnp的收斂性其中常數(shù)p0

111解設(shè)p1這時(shí)P而調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散由比較審斂法知

nnnIn當(dāng)p1時(shí)級(jí)數(shù)n11發(fā)散

pn

設(shè)p1此時(shí)有

nnlllllldxdx[p1](n2,3,)

ppppInInnIxp1(nDnn對(duì)于級(jí)數(shù)

[n211p1]其部分和

p1(n1)nl][p112p1][plllnp111]1

pIp1(n1)(n1)

sn[123因?yàn)閘imsnlim[lnn1]1

(nl)p1111所以級(jí)數(shù)［收斂從而根據(jù)比較審斂法的推

論1可知級(jí)數(shù)當(dāng)］ppIpInn2(nl)nIn青島科技大學(xué)

數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

p1時(shí)收斂

綜上所述p級(jí)數(shù)lp當(dāng)p1時(shí)收斂當(dāng)p1時(shí)發(fā)散

n1n提示級(jí)數(shù)[n211]的部分和為

(n1)pInp112p1

sn[112p1][13p1][Inp111

]1pl(nl)(nl)p1因?yàn)?/p>

1imsn1im[lnn1]1

(nl)p1所以級(jí)數(shù)[n211]收斂

(n1)pInp1

p級(jí)數(shù)的收斂性

p級(jí)數(shù)n11當(dāng)p1時(shí)收斂當(dāng)p1時(shí)發(fā)散

pn

例2證明級(jí)數(shù)nlln(n1)是發(fā)散的

證因?yàn)镮n(n1)1(n1)21

n1而級(jí)數(shù)n11111是發(fā)散的

n123n1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的

定理3(比較審斂法的極限形式)n1n1

設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)

(1)如果limnunvnn1n11(01)且級(jí)數(shù)

vn收斂則級(jí)數(shù)un收斂

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

⑵如果limnunvn1?；?/p>

1imnunvnn1n1且級(jí)數(shù)vn發(fā)散則級(jí)數(shù)un

發(fā)散

證明由極限的定義可知對(duì)11存在自然數(shù)N當(dāng)nN時(shí)

有不等式

21U11131n11

即IvnunIvn

222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1即得所要證的結(jié)論

例3判別級(jí)數(shù)tann1In的收斂性

tanl

解因?yàn)閘imnn1而級(jí)數(shù)1發(fā)散

InInn根據(jù)比較審斂法的極限形式級(jí)數(shù)tann1In

發(fā)散

例4判別級(jí)數(shù)n11(2n1)(2n1)的收斂性

1l(2n1)(2n1)1而級(jí)數(shù)2收斂

解因?yàn)閘imn14nln2n根據(jù)比較審斂法的極限形式級(jí)數(shù)

n11(2n1)(2n1)收斂

定理4(比值審斂法達(dá)朗貝爾判別法)

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于

n1

1imnunlun

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

則

當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)收斂

當(dāng)1(或limnunlun)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散

當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

例5證明級(jí)數(shù)1是收斂的

解因?yàn)?/p>

limn1111112123123(n

1)unlunlimn123(n1)123nlim

n101

n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂

例6判別級(jí)數(shù)112123n!2的收斂

3nl0101010

解因?yàn)閘imnunlun(n1)!lOnn1limlim

nln!nlOn10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散

例7判別級(jí)數(shù)n112n(2n1)的收斂性

解

1imnunlunlimn2n(2n1)(2n1)(2n2)1

這時(shí)1比值審斂法失效必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收

斂性

因?yàn)?/p>

定理5(根值審斂法柯西判別法)l(2n1)2nln2而

級(jí)數(shù)n11收斂因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂

2設(shè)un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1imnnun

n則當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)1(或limnun)時(shí)級(jí)

數(shù)發(fā)散

當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

例8證明級(jí)數(shù)11213In是收斂的

23n并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差

解因?yàn)閘imnnunlimnn11lim0

nnnn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂

以這級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|

111

(nl)nl(n2)n2(n3)n3111

nIn2n3(n1)(n1)(n1)1

nn(n1)

例9判定級(jí)數(shù)n12(l)n2n的收斂性

解因?yàn)閘imnnunlimlnl2(1)n

2n2所以根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂

定理6(極限審斂法)

設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

n1

(1)如果limnun10(或1imnun)則級(jí)數(shù)un發(fā)散

nnn1

(2)如果p1而limnpun1(01)則級(jí)數(shù)un收斂

nn1

例7判定級(jí)數(shù)ln(ln11)的收斂性

n2青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第

十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

解因?yàn)镮n(112)~12(n)故

nn

1imn2unlimn21n(112)limn2121

nnnnn根據(jù)極限審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂

例8判定級(jí)數(shù)n1(1cos)的收斂性

n1n

解因?yàn)?/p>

1imn3n2unlimn3n2n1(1cosn)limn2nn11

212()

n2n2根據(jù)極限審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂

二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的

交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為(l)nInInun或(l)un其中

un0

n1

例如(1)nIn111cosn不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)

是交錯(cuò)級(jí)數(shù)但(l)nInnn1

定理7(萊布尼茨定理)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)(l)nlun滿足條件

n1

(1)unun1(n123)

(2)limun0

n則級(jí)數(shù)收斂且其和sul其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值

Irn|un1

證明設(shè)前2n項(xiàng)部分和為s2n

由s2n(ulu2)(u3u4)(u2nlu2n)

及

s2nul(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u

2n

看出數(shù)列｛s2n｝單調(diào)增加且有界(s2nul)所以收斂

設(shè)s2ns(n)則也有s2n1s2nu2n1s(n)

所以sns(n)從而級(jí)數(shù)是收斂的且snul

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

因?yàn)閨rn|un1un2也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)所以

|rn)un1

例9證明級(jí)數(shù)(l)n11收斂并估計(jì)和及余項(xiàng)

n1n

證

這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足

(1)un11un1(n1,2,)

(2)limunliml0

nnInnn由萊布尼茨定理級(jí)數(shù)是收斂的且其和

sul1余項(xiàng)|rn|un1

1三、絕對(duì)收斂與條件收斂

n1nIn1

絕對(duì)收斂與條件收斂若級(jí)數(shù)|un|收斂則稱級(jí)數(shù)un絕對(duì)

收斂

n1n1n1若級(jí)數(shù)un收斂而級(jí)數(shù)|un|發(fā)散則

稱級(jí)un條件收斂

例如級(jí)數(shù)(l)n1nlln11是絕對(duì)收斂的而級(jí)數(shù)是條

件收斂的

(1)nn2n1n1n1定理8如果級(jí)數(shù)un絕對(duì)收斂

則級(jí)數(shù)un必定收斂

證明略

n1n

1注意如果級(jí)數(shù)|un|發(fā)散我們不能斷定級(jí)數(shù)un也發(fā)散

但是如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)Iun|發(fā)散

n1則我們可以斷定級(jí)數(shù)un必定發(fā)散

n1這是因?yàn)榇藭r(shí)|un不趨向于零從而un也不趨向于零

因此級(jí)數(shù)un也是發(fā)散的

n1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

例11判別級(jí)數(shù)nlsinnanln44的收斂性

解因?yàn)閨sinnan4|而級(jí)數(shù)nlln4是收斂的

所以級(jí)數(shù)|nIsinnan4卜也收斂從而級(jí)數(shù)

nlsinnan4絕對(duì)收斂

2例12判別級(jí)數(shù)(1)nln(1l)n的收斂性

n12n

解由|un|lln2n|u|l)nle1

有(1)limnn2nn2n2n可知limun0因此級(jí)數(shù)

(l)nnnllln2(1)發(fā)散

n2n

§123事級(jí)數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列：

ul(x),u2(x),u3(x),un(x)由這函數(shù)

列構(gòu)成的表達(dá)式

ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)

記為un(x)

n1

對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)xO若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(xO)收斂則稱

n1點(diǎn)xO是級(jí)數(shù)un(x)的收斂點(diǎn)

若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(xO)發(fā)散則稱

nIn1青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)

學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

點(diǎn)xO是級(jí)數(shù)un(x)的發(fā)散點(diǎn)。

n1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域

n1

所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域

在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x)

n1s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的和函數(shù)并寫成

s(x)un(x)

nIn1

Xun(x)是un(x)的簡(jiǎn)便記法以下不再重述

n1

在收斂域上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Xun(x)的和是x的函數(shù)s(x)

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)的和函數(shù)并寫成

s(x)Xun(x)

這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域。

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Eun(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)即

sn(x)ul(x)u2(x)u3(x)un(x)

在收斂域上有l(wèi)imsn(x)s(x)或sn(x)s(x)(n)

n

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

rn(x)s(x)sn(x)n1叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的余項(xiàng)

n1

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Xun(x)的余項(xiàng)記為rn(x)它是和函數(shù)s(x)與部分

和sn(x)的差rn(x)s(x)sn(x)

在收斂域上有l(wèi)imrn(x)0

n

二、幕級(jí)數(shù)及其收斂性

幕級(jí)數(shù)

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都塞函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)

級(jí)數(shù)

這種形式的級(jí)數(shù)稱為塞級(jí)數(shù)它的形式是

aOalxa2xanx

其中常數(shù)aOala2an叫做幕級(jí)數(shù)的系數(shù)

例如一下級(jí)數(shù)

1xx2x3xn

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

2n高等數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1x121xxn

2!n!2

n

注幕級(jí)數(shù)的一般形式是

aOal(xxO)a2(xxO)an(xxO)

經(jīng)變換txxO就得

aOalta2t2antn

幕級(jí)數(shù)

1xx2x3xn

可以看成是公比為X的幾何級(jí)數(shù)當(dāng)|x|1時(shí)它是收斂的當(dāng)

|x|1時(shí)它是發(fā)散的

因此它的收斂域?yàn)?11)在收斂域內(nèi)有

11xx2x3xn

1x由此例可得：

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)anxn當(dāng)xxO(xO0)時(shí)收斂

則適合不等式

n0|x||xO|的一切x使這事級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂反之如果級(jí)

數(shù)anxn當(dāng)xxO時(shí)發(fā)散

n0則適合不等式|x||xO|的一切x使這幕級(jí)數(shù)發(fā)散

證

先設(shè)xO是幕級(jí)數(shù)anx的收斂點(diǎn)即級(jí)數(shù)anxn收斂根據(jù)級(jí)

數(shù)收斂的必要條件

nOnOn有l(wèi)imanxO0于是存在一個(gè)常數(shù)M使

nn|anxOnM(n0,1,2,)

這樣級(jí)數(shù)n0anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值

xnxxnn||anxO|||nM|n

xOxOxO|anxnn||anxOxn因?yàn)楫?dāng)|x||x0|時(shí)等比級(jí)數(shù)

M||收斂所以級(jí)數(shù)|anxn|收斂

xOnOn0也就是級(jí)數(shù)n0anxn絕對(duì)收斂

定理的第二部分可用反證法證明倘若幕級(jí)數(shù)當(dāng)xxO時(shí)發(fā)散而

有一點(diǎn)xl適合|xl|>|xO|使級(jí)青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程

建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

數(shù)收斂則根據(jù)本定理的第一部分級(jí)數(shù)當(dāng)XX。時(shí)應(yīng)收斂這

與所設(shè)矛盾定理得證

推論

如果級(jí)數(shù)anxn不是僅在點(diǎn)x0一點(diǎn)收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸

上都收斂則必有一個(gè)n0完全確定的正數(shù)R存在使得

當(dāng)|x|R時(shí)基級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

當(dāng)|x|R時(shí)基級(jí)數(shù)發(fā)散

當(dāng)xR與xR時(shí)幕級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

收斂半徑與收斂區(qū)間正數(shù)R通常叫做幕級(jí)數(shù)數(shù)n0anxn

的收斂半徑開區(qū)間（RR）叫做幕級(jí)

n0anxn的收斂區(qū)間再由基級(jí)數(shù)在xR處的收斂性就

可以決定它的收斂域基級(jí)數(shù)n0anxn的收斂域是（R,R）（或

［R,R）、（R,R］、［R,R］之一

規(guī)定若塞級(jí)數(shù)anx只在x。收斂則規(guī)定收斂半徑R0

若幕級(jí)數(shù)anxn對(duì)一切x都nOn0收斂則規(guī)定收斂半徑

R這時(shí)收斂域?yàn)椋?，?/p>

關(guān)于幕級(jí)數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：

定理2如果lim|nanlan|其中an、an1是嘉級(jí)數(shù)

anxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)

n0則這塞級(jí)數(shù)的收斂半徑

010

R0

簡(jiǎn)要證明

limlnanIxnlanxnlim|nanlan|xx

(1)如果0則只當(dāng)|x|1時(shí)基級(jí)數(shù)收斂故R

(2)如果0則幕級(jí)數(shù)總是收斂的故R

1

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

(3)如果則只當(dāng)x0時(shí)幕級(jí)數(shù)收斂故R0

例1求惠級(jí)數(shù)(l)n1nIxn的收斂半徑與收斂域

nla

解

因?yàn)閘im|n11limn11

nanInn所以收斂半徑為R11

當(dāng)x1時(shí)塞級(jí)數(shù)成為(l)nIn11是收斂的

n

1當(dāng)x1時(shí)幕級(jí)數(shù)成為()是發(fā)散的因此收斂域

為(1,1]

nn1

例2求幕級(jí)數(shù)1xlnxn!n012131的收斂域

xxxn2!3!n!

la(n1)!n!lim0

解

因?yàn)閘im|n11limnann(n1)!Inn!所以收

斂半徑為R從而收斂域?yàn)?，)

例3求幕級(jí)數(shù)n!xn的收斂半徑

n0

解因?yàn)?/p>

lim|nanlanlim(n1)!n!n

所以收斂半徑為R0即級(jí)數(shù)僅在x0處收斂

例4求幕級(jí)數(shù)(2n)!2n0(n!)x2n的收斂半徑

解級(jí)數(shù)缺少奇次幕的項(xiàng)定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來(lái)

求收斂半徑

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

幕級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為un(x)(2n)!(n!)2x2n

因?yàn)閘im|nun1(x)un(x)|41x12

當(dāng)4|x|1即|x|21112時(shí)級(jí)數(shù)收斂當(dāng)4|x|1即|x|時(shí)級(jí)

數(shù)發(fā)散所以收斂半徑為

R222[2(nl)]!(n!)22提示

un1(x)un(x)x2(n1)(2n2)(2n1)(n1)2x2

x2n

例5求嘉級(jí)數(shù)(xl)n2nn的收斂域

nItn

解令tx1上述級(jí)數(shù)變?yōu)閚

n12n

因?yàn)閘im|nanlan2nnln1

2(n1)2所以收斂半徑R2

(1)1

當(dāng)t2時(shí)級(jí)數(shù)成為此級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)t2時(shí)級(jí)數(shù)成為

此級(jí)數(shù)收斂

nnnIn1因此級(jí)數(shù)tn的收斂域?yàn)?t2因?yàn)?/p>

2x12BP1x3

nn12n所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?,3)

三、幕級(jí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)累級(jí)數(shù)Eanxn及Xbnxn分別在區(qū)間(R,區(qū))及(R,R)內(nèi)

收斂則在(&區(qū))與(R,R)中較小的區(qū)間內(nèi)有

力口法XanxZbnxE(anbn)x

減法XanxnXbnxn￡(anbn)xn

乘法

(anx)(bnxn)aObO(aOblalbO)x(a0b2albla2b0

)x2

nnOn0nn

n(aObnalbn1anbO)x

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二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

除法：n0nOanxxnnnbcnOnxnnnx與

cnx相乘，然后比較

nOn

這里假定bOOo為了決定系數(shù)cn,可以將

bn0與anxn的同次幕項(xiàng)系數(shù)得出。

n0關(guān)于幕級(jí)數(shù)，有以下的重要性質(zhì)

性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)

n0

如果幕級(jí)數(shù)在XR(或XR)也收斂則和函數(shù)s(x)在

(艮可(或[R,R))連續(xù)

性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積并且

有逐項(xiàng)積分公式

n0

Oxs(x)dx(anx)dxOnOxnn00xanxdxnn

On1anxn1(xI)

逐項(xiàng)積分后所得到的基級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑

性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(RR)內(nèi)可

導(dǎo)并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

n0

s(x)(anx)n0nn0(anx)nanxn1(|x

R)

n1n逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半

徑

例6求幕級(jí)數(shù)Ixn的和函數(shù)

nOn1

解求得幕級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇11)

設(shè)和函數(shù)為s(x)即s(x)

在xs(x)Ixnx[11)顯然s(0)1

nOn1Inlx的兩邊求導(dǎo)得nIn0

[xs(x)]n0(llxn1)xn

n11xn0對(duì)上式從0到x積分得

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等數(shù)學(xué)教案第十二

章無(wú)窮級(jí)數(shù)

xs(x)IdxIni(x)

01xx1In(1x)0|x|11于是當(dāng)x0時(shí)有

s(x)ln(lx)從而s(x)x

xlx0x1In

1因?yàn)閤s(x)x[xn1]dx

OnOnInOn1

xOn0xndxldxIni(x)

01xx所以當(dāng)x0時(shí)有s(x)lln(1x)

xlIn(1x)0|x|1從而s(x)x

lx0提示應(yīng)用公式F(x)dxF(x)F(0)即

F(x)F(0)F(x)dx

0011xx2x3xn1XXX

例7求級(jí)數(shù)l)nn1的和

n0

解

考慮塞級(jí)數(shù)lxn此級(jí)數(shù)在［1,1)上收斂設(shè)其和

nOn1函數(shù)為s(x)則5(1)(1)nn1

n0(1)11In

在例6中已得到xs(x)ln(lx)于是

s(1)ln2s(1)In即22nOnIn

§124函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)

一、泰勒級(jí)數(shù)

問題給定函數(shù)f(x)要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成

塞級(jí)數(shù)”就是說(shuō)是否能找到這樣一個(gè)塞級(jí)數(shù)它在某區(qū)間內(nèi)收

斂且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)

如果能找到這樣青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組高等

數(shù)學(xué)教案第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

的累級(jí)數(shù)我們就說(shuō)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成幕級(jí)數(shù)

或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(X)能展開成基級(jí)數(shù)而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表

達(dá)了函數(shù)f(x)

以前學(xué)過泰勒多項(xiàng)式如果f(X)在點(diǎn)xO的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)

數(shù)則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)

f(nl)f(x0)2!(xx0)2

f(n)(xO)n!(xxO)nRn(x)

其中Rn(x)()(n1)!(xxO)n1(介于x與xO之間)

泰勒級(jí)數(shù)如果f(x)在點(diǎn)xO的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

f(x)f(x)

f(n)(x)則當(dāng)n時(shí)f(x)在點(diǎn)xO的泰勒多項(xiàng)式

pn(x)f(xO)f(xO)(xxO)成為基級(jí)數(shù)

f(xO)f(xO)(xxO)f(x0)2!(xxO)2f(x0)2!(

xxO)2f(n)(xO)n!(xxO)n

f(x0)3!(xxO)3f(n)(xO)n!(xxO)n

這一幕級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)

顯然當(dāng)xxO時(shí)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(xO)

但是除了xxO外f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂?如果收斂它是

否一定收斂于f(x)?對(duì)此，有以下定理：

定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO的某一鄰域U(xO)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)

在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中

的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零即

nlimRn(x)0(xU(xO))

證明

先證必要性設(shè)f(x)在U(xO)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)即

f(x)f(xO)f(xO)(xxO)f(xO)2!(xxO)

2f(n)(xO)n!(xxO)n

又設(shè)snl(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n1項(xiàng)的和則在U(xO)

內(nèi)sn1(x)f(x)(n)

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)snl(x)Rn(x)于是

Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)

再證充分性設(shè)Rn(x)0(n)對(duì)一切xU(xO)成立

因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)snl(x)Rn(x)于是

sn1(x)f(x)Rn(x)f(x)

即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(xO)內(nèi)收斂并且收斂于f(x)

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

在泰勒級(jí)數(shù)中取xO0得

f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)

展開式的唯一性如果f(x)能展開成x的幕級(jí)數(shù)那么這種展

式是唯一的它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致

這是因?yàn)槿绻鹒(x)在點(diǎn)xO0的某鄰域(RR)內(nèi)能展開成x

的嘉級(jí)數(shù)即

f(x)aOalxa2xanx

那么根據(jù)塞級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)有

f(x)al2a2x3a3xnanx

f(x)2!a232a3xn(nl)anxn2

f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3

f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2anlx

于是得

aOf(0)alf(0)a2f(0)2!2n12n

anf(n)(0)n!

注意如果f(x)能展開成X的幕級(jí)數(shù)那么這個(gè)累級(jí)數(shù)就是f(x)

的麥克勞林級(jí)數(shù)但是反過來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)

xO。的某鄰域內(nèi)收斂它卻不一定收斂于f(x)因此如果f(x)

在點(diǎn)xO。處具有各階導(dǎo)數(shù)則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)

但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂以及是否收斂于f(x)卻需要

進(jìn)一步考察

二、函數(shù)展開成塞級(jí)數(shù)

展開步驟

第一步

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)

f(X)f(x)f(n)(x)

第二步

求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x0處的值

f(0)f(0)f(0)f(0)

第三步

寫出嘉級(jí)數(shù)

f(0)f(0)x并求出收斂半徑R

青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

(n)f(0)2!x2f(n)(0)n!xn高等數(shù)學(xué)教案

第十二章無(wú)窮級(jí)數(shù)

第四步

考察在區(qū)間(RR)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)0(n)

1imRn(x)limnf(n1)()n(n1)!xn

1是否為零如果Rn(x)0(n)則￡&)在(RR)內(nèi)有展

開式

f(x)f(0)f(0)xf(0)2!x2f(n)(0)n!xn

(RxR)

例1將函數(shù)f(x)ex展開成x的基級(jí)數(shù)

解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)e(n12)因此f

1x1x2Ixn

2!n!(n)

X

(0)l(n12）于是得級(jí)數(shù)

它的收斂半徑R

對(duì)于任何有限的數(shù)X、（介于。與x之間）有

nlen1|x|Ix|x|e

IRn(x)|

(n1)!(n1)!|x|n10所以lim|Rn(x)|0從而有展開

式而limn(n1)!n

ex1x121xxn)

2!n!

例2將函數(shù)f(x)sinx展開成x的基級(jí)數(shù)

解因?yàn)閒(n)(n)(x)sin(xn)(n12

)

2所以f(0)順序循環(huán)地取

0101((n0123)于是得級(jí)數(shù)

2nIx3x5nlx(1)

x3!5!(2n1)!它的收斂半徑為R

對(duì)于任何有限的數(shù)x、（介于0與x之間）有

sin[(n1)2(n1)!!xn11Rn(x)|||x|n10(n

)

（n1）!因此得展開式

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章無(wú)窮級(jí)數(shù)

sinxxx3x5x2n1(1)n1(x

)

3!5!(2n1)!2!n!

ex1x1x2Ixn(x)

例3將函數(shù)f(x)(1x)展開成x的塞級(jí)數(shù)其中m為任意常

數(shù)