河北

數(shù)學(xué)函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合題2023中考備考重難專題課件二次函數(shù)性質(zhì)綜合題二次函數(shù)性質(zhì)綜合題

課堂練兵

課后小練1

典例精講23考情分析年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題202223解答題10(1)拋物線對稱軸、最值、圖象上點的坐標；(2)函數(shù)圖象平移特點：點坐標的平移、兩點間最短距離定拋物線性質(zhì)探究：(1)求拋物線對稱軸，最值，另一點橫坐標；(2)求平移的最短距離點移動最小距離年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題202125解答題10(1)已知拋物線與x軸交點、與直線y=a的交點問題；(2)二次項系數(shù)a決定拋物線形狀，最大值決定a＜0，頂點式中k的值，頂點式求拋物線解析式；(3)拋物線與動線段交點問題定拋物線性質(zhì)探究：(1)求點橫坐標，畫y軸，指出點所落的臺階(2)求拋物線解析式，求對稱軸(3)求橫坐標最大值與最小值的差點橫坐標最大值與最小值的差年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201926解答題12(1)平行于坐標軸的直線、拋物線與坐標軸的交點問題，拋物線對稱軸與x軸交點坐標的關(guān)系；(2)直線下方的圖象的函數(shù)值小于直線對應(yīng)的函數(shù)值，二次函數(shù)性質(zhì)求最大值；(3)平均數(shù)→中點，函數(shù)圖象上點的性質(zhì)；(4)直線與拋物線交點個數(shù)問題含參拋物線(y=－x2+bx）性質(zhì)探究：(1)求直線、對稱軸、交點坐標(2)求點與直線距離最大值(3)求兩點間距離(4)求“美點”的個數(shù)美點的個數(shù)年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201626解答題12(1)反比例函數(shù)k的幾何意義；(2)拋物線與x軸交點坐標，對稱軸；(3)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，分類討論思想；(4)反比例函數(shù)圖象與拋物線交點問題含參拋物線(y=－

(x－t)(x－t+4))性質(zhì)探究：(1)求反比例函數(shù)k的值(2)求兩點間距離，兩直線間距離(3)求最高點坐標(4)求參數(shù)取值范圍拋物線與雙曲線交點問年份題號題型分值考查內(nèi)容設(shè)問形式探究的問題201525解答題11(1)求拋物線解析式、對稱軸、頂點坐標；(2)拋物線與y軸交點坐標，二次函數(shù)性質(zhì)求最值，二次函數(shù)增減性；(3)拋物線與線段交點問題(x軸)，分類討論思想含參拋物線（y=－(x－h(huán))2+1）性質(zhì)探究：(1)求拋物線解析式、對稱軸、頂點坐標(2)求點縱坐標最大值，比較兩點縱坐標大小(3)求參數(shù)h值拋物線與線段交點問題典例精講例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B的橫坐標是4，點P為拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸交AB于點C，設(shè)點P的橫坐標為m.(1)求拋物線的解析式；A、B點也在直線上已知條件代入直線解析式例題圖要代入圖象上A、B兩點坐標？解：(1)∵直線y＝x＋2經(jīng)過點A，且點A在y軸上，∴點A橫坐標為0，將x＝0代入解析式y(tǒng)＝x＋2中，得y＝2，∴點A的坐標為(0，2)，∵直線y＝x＋2經(jīng)過點B，點B的橫坐標是4，∴將x＝4代入解析式y(tǒng)＝x＋2中，得y＝6，∴點B的坐標為(4，6).∴將點A(0，2)，點B(4，6)代入拋物線y＝x2＋bx＋c中，∴拋物線的解析式為y＝x2－3x＋2；例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B的橫坐標是4，點P為拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸交AB于點C，設(shè)點P的橫坐標為m.(2)若點P在直線AB下方的拋物線上，求出線段PC的最大值及此時點P的坐標；P(m，m2－3m＋2)先表示點P點C坐標C(m，m＋2)PC=m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m求最大值怎么求？配方例題圖注意：點P在AB下方拋物線上，注意m取值范圍答題步驟表示點P坐標表示點C坐標表示線段PC長配方求最大值，P點坐標(2)由(1)得拋物線的解析式為y＝x2－3x＋2，∴點P坐標為(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x軸交AB于點C，∴點C的坐標為(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴當m＝2時，PC有最大值，最大值為4，此時點P坐標為(2，0)；P(m，m2－3m＋2)C(m，m＋2)例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B的橫坐標是4，點P為拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸交AB于點C，設(shè)點P的橫坐標為m.(3)若將原拋物線沿x軸平移，得到新拋物線y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新拋物線與線段AB恰好有一個交點，求n的取值范圍．y＝x2－3x＋2=(x－)2－觀察圖象，什么情況拋物線和線段有1個交點？②拋物線過點B把點A和點B代入拋物線，判斷n范圍例題圖化為頂點式①拋物線過點A數(shù)形結(jié)合答題步驟拋物線化為頂點式猜想符合交點情況判斷情況分類討論判斷取值范圍(3)由(1)得，拋物線解析式為y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－

，∵將拋物線沿x軸平移n個單位長度，得到拋物線y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可設(shè)拋物線解析式為y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2

＝(x－

＋n)2－

，例題圖①當拋物線經(jīng)過點A時，與線段AB恰有一個交點，將點A(0，2)代入拋物線解析式，得(－

＋n)2－

＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范圍為0＜n≤3；②當拋物線恰好經(jīng)過點B時，與線段AB恰有一個交點，將B(4，6)代入拋物線解析式，得(＋n)2－

＝6，解得n1＝－5，n2＝0(舍去)，∴n的取值范圍為－5≤n＜0.∴n的取值范圍為－5≤n＜0或0＜n≤3.通過圖象可知，例題圖例

(2022河北定制卷改編)如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點B的橫坐標是4，點P為拋物線上一動點，過點P作PC⊥x軸交AB于點C，設(shè)點P的橫坐標為m.(4)若原拋物線沿y軸向上平移后頂點恰好落在直線AB上，且交另一點為F，求平移的距離及點F的坐標.實質(zhì)是求一對對應(yīng)點距離通常是頂點兩頂點到x軸距離和點F坐標？例題圖兩頂點橫坐標相同聯(lián)立拋物線直線解析式平移后頂點坐標答題步驟求平移后拋物線頂點坐標求兩頂點間距離求平移后拋物線聯(lián)立求交點例題圖(4)由(1)得，拋物線解析式為y＝x2－3x＋2＝(x－

)2－∵頂點坐標為(，－

)，向上平移兩頂點橫坐標相同∴將

代入直線解析式y(tǒng)＝

＋2=，頂點坐標為(，

)∴平移距離=＋=∴平移后拋物線y＝(x－

)2＋

當x＝

時，交點為平移后頂點當x＝

時，

交點F坐標為(，

)

選題依據(jù)：此題考查學(xué)生對二次函數(shù)圖象、對稱軸、頂點坐標，平移，拋物線與直線交點問題，同時考查學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合思想方法總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì)綜合題知識點：待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)取值范圍、圖象開口、增減性、對稱軸、頂點坐標、平移后的二次函數(shù)解析式解題方法：頂點坐標：①一般式：代入頂點坐標公式；

②頂點式：直接得到頂點坐標；

③交點式：化為頂點式求點與點、點與直線、直線與直線之間距離，先求得點坐標或直線解析式，通過橫坐標或縱坐標間距離求得對稱軸：①解析式已知，直接代入x=－

；

②已知拋物線與x軸兩交點，直接代入x=解題方法：1.平移的特點：①二次函數(shù)圖象的平移不改變開口大小（形狀）；

②實質(zhì)是圖象上點的平移，可根據(jù)圖象上任意一對對應(yīng)點，即可確

定平移方式，通常通過頂點來確定；2.拋物線中交點問題通常有：判斷交點個數(shù)，通過交點個數(shù)求參數(shù)，拋物線與線段

交點問題等，通常都是聯(lián)立函數(shù)關(guān)系式，求二元一次方程組的解得以解決，在此

類問題中通常會融合“整點”問題，選擇滿足“整點”的點即可；3.判斷點是否在拋物線內(nèi)問題：主要是利用極限思想，分類討論思想，選擇取值范

圍的兩端點的x值分別代入求解即可.課堂練兵練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B.(1)當k＝－1時．①直接寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；(1)①對稱軸為直線x＝－1，頂點坐標為(－1，

)；【解法提示】∵k＝－1，∴y＝－

x2－x＋4＝－

(x＋1)2＋

，∴對稱軸為直線x＝－1，頂點坐標為(－1，

).練習(xí)題圖②當－2≤x≤1時，求拋物線的最大值與最小值的差；對稱軸判斷拋物線圖象增減性結(jié)合x取值范圍判斷自變量與對稱軸位置，同側(cè)或異側(cè)在對稱軸兩側(cè)根據(jù)增減性判斷最值？練習(xí)題圖練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷自測卷6)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B.拓展：同側(cè)只根據(jù)增減性求最值答題步驟求對稱軸判斷對應(yīng)函數(shù)圖象分情況確定最值求最值差②由①得，拋物線y＝－

x2－x＋4的對稱軸為直線x＝－1，∵－

＜0，∴當－2≤x≤－1時，y隨x的增大而增大，當－1＜x≤1時，y隨x的增大而減小，∴當x＝－1時，拋物線有最大值為

，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴當x＝1時，拋物線有最小值，最小值為

，∴當－2≤x≤1時，拋物線的最大值為

，最小值為

，∴最大值與最小值的差為

－

＝2；(2)直線L：y＝6交y軸于點C，交拋物線于點M，N(M在N的左側(cè)).當x≤k時，拋物線的最高點到直線L的距離為2，請直接寫出此時k的值．分情況討論k時，最高點坐標，依據(jù)題干條件，判斷求解練習(xí)

(2022河北預(yù)測卷自測卷6)如圖，拋物線y＝－

x2＋kx＋4(k為常數(shù))與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B.練習(xí)題圖考慮x≤k，當x＝

k是直線，設(shè)x＝

k與拋物線交點，拋物線頂點將拋物線y＝－

x2＋kx＋4化為頂點式，此時看拋物線對稱軸，頂點有什么發(fā)現(xiàn)？將x＝

k代入拋物線頂點式得出交點坐標答題步驟設(shè)交點，頂點拋物線化為頂點式求對稱軸、頂點、交點k分情況討論方程求解求k【解法提示】設(shè)直線x＝

k交拋物線于點P，拋物線的頂點為R，∵y＝－

x2＋kx＋4＝－

(x－k)2＋

k2＋4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝k，頂點R的坐標為(k，

k2＋4)，當x＝

k時，y＝－

×(k)2＋k×k＋4＝

k2＋4，∴P(k，

k2＋4).解圖當k＜0時，如解圖，當x≤k時，最高點為R(k，

k2＋4)，∵拋物線的最高點到直線L的距離為2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝－2或k＝2(舍去)；解圖當k≥0時，如解圖，當x≤k時，拋物線的最高點為P(k，

k2＋4)，∵拋物線的最高點到直線L的距離為2，∴k2＋4－6＝2，解得k＝

或k＝－

(不符合題意，舍去).綜上所述，k的值為－

或

.(2)k的值為－

或

.解圖課后小練練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點為E，點F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(1)求拋物線B－C－D的解析式及線段AB的長；練習(xí)1題圖解：(1)∵拋物線B－C－D的頂點為C(4，2)，∴設(shè)拋物線B－C－D的解析式為y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入點D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝

，∴拋物線B－C－D的解析式為y＝

(x－4)2＋2.∵AB∥x軸，且OA＝3，∴點B的縱坐標為3，令

(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵點D(6，3)，∴點B的坐標為(2，3)，∵點A在y軸上，∴AB＝2；練習(xí)1題圖練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點為E，點F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(2)求拋物線D－E－F的解析式，當小車(看成點)沿滑道從A運動到F的過程中，小車距離x軸的垂直距離為2.5時，它到出發(fā)點A的水平距離是多少？練習(xí)1題圖(2)∵拋物線D－E－F與拋物線B－C－D的形狀完全相同，由(1)得拋物線B－C－D的解析式為y＝

(x－4)2＋2，∴設(shè)拋物線D－E－F的解析式為y＝－

(x－h(huán))2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，將點D(6，3)，F(xiàn)(12，0)代入，∴拋物線D－E－F的解析式為y＝－

(x－8)2＋4.練習(xí)1題圖當小車距離x軸的垂直距離是2.5時，則2.5＝

(x－4)2＋2，解得x＝4±，或2.5＝－

(x－8)2＋4，解得x1＝8＋

，x2＝8－

(不合題意，舍去)，∴小車到出發(fā)點A的水平距離為4＋

或4－

或8＋

；練習(xí)1題圖練習(xí)1(2022河北原創(chuàng)卷)如圖所示為從游樂場的過山車抽象出來的函數(shù)圖象，線段AB是一段平行于x軸的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段拋物線，最低點為C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是與滑道B－C－D的形狀完全相同，開口方向相反的一段拋物線，其最高點為E，點F在x軸上，F(xiàn)O＝12.(3)現(xiàn)在需要對滑道E－F部分進行加固，過E作支架EK⊥x軸于點K，然后建造如圖所示的水平支架PS和豎直支架PM.求所有支架(虛線部分)長度之和L的最大值及此時點M的坐標．練習(xí)1題圖(3)由拋物線y＝－

(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，設(shè)M(d，0)(8＜d＜12)，∴點P(d，－

(d－8)2＋4)，則SP＝d－8，PM＝－

(d－8)2＋4，∴所有支架的長度和L＝d－8＋[－

(d－8)2＋4]＋4，化簡得L＝－

(d－10)2＋9，∵8＜d＜12，－

＜0，∴當d＝10時，L有最大值，最大值為9.此時點M的坐標為(10，0)練習(xí)1題圖練習(xí)2(2022河北逆襲診斷卷)如圖，在平面直角坐標系中，直線l1∶y＝－

x＋2與坐標軸交于A，B兩點，與拋物線l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，過拋物線的頂點P向x軸作垂線，交直線l1于點Q.(1)當m＝1時，求拋物線的解析式及點P的坐標；解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴將m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到拋物線的解析式為y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵點P為拋物線的頂點，∴點P的坐標為(1，－2)；練習(xí)2題圖練習(xí)2(2022河北逆襲診斷卷)如圖，在平面直角坐標系中，直線l1∶y＝－

x＋2與坐標軸交于A，B兩點，與拋物線l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，過拋物線的頂點P向x軸作垂線，交直線l1于點Q.(2)若點Q的橫、縱坐標都不小于0，當線段PQ取得最小值時，求△PCD的面積；練習(xí)2題圖(2)∵拋物線y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴頂點P在直線y＝－2上，∵點Q的橫、縱坐標都不小于0