2025屆新高考數學精準沖刺復習函數的零點與方程的解

1.理解函數的零點與方程的解的聯系.2.理解函數零點存在定理，并能簡單應用.3.了解用二分法求方程的近似解．考試要求1．函數的零點(1)概念：對于一般函數y＝f(x)，我們把使___________的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．(2)幾個等價關系方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點．一、知識梳理2．函數零點存在定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有_______________，那么，函數y＝f(x)在區間__________內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得___________，這個c也就是方程f(x)＝0的解．3．二分法對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且_______________的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間____________，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．1．若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點．2．連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．3．若周期函數有零點，則必有無窮多個零點．常用結論例1

(1)(2024·長沙長郡中學第四次月考)函數f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零點所在的區間是(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)考點一函數零點所在區間的判定C

二、題型精講D

確定函數零點所在區間的常用方法(1)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．(2)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．反思感悟訓練1

(1)函數f(x)＝lnx＋2x－6的零點所在的區間是(

)A．(1，2)

B．(2，3)C．(3，4)

D．(4，5)B

B由題意得，f(x)＝lnx＋2x－6在定義域內單調遞增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，則f(2)f(3)<0，∴零點在區間(2，3)上．(2)若a<b<c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區間(

)A．(a，b)和(b，c)內B．(－∞，a)和(a，b)內C．(b，c)和(c，＋∞)內D．(－∞，a)和(c，＋∞)內A

A函數y＝f(x)是開口向上的二次函數，最多有兩個零點，由于a<b<c，則a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在區間(a，b)和區間(b，c)內各有一個零點．(3)函數f(x)＝log2

x＋x－2的零點所在的區間為(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)B

B函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，f(1)f(2)<0，故f(x)只有一個零點，且在區間(1，2)內．(4)已知方程的解在內，則k=()A.0B.1C.2D.3構建，因為在定義域內單調遞增，故在定義域內至多有一個零點，∴僅在內存在零點，即方程的解僅在內，故k=1

.A．5

B．4C．3

D．2考點二函數零點個數的判定D

C

令g(x)≥0，解得x≤150，畫出y＝|f(x)|與y＝g(x)的部分圖象如圖所示．求解函數零點個數的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點．(2)定理法：利用定理時往往還要結合函數的單調性、奇偶性等．(3)圖象法：一般是把函數拆分為兩個簡單函數，依據兩函數圖象的交點個數得出函數的零點個數．反思感悟(

)A．0

B．1C．2

D．3C

C令f(x)－2|x|＝0，得f(x)＝2|x|，則函數y＝f(x)－2|x|的零點個數等價于函數f(x)與函數y＝2|x|的圖象的交點個數．作出函數f(x)與函數y＝2|x|的圖象如圖所示，由圖象可知，兩個函數圖象的交點個數為2，故函數y＝f(x)－2|x|的零點個數為2.(2)函數f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]上的零點個數為(

)A．2

B．3C．4

D．5B

B由2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π.∴f(x)＝0有三個實根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三個零點．(3)函數

的零點個數為(

)A．3

B．2C．1

D．0C

C

A.5 B.4 C.3 D.2當x≤0時，x2－1＝0，解得x＝－1；當x>0時，f(x)＝x－2＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函數f(x)在區間(1,2)內必有一個零點，綜上，函數f(x)的零點個數為2.(5)(2023·三明模擬)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x－2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，設函數g(x)＝f(x)－log7|x|，則函數g(x)的零點個數為A.6 B.8 C.12 D.14依題意可知，函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函數f(x)是以2為周期的偶函數，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐標系中分別作出y＝f(x)和y＝log7|x|的圖象，如圖所示.由圖象可知，兩函數圖象共有12個交點，即函數g(x)共有12個零點.考點三函數零點的應用考向1根據零點的個數求參數當x>a時，f(x)＝2x－3單調遞增，當－1<x≤a時，f(x)＝log2(x＋1)單調遞增．由題意，若存在實數t使得g(x)有兩個不同的零點，即存在實數t，使得方程f(x)＝－t有兩個不相等的根，即函數f(x)的圖象與直線y＝－t有兩個交點，所以當點P(a，log2(a＋1))在點Q(a，2a－3)上方，即log2(a＋1)>2a－3時，符合題意．因為log2(2＋1)>22－3＝1，log2(3＋1)<23－3＝5，結合y＝2x－3與y＝log2(x＋1)的圖象可得正整數a的最大值為2.答案：2考向2根據函數的零點范圍求參數答案：(－10，0)1．根據零點所在區間求參數：(1)直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍．(2)分離參數，轉化為求函數的最值(或值域)問題加以解決．2．已知函數零點的個數求參數范圍，常利用數形結合法將其轉化為兩個函數的圖象的交點問題，需準確畫出兩個函數的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數范圍．反思感悟訓練3

(1)已知關于x的方程ax＋6＝2x在區間(1，2)內有解，則實數a的取值范圍是(

)A

A根據題意可得ax＝2x－6，故問題轉化為函數y＝ax和y＝2x－6的圖象在x∈(1，2)時有交點，如圖所示，易知y＝2x－6的圖象的兩個端點為(1，－4)和(2，－2)，當y＝ax過點(1，－4)時a＝－4，當y＝ax過點(2，－2)時a＝－1，所以a的取值范圍是(－4，－1)．(2)(2024·安康第一次聯考)若函數f(x)＝kex－x2＋3有三個零點，則k的取值范圍為(

)A

法二：當k＝0時，f(x)＝－x2＋3，f(x)有兩個零點，不符合題意，排除B和D；當k＝－1時，f(x)＝－ex－x2＋3，因為y＝－ex＋3與y＝x2的圖象有兩個交點，所以f(x)有兩個零點，不符合題意，排除C，故選A.(3)若二次函數f(x)＝x2－2x＋m在區間(0，4)上存在零點，則實數m的取值范圍是________．二次函數f(x)的圖象的對稱軸為x＝1，若在區間(0，4)上存在零點，只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.答案：(－8，1]1.(2023·臨沂模擬)函數f(x)＝lnx＋2x－5的零點所在的區間是A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)√由于y＝lnx，y＝2x－5在(0，＋∞)上都單調遞增，故函數