江西省南昌外國語學校2025屆高一數學第二學期期末監測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，則角的大小為（）A． B． C． D．2．已知，，，若，則等于（）A． B． C． D．3．某學校隨機抽取20個班，調查各班中有網上購物經歷的人數，所得數據的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數據分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．4．已知是圓上的三點，（）A． B． C． D．5．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，則=()A．2 B．-3 C．-1 D．-36．在中，，，，則（）A． B． C． D．7．從集合中隨機抽取一個數，從集合中隨機抽取一個數，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．8．直線傾斜角的范圍是（）A．（0，] B．[0，] C．[0，π） D．[0，π]9．已知滿足，則（）A．1 B．3 C．5 D．710．如圖所示，從氣球上測得正前方的河流的兩岸，的俯角分別為，，此時氣球的高度是60m，則河流的寬度等于（）A．m B．m C．m D．m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某中學從甲乙丙3人中選1人參加全市中學男子1500米比賽，現將他們最近集訓中的10次成績（單位：秒）的平均數與方差制成如下的表格：甲乙丙平均數250240240方差151520根據表中數據，該中學應選__________參加比賽．12．中，內角、、所對的邊分別是、、，已知，且，，則的面積為_____.13．已知向量，，若，則實數__________.14．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則15．的值為__________．16．設等差數列的前項和為，若，，則的最小值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，與的夾角是（1）計算：①，②；（2）當為何值時，與垂直？18．如圖所示，已知的斜邊長，現以斜邊橫在直線為軸旋轉一周，得到旋轉體．（1）當時，求此旋轉體的體積；（2）比較當，時，兩個旋轉體表面積的大小．19．已知關于的一元二次函數，從集合中隨機取一個數作為此函數的二次項系數，從集合中隨機取一個數作為此函數的一次項系數.（1）若，，求函數有零點的概率；（2）若，求函數在區間上是增函數的概率.20．已知等比數列是遞增數列，且滿足：，.（1）求數列的通項公式：（2）設，求數列的前項和.21．己知點，直線l與圓C：（x一1)2＋（y一2）2＝4相交于A，B兩點，且OA⊥OB．（1）若直線OA的方程為y＝一3x，求直線OB被圓C截得的弦長；（2）若直線l過點（0，2），求l的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由平面向量數量積的定義得出、與的等量關系，再由并代入、與的等量關系式求出的值，從而得出的大小.【詳解】，，，由正弦定理邊角互化思想得，，，同理得，，，則，解得，中至少有兩個銳角，且，，所以，，，因此，，故選D.【點睛】本題考查平面向量的數量積的計算，考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的值，解題的關鍵就是利用三角恒等變換思想將問題轉化為正切來進行計算，屬于中等題.2、A【解析】

根據向量的坐標運算法則,依據題意列出等式求解.【詳解】由題知:,,,因為,所以,故,故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算,屬于基礎題.3、A【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應選A．4、C【解析】

先由等式，得出，并計算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數量積的定義可計算出的值．【詳解】由于是圓上的三點，，則，，故選C．【點睛】本題考查平面向量的數量積的計算，解題的關鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計算能力，屬于中等題．5、B【解析】

通過向量平行得到的值，再利用和差公式計算【詳解】向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥故答案選B【點睛】本題考查了向量的平行，三角函數和差公式，意在考查學生的計算能力.6、D【解析】

直接用正弦定理直接求解邊.【詳解】在中，，，由余弦定理有：,即故選：D【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎題.7、B【解析】

通過向量垂直的條件即可判斷基本事件的個數，從而求得概率.【詳解】基本事件總數為，當時，，滿足的基本事件有，，，共3個，故所求概率為，故選B.【點睛】本題主要考查古典概型，計算滿足條件的基本事件個數是解題的關鍵，意在考查學生的分析能力.8、C【解析】試題分析：根據直線傾斜角的定義判斷即可．解：直線傾斜角的范圍是：[0，π），故選C．9、B【解析】

已知兩個邊和一個角，由余弦定理，可得。【詳解】由題得，，，代入，化簡得，解得（舍）或.故選：B【點睛】本題考查用余弦定理求三角形的邊，是基礎題。10、A【解析】

在直角三角形中，利用銳角三角函數求出的長，在直角三角形中，利用銳角三角函數求出的長，最后利用進行求解即可.【詳解】在直角三角形中，.在直角三角形中，.所以有.故選：A【點睛】本題考查了銳角三角函數的應用，考查了數學運算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、乙；【解析】

一個看均值，要均值小，成績好；一個看方差，要方差小，成績穩定．【詳解】乙的均值比甲小，與丙相同，乙的方差與甲相同，但比丙小，即乙成績好，又穩定，應選乙、故答案為乙．【點睛】本題考查用樣本的數據特征來解決實際問題．一般可看均值（找均值好的）和方差（方差小的穩定），這樣比較易得結論．12、【解析】

由正弦定理邊角互化思想結合兩角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】，由邊角互化思想得，即，，由余弦定理得，，所以，，因此，，故答案為.【點睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應用，考查利用余弦定理解三角形以及三角形面積公式的應用，解題時要結合三角形已知元素類型合理選擇正弦、余弦定理解三角形，考查運算求解能力，屬于中等題.13、【解析】

根據平面向量時，列方程求出的值．【詳解】解：向量，，若，則，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算應用問題，屬于基礎題．14、15【解析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，同時利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據最大角的余弦值，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【詳解】根據題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【點睛】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+15、【解析】

直接利用誘導公式化簡求值.【詳解】,故答案為:.【點睛】本題考查誘導公式的應用,屬于基礎題.16、【解析】

用基本量法求出數列的通項公式，由通項公式可得取最小值時的值，從而得的最小值．【詳解】設數列公差為，則由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值為．故答案為：．．【點睛】本題考查等差數列的前項和的最值．首項為負且遞增的等差數列，滿足的最大的使得最小，首項為正且遞減的等差數列，滿足的最大的使得最大，當然也可把表示為的二次函數，由二次函數知識求得最值．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①；②；（2）.【解析】

利用數量積的定義求解出的值；（1）將所求模長平方，從而得到關于模長和數量積的式子，代入求得模長的平方，再開平方得到結果；（2）向量互相垂直得到數量積等于零，由此建立方程，解方程求得結果.【詳解】由已知得：（1）①②（2）若與垂直，則即：，解得：【點睛】本題考查利用數量積求解向量的模長、利用數量積與向量垂直的關系求解參數的問題.求解向量的模長關鍵是能夠通過平方運算將問題轉化為模長和數量積運算的形式，從而使問題得以求解.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據旋轉體的形狀，可利用兩個圓錐的體積和得到所求（2）分別計算兩個圓錐的側面積求和即可.【詳解】沿斜邊所在直線旋轉一周即得到如圖所示的旋轉體．∵，，∴，，，∴．（2）當，其表面積；當，其表面積．通過計算知，，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉體的形成，圓錐的體積、面積求法，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）依次列出所有可能的情況，求出滿足的情況總數，即可得到概率；（2）列出不等關系，表示出平面區域，求出滿足表示的區域的面積，即可得到概率.【詳解】（1）由題可得，，從集合中隨機取一個數作為此函數的二次項系數，從集合中隨機取一個數作為此函數的一次項系數，記為，這樣的有序數對共有，9種情況；函數有零點，即滿足，滿足條件的有：，6種情況，所以其概率為；（2），滿足條件的有序數對，，即平面直角坐標系內區域：矩形及內部區域，面積為4，函數在區間上是增函數，即滿足，，，即，平面直角坐標系內區域：直角梯形及內部區域，面積為3，所以其概率為.【點睛】此題考查古典概型與幾何概型，關鍵在于準確得出二次函數有零點和在區間上是增函數，分別所對應的基本事件個數以及對應區域的面積.20、（1）；（2）【解析】

（1）利用等比數列的性質結合已知條件解得首項和公比，由此得通項公式；（2）由（1）得，再利用等差數列的求和公式進行解答即可．【詳解】（1）由題意，得，又，所以，，或，，由是遞增的等比數列，得，所以，，且，∴，即；（2）由（1）得，得，所以數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，所以.【點睛】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式，以及等差數列的其前n項和公式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據題意，求得直線OB的方程，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線OB的距離，之后應用圓中的特殊三角形，求得弦長；（2）根據題意，可判斷直線的斜率是存在的，設出其方程，與圓