專題05二次函數中線段最值的三種考法類型一、單線段轉化為二次函數最值問題例．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為，與y軸交于點C，點在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得周長最小，若存在，求出P點的坐標及周長的最小值；(3)若點M是直線下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段交于點N，求線段的最大值．【變式訓練1】如圖，已知拋物線：，拋物線與關于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關于直線對稱，且經過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為直線上方的拋物線上的一點，過點P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當取最大值時，求的面積．類型二、將軍飲馬型最值問題例．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是點關于軸的對稱點．

(1)求拋物線與直線的解析式；(2)點為直線上方拋物線上一動點，當的面積最大時，求點的坐標．(3)在（2）的條件下，當的面積最大時，在拋物線的對稱軸上有一動點，在上有一動點，且，求的最小值；【變式訓練1】如圖，已知拋物線與x軸相交于、兩點，并與直線交于、兩點，其中點是直線與軸的交點，連接．

(1)求、兩點坐標以及拋物線的解析式；(2)證明：為直角三角形；(3)求拋物線的頂點的坐標，并求出四邊形的面積；(4)在拋物線的對稱軸上有一點，當周長的最小時，直接寫出點的坐標．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的函數表達式；(2)若點P是位于直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值；(3)若點D是y軸上的一點，且以B、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；(4)若點E為拋物線的頂點，點是該拋物線上的一點，點M在x軸、點N在y軸上，是否存在點M、N使四邊形的周長最小，若存在，請直接寫出點M、點N的坐標；若不存在，請說明理由．類型三、胡不歸最值問題例．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．【變式訓練1】如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？【變式訓練2】已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式與頂點D的坐標；(2)如圖1，點P是拋物線上位于直線下方的一動點，連接與相交于點E，已知，求點E的坐標；(3)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點N，在拋物線對稱軸上有一個動點M，連接．求的最小值．【變式訓練3】已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，，

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)點為拋物線上位于直線下方的一動點，當面積最大時，求點的坐標；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．課后訓練1．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C．(1)求該拋物線的函數解析式；(2)點P是該拋物線上的動點，設點P的橫坐標為t（）．①當時，求此時四邊形的面積；②如圖2，過點P作軸于點D，作軸于點E，當時，求t的值；③如圖3，連接，過點P作于點D，求線段的長的最大值，并求出點P的坐標．2．已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，直線經過點B，點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如圖1，連接，，，若是以為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在直線上方的拋物線上，過點P作，垂足為Q，求的最大值．3．如圖，在平面直角坐標系中，繞原點O逆時針旋轉得到，其中點A的坐標為．

(1)寫出C點的坐標______，B點的坐標______；(2)若二次函數經過A，B，C三點，求該二次函數的解析式；(3)在（2）條件下，在二次函數的對稱軸上是否存在一點P，使得最小？若P點存在，求出P點坐標；若P點不存在，請說明理由．

專題05二次函數中線段最值的三種考法類型一、單線段轉化為二次函數最值問題例．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為，與y軸交于點C，點在拋物線上；

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得周長最小，若存在，求出P點的坐標及周長的最小值；(3)若點M是直線下方的拋物線上的一動點，過M作y軸的平行線與線段交于點N，求線段的最大值．【答案】(1)(2),(3)【分析】（1）將點A、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接交函數對稱軸于點P，則點P為所求點，求出直線的表達式，進一步即可求解；（3）先求出直線解析式，設N橫坐標為x，用含x的代數式表示線段，再利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：將點、代入拋物線表達式得：，解得：，拋物線的表達式為：；（2），令，則,解得或，令，則，故點B、C的坐標分別為：、；函數的對稱軸為直線，

點A關于函數對稱軸的對稱點為點B，連接交函數對稱軸于點P，則點P為所求點，設直線的表達式為，將點D、B的坐標代入一次函數表達式得：，解得：，故BD的函數表達式為，當時，，即點，此時周長的最小值；（3）如圖，

設直線的解析式是，把點，代入中，解得，∴直線解析式為．設N橫坐標為x，則，，∴，∵，∴拋物線開口向下，∴當時，的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，涉及到拋物線和直線的待定系數法求解析式，軸對稱-最短問題，二次函數的最值等，解題關鍵是熟練掌握待定系數法求拋物線解析式．【變式訓練1】如圖，已知拋物線：，拋物線與關于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．【答案】(1)；(2)8【分析】（1）先求出拋物線：的頂點坐標為，然后求出點關于對稱后的點坐標為，再拋物線的解析式為：；（2）先求出A、B兩點橫坐標分別為和，設，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線：的頂點坐標為，點關于對稱后的點坐標為，∵拋物線與拋物線關于成中心對稱，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵拋物線：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點橫坐標分別為和，設，，其中，則，∴當時，最大為8．【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式，中點坐標公式，二次函數的最值，解題的關鍵是數形結合，利用對稱的特征，再根據頂點情況求解析式以及根據二次函數解析式求最大值．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線關于直線對稱，且經過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，直線的解析式為．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為直線上方的拋物線上的一點，過點P作軸于M，交于Q，求的最大值；(3)當取最大值時，求的面積．【答案】(1)；(2)1；(3)2【分析】（1）先求出A、C的坐標，再根據二次函數的對稱性求出點B的坐標，再利用待定系數法求解即可；（2）設，則，則，由二次函數的性質求解即可；（3）根據，進行求解即可．【詳解】（1）解：在中，令，則，令，則，∴，∵拋物線關于直線對稱，且經過x軸上的兩點A、B與y軸交于點C，∴，∴可設拋物線解析式為，把代入中得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設，則，∴，∵，∴當時，最大，最大值為1；（3）解：由（2）得當最大時，，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，求二次函數解析式等等；靈活運用所學知識是解題的關鍵．類型二、將軍飲馬型最值問題例．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是點關于軸的對稱點．

(1)求拋物線與直線的解析式；(2)點為直線上方拋物線上一動點，當的面積最大時，求點的坐標．(3)在（2）的條件下，當的面積最大時，在拋物線的對稱軸上有一動點，在上有一動點，且，求的最小值；【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為；(2)點的坐標為(，)；(3)的最小值為；【分析】（1）拋物線與軸交于，、，兩點，由兩點式即可得到拋物線的解析式，求得點的坐標，利用待定系數法即可求得直線的解析式；（2）過點作軸于點，交直線于點，求得直線的解析式為，設點的坐標為，，則點的坐標為，，求得PE關于m的二次函數，利用二次函數的性質即可求解；（3）作點關于直線的對稱點，求得點的坐標為，，過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，則的最小值為的長，證明，利用相似三角形的性質即可求解；【詳解】（1）解：拋物線與軸交于，、，兩點，拋物線的解析式為，令，則，點，，點是點關于軸的對稱點，點，，設直線的解析式為，，，直線的解析式為；（2）解：過點作軸于點，交直線于點，

的面積，當取得最大值時，的面積有最大值，同理求得直線的解析式為，設點的坐標為，，則點的坐標為，，，，當時，有最大值，的面積有最大值，此時點的坐標為，；（3）解：拋物線的對稱軸為直線，作點關于直線的對稱點，點的坐標為，，點的坐標為，，過點作直線的垂線，垂足為，交直線于點，此時，根據垂線段最短知的最小值為的長，過點作軸交直線于點，

則點的坐標為，，，，，，，，，，軸，，，，即，，的最小值為．【點睛】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，平移的性質，熟練掌握所學知識并能夠靈活運用是解題的關鍵．【變式訓練1】如圖，已知拋物線與x軸相交于、兩點，并與直線交于、兩點，其中點是直線與軸的交點，連接．

(1)求、兩點坐標以及拋物線的解析式；(2)證明：為直角三角形；(3)求拋物線的頂點的坐標，并求出四邊形的面積；(4)在拋物線的對稱軸上有一點，當周長的最小時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)，，(2)證明見解析(3)，(4)【分析】（1）先由直線與x軸、y軸分別交于點B、點C求得B，C的坐標，再將其代入列方程組求出a、c的值，即可求解；（2）先求得A的坐標，根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形；（3）連接，根據進行求解即可；（4）因為的長為定值，所以當的值最小時，則的周長最小，當點P與點E重合時，的值最小，求出點E的坐標即可．【詳解】（1）解：在直線中，當時，，當時，，∴，，∵拋物線經過點和點，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）證明：在中，當時，則，解得，，∴．∵，，∴，，，∴，即．∵，∴，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的頂點的坐標是；如圖1，連接，

∴，∴四邊形的面積是．（4）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線的對稱軸為．如圖，設拋物線的對稱軸：與直線交于點E，

點P是直線上的點，連接．∵垂直平分，∴，，∴．∵為定值，∴當的值最小時，的周長最小．∵，∴當點P與點E重合時，，∴此時最小．∵直線，當時，，∴，∴當的周長最小時，點P的坐標為．【點睛】此題重點考查一次函數的圖象與性質、二次函數的圖象與性質、用待定系數法求函數關系式、勾股定理及其逆定理的應用、軸對稱的性質、兩點之間線段最短等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．【變式訓練2】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的函數表達式；(2)若點P是位于直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值；(3)若點D是y軸上的一點，且以B、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；(4)若點E為拋物線的頂點，點是該拋物線上的一點，點M在x軸、點N在y軸上，是否存在點M、N使四邊形的周長最小，若存在，請直接寫出點M、點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)D的坐標為或(4)，【分析】（1）把，分別代入，利用待定系數法求解；（2）過點P作交于點H，根據得到關于點P的橫坐標的二次函數關系式，進而求出二次函數的最值即可；（3）由可知：要使與相似，則有或，分別求解即可；（4）作點E關于y軸的對稱點，作點關于x軸的對稱點，由軸對稱的性質可得四邊形的周長，可知當，，M，N在一條直線上時，四邊形的周長取最小值，直線與x軸、y軸的交點即為點M、N，由此可解．【詳解】（1）解：把，分別代入得：，解得，∴拋物線的表達式為．（2）解：如圖，過點P作交于點H，

令，得，∴，∴設直線的表達式為：，將，代入，得，解得，∴直線的表達式為，設，則，∴，∴，∴當時，取最大值，最大值為，即面積的最大值為；（3）解：如圖，

∵，，，∴，，∴，，要使與相似，則有或，①當時，，解得，則，∴；②當時，，則，∴，即D的坐標為或；（4）解：，∵E為拋物線的頂點，∴，∵在拋物線上，∴，∴，如圖，作點E關于y軸的對稱點，作點F關于x軸的對稱點，

由軸對稱的性質可知，，∴四邊形的周長，∴當，，M，N在一條直線上時，四邊形的周長取最小值，因此，直線與x軸、y軸的交點即為點M、N，設直線的解析式為：，將，代入，得，∴，∴直線的解析式為：，當時，；當時，，∴，．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查一次函數、二次函數、軸對稱、相似三角形等知識點，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是綜合運用上述知識點，第四問的關鍵是利用軸對稱的性質找出點M和點N的位置．類型三、胡不歸最值問題例．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當的值最大時，求點的坐標．【答案】(1)(2)點，的最小值為(3)【分析】（1）根據拋物線的對稱性，進行求解即可；（2）根據拋物線的對稱性，得到，得到當三點共線時，的值最小，為的長，求出直線的解析式，解析式與對稱軸的交點即為點的坐標，兩點間的距離公式求出的長，即為的最小值；（3）根據題意，補全圖形，設，得到，，將的最大值轉化為二次函數求最值，即可得解．【詳解】（1）解：∵點關于對稱軸的對稱點為點，對稱軸為直線，∴點為；（2）當時，，∴，連接，

∵，∴，∵點關于對稱軸的對稱點為點，∴，∴當三點共線時，的值最小，為的長，設直線的解析式為：，則：，解得：，∴，∵點在拋物線的對稱軸上，∴；∴點，的最小值為；（3）過點作軸，垂足為，連接交于點，如圖所示，

∵，設拋物線的解析式為：，∵，∴，∴，∴，設，則：，由（2）知：直線：，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當時，有最大值，此時．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用．正確的求出函數解析式，利用拋物線的對稱性以及數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．【變式訓練1】如圖，拋物線的圖象經過，，三點，且一次函數的圖象經過點．

(1)求拋物線和一次函數的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，(3)當時，的最大值為【分析】（1）待定系數法求解析式即可求解；（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則，根據二次函數的性質即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當時，，此時點在點右側故舍去；當時，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線當，即解得：∴，∵過，，三點∴

在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點在拋物線上，且橫坐標為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當時，的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，正方形的性質，二次函數的性質，分類討論，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【變式訓練2】已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式與頂點D的坐標；(2)如圖1，點P是拋物線上位于直線下方的一動點，連接與相交于點E，已知，求點E的坐標；(3)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸交于點N，在拋物線對稱軸上有一個動點M，連接．求的最小值．【答案】(1)，(2)點E的坐標為：或(3)【分析】（1）由待定系數法即可求解；（2）由，則，由，得到，進而求解；（3）過點B作于點H，則，則此時為最小，進而求解．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于兩點，∴設拋物線的解析式為，把點代入得，，解得，故拋物線的表達式為：；（2）連接,∵，則，過點A作軸交于點N，過點P作軸交于點H，則，則，設直線的表達式為，把代入得：，解得，，∴直線的表達式為：，當時，，，則，設點，則點，則，解得：或2，即點或，同理，由點A、P的坐標得，直線的表達式為：或，聯立和得：，解得：，則點；聯立和得：，解得：，則點，即點E的坐標為：或；（3）連接，由點D的坐標知，，則，則，過點B作于點H，則，則此時為最小，則，則，則，即的最小值為．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了一次函數的性質、解直角三角形、三角形相似、面積的計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏【變式訓練3】已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，，

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)點為拋物線上位于直線下方的一動點，當面積最大時，求點的坐標；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)解析式為，頂點的坐標為(2)點的坐標為(3)最小值為【分析】（1）根據題意設拋物線的交點式，然后代入點的坐標，求解即可；（2）作軸，交于點，通過設和的坐標，利用“割補法”表示出，從而利用二次函數的性質求解最值即可；（3）將直線繞著點逆時針旋轉，并過點作其垂線，垂足為，分別連接，，，構造出含角的直角三角形，然后轉換為求得最小值，繼而確定當、、三點共線時，滿足取得最小值，此時利用含角的直角三角形的性質分段求解再相加即可得出結論．【詳解】（1）解：由題意，設拋物線解析式為，其中，∵，∴點的坐標為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點的坐標為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點在拋物線上，且位于直線下方，∴設，其中，，如圖所示，作軸，交于點，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當時，取得最大值，將代入，得：，∴此時點的坐標為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點逆時針旋轉，并過點作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點的運動，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當、、三點共線時，滿足取得最小值，

此時，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點睛】本題考查求二次函數解析式，二次函數綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構造三角形求線段和最值問題，掌握二次函數的基本性質，熟練運用函數思想解決圖形面積問題是解題關鍵．課后訓練1．如圖1，拋物線與x軸交于點，與y軸交于點C．

(1)求該拋物線的函數解析式；(2)點P是該拋物線上的動點，設點P的橫坐標為t（）．①當時，求此時四邊形的面積；②如圖2，過點P作軸于點D，作軸于點E，當時，求t的值；③如圖3，連接，過點P作于點D，求線段的長的最大值，并求出點P的坐標．【答案】(1)(2)①②③，【分析】（1）根據拋物線與軸的兩個交點坐標，直接利用兩點式寫出函數解析式即可；（2）①先求出點的坐標，利用四邊形的面積，進行求解即可；②根據題意，可得此時點坐標為，代入拋物線解析式，進行求解即可；③過點作軸，交于點，推出，進而得到當最大時，的值最大，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點，則：拋物線的解析式為：，即：；（2）①∵，當時，，當時，，∴當時，點坐標為，，∴，∵，∴，連接，

則：四邊形的面積；②∵軸于點D，軸于點E，∴，∵，∴，∴，∴，解得：（負值已舍掉），∴；③設直線的解析式為，則：，解得：，∴；∵，∴，∴，過點作軸，交于點，

∵，∴，∴，∵，∴當時，的值最大為2，此時，∵，軸，∴，又，∴，在中，，∴當最大時，值最大，∵的最大值為2，∴值最大為，此時．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解，是解題的關鍵．屬于中考常考壓軸題．2．已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，直線經過點B，點P在拋物線上，設點P的橫坐標為m．

(1)填空：_________，_________，_________；(2)如圖1，連接，，，若是以為斜邊的直角三角形，求點P的坐標；(3)如圖2，若點P在直線上方的拋物線上，過點P作，垂足為Q，求的最大值．【答案】(1)，，3；(2)(3)【分析】（1）分別把代入拋物線解析式和一次函數的解析式，即可求解；（2）作軸于點，根據題意可得，從而得到