專題28輕松搞定圓錐曲線離心率十九大模型【考點預測】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關系．2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關系建立不等關系．5、利用判別式建立不等關系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．7、利用基本不等式，建立不等關系．二、函數法：1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；2、通過確定函數的定義域；3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標法：由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．【題型歸納目錄】題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式題型二：圓錐曲線第一定義題型三：圓錐曲線第二定義題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）題型五：利用數形結合求解題型六：利用正弦定理題型七：利用余弦定理題型八：內切圓問題題型九：橢圓與雙曲線共焦點題型十：利用最大頂角題型十一：基本不等式題型十二：已知范圍題型十三：題型十四：中點弦題型十五：已知焦點三角形兩底角題型十六：利用漸近線的斜率題型十七：坐標法題型十八：利用焦半徑的取值范圍題型十九：四心問題【典例例題】題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式例1．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．例2．（2023·四川·高三階段練習（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別是，，過右焦點且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點，若，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例3．（2023·湖北·高三開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與的左、右兩支分別交于兩點，且是以為頂角的等腰直角三角形，若的離心率為，則（

）A． B． C． D．例4．（2023·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或例5．（2023·江西·高三開學考試（文））設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．題型二：圓錐曲線第一定義例6．（2023·重慶八中高三開學考試（理））設橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A(﹣c,c)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為（）A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]例7．（2023·浙江·高三開學考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．例8．（2023·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）設雙曲線的左?右焦點分別為F1，F2，P是C上一點，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．例9．（2023·貴州貴陽·高三開學考試（理））已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上，．若的最小值是9，則雙曲線的離心率是_____．例10．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2題型三：圓錐曲線第二定義例11．（2023·全國·高三專題練習（文））古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5例12．（2023·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，例13．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．例14．（2023·四川遂寧·二模（理））已知雙曲線（）的離心率為4，過右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點H，若，則=（

）A．14 B．16 C．18 D．20例15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）例16．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．例17．（2023·全國·高三專題練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例18．（2023·全國·高三專題練習（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．例19．（2023·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．例20．（2023·云南·羅平縣第一中學高二開學考試）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3例21．（2023·全國·高二課時練習）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型五：利用數形結合求解例22．（2023·廣西·模擬預測（文））如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例23．（2023·廣西柳州·模擬預測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．例24．（2023·四川·成都七中模擬預測（理））已知雙曲線（，）的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例25．（2023·全國·二模（理））已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．例26．（2023·全國·模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過的直線l交雙曲線C于P，Q兩點且使得．A為左支上一點且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．例27．（2023·山東濰坊·三模）已知雙曲線的左，右頂點分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點為，直線交的右支于點，若△是等腰三角形，且的內角平分線與軸平行，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．題型六：利用正弦定理例29．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．例30．（2023·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．例31．（2023·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．例32．（2023·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．題型七：利用余弦定理例33．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例34．（2023·河北廊坊·高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.例35．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例36．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．例37．（2023·河南·通許縣第一高級中學模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與的左、右兩支分別交于點，若是邊長為的等邊三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．題型八：內切圓問題例38．（2023·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標原點），若內切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．例39．（2023·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．例40．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）已知是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例41．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設與雙曲線的左支交于點，的內切圓與相切于點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．例42．（2023·浙江·模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例43．（2023·內蒙古·赤峰二中模擬預測（文））已知、分別為雙曲線的左、右焦點，，是軸正半軸上一點，線段交雙曲線左支于點，若，且的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例44．（2023·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知點P為雙曲線一點（點P在第一象限），點分別為雙曲線的左，右焦點，的內切圓的半徑為1．圓心為點I，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例45．（2023·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．題型九：橢圓與雙曲線共焦點例46．（2023·甘肅省民樂縣第一中學三模（理））設，為橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別為左?右焦點，與在第一象限的交點為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例47．（2023·重慶·模擬預測）如圖，F1，F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1與C2在第二?四象限的公共點，若AF1⊥BF1，設C1與C2的離心率分別為e1，e2，則8e1+e2的最小值為（

）A．6+ B． C． D．例48．（2023·湖南·長沙一中模擬預測）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．例49．（2023·河南鄭州·一模（文））已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例50．（2023·河南鄭州·一模（理））已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF2||PF1|，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8例51．（2023·江西·模擬預測（理））已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的公共點，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例52．（2023·云南·一模（理））已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1例53．（2023·甘肅白銀·模擬預測（理））已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是，在第二象限的公共點.若，則的離心率為A． B． C． D．例54．（2023·山東日照·二模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．16例55．（2023·陜西省榆林中學三模（理））橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．題型十：利用最大頂角例56．（2023·全國·高二課時練習）已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．例57．（2023·全國·高二專題練習）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例58．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．例59．（2023·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．例60．（2023·北京豐臺二中高三階段練習）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數），則該橢圓離心率的取值范圍是________.例61．（2023·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．題型十一：基本不等式例62．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例63．（2023·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例64．（2023·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.例65．（2023·四川成都·高三開學考試（文））已知雙曲線，F為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內的點A，點B與點A關于原點對稱，連接AB，BF，當取得最大值時，雙曲線的離心率為______．例66．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．題型十二：已知范圍例67．（2023·四川省南充市白塔中學高三開學考試（理））已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例68．（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例69．（2023·全國·高三開學考試（理））設，分別是橢圓的左?右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．例70．（2023·四川·高二期末（文））設，是橢圓C：的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．例71．（2023·吉林·長春市第二實驗中學高二階段練習）已知、是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是______．題型十三：例72．（2023·江蘇·海安縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．例74．（2023·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型十四：中點弦例75．（2023·全國·高三開學考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．例76．（2023·福建·晉江市第一中學高三階段練習）已知橢圓，，過點P的直線與橢圓交于A，B，過點Q的直線與橢圓交于C，D，且滿足，設AB和CD的中點分別為M，N，若四邊形PMQN為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．例77．（2023·全國·高三開學考試（理））以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為(

)A． B． C． D．例78．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例79．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1例80．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．例81．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．例82．（2023·廣西·高三階段練習（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或例83．（2023·全國·高三專題練習）設直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線（是坐標原點）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型十五：已知焦點三角形兩底角例84．（2023·廣西·江南中學高二階段練習（文））已知，分別是橢圓：的左右兩個焦點，若在上存在點使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．例85．（多選題）（2023·湖南·高二期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線上存在點（點不與左、右頂點重合），使得，則雙曲線的離心率的可能取值為（

）A． B． C． D．2例86．（2023·全國·高三專題練習（理））已知雙曲線的左?右焦點分別為，為雙曲線右支上的一點，若在以為直徑的圓上，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例87．（2023·河南·商丘市第一高級中學高三開學考試（文））已知、分別為雙曲線C：的左、右焦點，O為原點，雙曲線上的點P滿足，且，則該雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．例88．（2023·全國·高三專題練習（理））已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|＝2c，若橢圓上存在點M使得中，，則該橢圓離心率的取值范圍為()A．(0，－1) B． C． D．(－1,1)題型十六：利用漸近線的斜率例89．（2023·青海·海東市第一中學模擬預測（理））已知點P是雙曲線（a>0，b>0）的漸近線上一點，F是雙曲線的右焦點，若|PF|的最小值為2a，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例90．（2023·河南·開封市東信學校模擬預測（文））定義：雙曲線為橢圓的“伴隨曲線”.已知點在橢圓C上，且橢圓C的伴隨曲線的漸近線方程為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例91．（2023·天津市新華中學模擬預測）已知雙曲線，拋物線的準線經過的焦點且與交兩點，，若拋物線的焦點到的漸近線的距離為2，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例92．（2023·江西·贛州市第三中學模擬預測（文））已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，為右焦點，為坐標原點，雙曲線的一條漸近線交橢圓于點，且點在第一象限，若，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．例93．（2023·吉林長春·模擬預測（文））已知點和是雙曲線C：的兩個焦點，過點作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．例94．（2023·四川·宜賓市敘州區第二中學校三模（文））已知雙曲線及雙曲線，且的離心率為，若直線與雙曲線、都無交點，則的值是（

）A． B． C． D．例95．（2023·江西·二模（文））已知雙曲線C：的左焦點為，點P在圓：上，若C的一條漸近線恰為線段FP的垂直平分線，則C的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．例96．（2023·山西呂梁·模擬預測（文））已知雙曲線的上頂點為P，（O為坐標原點），若在雙曲線的漸近線上存在點M，使得，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例97．（2023·新疆·二模（理））如圖．已知橢圓，雙曲線，若以橢圓的長軸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，且橢圓與該漸近線的兩交點將線段三等分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．題型十七：坐標法例98．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線：的左頂點為，右焦點為，動點在上.當時，.求雙曲線的離心率.例99．（2023·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左?右焦點，A是其左頂點.若雙曲線上存在點P滿足，則該雙曲線的離心率為___________.例100．（2023·河南·寶豐縣第一高級中學高三開學考試（理））已知雙曲線的右焦點為F，P為C右支上一點，與x軸切于點F，與y軸交于A，B兩點，若為直角三角形，則C的離心率為______.例101．（2023·山東青島·高三開學考試）已知雙曲線的左?右焦點分別為，若線段上存在點，使得線段與的一條漸近線的交點滿足：，則的離心率的取值范圍是___________.例102．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，直線與橢圓C交于A，B兩點，O為原點，若三角形AOB是等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例103．（2023·河南洛陽·三模（文））已知橢圓的左?右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點為，的平分線與軸交于點，若四邊形的面積為，則橢圓的離心率___________.題型十八：利用焦半徑的取值范圍例104．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的左?右焦點分別為.若雙曲線的右支上存在點，使，則雙曲線的離心率的取值范圍為___________.例105．（2023·吉林長春·二模（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是A． B． C． D．例106．（2023·江蘇·金沙中學高二階段練習）設雙曲線的焦距為，左、右焦點分別是，，點P在C的右支上，且，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例107．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，橢圓上存在點，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率取值范圍是________．例108．（2023·河南·信陽高中高三期末（文））若橢圓上存在一點，使得，其中分別是的左、右焦點，則的離心率的取值范圍為______.例109．（2023·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓C上恰好有6個不同的點P，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型十九：四心問題例110．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓）的左?右焦點分別為和為C上一點，且的內心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．例111．（2023·河北衡水·高三階段練習（理））已知坐標平面中，點，分別為雙曲線（）的左、右焦點，點在雙曲線的左支上，與雙曲線的一條漸近線交于點，且為的中點，點為的外心，若、、三點共線，則雙曲線的離心率為（

）A． B．3 C． D．5例112．（2023·江蘇·高二單元測試）設為雙曲線的右焦點，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，線段的中點為，的外心為，且滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．例113．（2023·江西南昌·三模（理））已知雙曲線：的左、右焦點分別是，，是雙曲線右支上一點，且，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．4例114．（2023·甘肅酒泉·模擬預測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為右支上一點，若的重心為，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．3例115．（2023·全國·高三專題練習（理））已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．例116．（2023·重慶·西南大學附中模擬預測）已知，分別為橢圓的左、右焦點，點P在第一象限內，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點M，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．例117．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為，，M為C上一點，且的內心為，若的面積為4b，則（

）A． B． C． D．例118．（2023·新疆·三模（理））點P是雙曲線C：右支上一點，，分別是雙曲線C的左，右焦點，M為的內心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．例119．（2023·浙江·高三專題練習）已知橢圓的左?右焦點分別為為上不與左?右頂點重合的一點，為的內心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．例120．（2023·山東臨沂·模擬預測）平面直角坐標系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點O，A，B，若的垂心為的焦點，則的離心率為（

）A． B． C． D．例121．（多選題）（2023·福建·莆田第九中學高三階段練習）瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線與軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構成集合，且恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（

）A． B． C． D．例122．（多選題）（2023·全國·高二專題練習）若雙曲線，分別為左、右焦點，設點在雙曲線上且在第一象限的動點，點為的內心，點為的重心，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．點的運動軌跡為雙曲線的一部分C．若，，則.D．存在點，使得例123．（2023·全國·高三專題練習）瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”，直線l與y軸及雙曲線的兩條漸近線的三個不同交點構成集合M，且M恰為某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率為－1，則該雙曲線的離心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上結論正確的是___________.例124．（2023·四川達州·高二期末（文））雙曲線（，）的左焦點為，兩點在雙曲線的右支上，且關于軸對稱，為正三角形，坐標原點為的重心，則該雙曲線的離心率是___________.例125．（2023·四川雅安·三模（文））已知橢圓的左右焦點分別為，P為C上異于左右頂點的一點，M為內心，若，則該橢圓的離心率是________．例126．（2023·江西鷹潭·二模（理））已知雙曲線C：，直線與曲線C交于A，B兩點（點A在點B的上方），，點E在軸上，且軸，若的內心到軸的距離不小于，則雙曲線C離心率的取值范圍為___________．例127．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線虛軸的一個頂點為，直線與交于，兩點，若的垂心在的一條漸近線上，則的離心率為___________.專題28輕松搞定圓錐曲線離心率十九大模型【考點預測】求離心率范圍的方法一、建立不等式法：1、利用曲線的范圍建立不等關系．2、利用線段長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的任意一點，；為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上的任一點，．3、利用角度長度的大小建立不等關系．為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，若，則橢圓離心率的取值范圍為．4、利用題目不等關系建立不等關系．5、利用判別式建立不等關系．6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關系．7、利用基本不等式，建立不等關系．二、函數法：1、根據題設條件，如曲線的定義、等量關系等條件建立離心率和其他一個變量的函數關系式；2、通過確定函數的定義域；3、利用函數求值域的方法求解離心率的范圍．三、坐標法：由條件求出坐標代入曲線方程建立等量關系．【題型歸納目錄】題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式題型二：圓錐曲線第一定義題型三：圓錐曲線第二定義題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）題型五：利用數形結合求解題型六：利用正弦定理題型七：利用余弦定理題型八：內切圓問題題型九：橢圓與雙曲線共焦點題型十：利用最大頂角題型十一：基本不等式題型十二：已知范圍題型十三：題型十四：中點弦題型十五：已知焦點三角形兩底角題型十六：利用漸近線的斜率題型十七：坐標法題型十八：利用焦半徑的取值范圍題型十九：四心問題【典例例題】題型一：建立關于和的一次或二次方程與不等式例1．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，雙曲線的右支上一點，它關于原點的對稱點為，滿足，且，則雙曲線的離心率是________．答案：【解析】設雙曲線的左焦點為，連接，，由條件可得，則，，，所以，即，即，所以雙曲線的離心率為：，故答案為.例2．（2023·四川·高三階段練習（理））已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別是，，過右焦點且不與x軸垂直的直線交C的右支于A，B兩點，若，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，設，則．又，所以，所以．又，所以，由，得，則，而，則，化簡得，所以．例3．（2023·湖北·高三開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作直線與的左、右兩支分別交于兩點，且是以為頂角的等腰直角三角形，若的離心率為，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設，由雙曲線的定義得，又，∴.又,所以，所以.故選：C例4．（2023·甘肅·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中項，則圓錐曲線的離心率是（

）A．或 B． C． D．或答案：A【解析】是2和8的等比中項，或，當時，方程為，表示橢圓，，離心率為，當時，方程為，表示雙曲線，，離心率為，故選：A例5．（2023·江西·高三開學考試（文））設橢圓的左、右焦點分別為，，點M，N在C上（M位于第一象限），且點M，N關于原點O對稱，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設，則，根據勾股定理，，，整理得，由于點M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故選：C．題型二：圓錐曲線第一定義例6．（2023·重慶八中高三開學考試（理））設橢圓E:1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0),點A(﹣c,c)為橢圓E內一點,若橢圓E上存在一點P,使得|PA|+|PF|=9c,則橢圓E的離心率取值范圍為（）A．[,1) B．[,] C．[,] D．[,]答案：D【解析】如圖：設橢圓的另一個焦點為，因為，所以由，所以，所以，即，所以.因為點在橢圓內，所以，所以，所以，解得，因為，所以.故選：D例7．（2023·浙江·高三開學考試）已知分別為橢圓的左?右焦點，過的直線與交于兩點，若，則的離心率是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知，可根據條件做出下圖：因為，令，所以，，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，由橢圓的定義可知，在中，，所以,在中，，所以所以.所以的離心率是.故選：D.例8．（2023·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）設雙曲線的左?右焦點分別為F1，F2，P是C上一點，且，若的面積為4，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C．3 D．答案：D【解析】由題意，雙曲線，可知，設，可得，又因為，若的面積為，所以，且，聯立方程組，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：D.例9．（2023·貴州貴陽·高三開學考試（理））已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上，．若的最小值是9，則雙曲線的離心率是_____．答案：【解析】設雙曲線的右焦點為，雙曲線的，則，可得，，由雙曲線的定義可得，可得，則，當，，共線時，取得等號．，則整理得：解得或，由于，則，故不符合所以，則雙曲線的離心率為．故答案為：．例10．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線C有一個交點P，設的面積為S，若，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．2答案：C【解析】依題意，，令，，則有，由得：，即有，而，所以.故選：C題型三：圓錐曲線第二定義例11．（2023·全國·高三專題練習（文））古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統一定義，他指出，平面內到定點的距離與到定直線的距離的比是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線；當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．5答案：B【解析】因為，所以，表示點到定點的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B例12．（2023·北京石景山·高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，為左支上一點，到左準線的距離為，若、、成等比數列，則其離心率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，答案：D【解析】，，即①，又②．由①②解得：，，又在焦點三角形中：，即：，即，解得：，又，，故選：D．例13．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線的右焦點為，過且斜率為的直線交于、兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設雙曲線的右準線為，過、分別作于，于，于，如圖所示：因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，∴，，由雙曲線的第二定義得：，又∵，∴，∴故選：B例14．（2023·四川遂寧·二模（理））已知雙曲線（）的離心率為4，過右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點H，若，則=（

）A．14 B．16 C．18 D．20答案：D【解析】由題意雙曲線的離心率，如圖，設雙曲線右準線為，分別作垂直于，垂足為，作,垂足為E，設，則，由題意得，，則，所以.又.則，故，所以，，故選：D.例15．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過F且斜率為的直線交C于A、B兩點，若，則C的離心率為(

)A． B． C．2 D．答案：A【解析】設，則，過A、B作雙曲線右準線的垂線，垂足分別為D、C，過B作AD的垂線，垂足為E.根據雙曲線的第二定義可得，，，由直線的斜率為，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴，，.故選：A.題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）例16．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由題可知，，設，由點P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.例17．（2023·全國·高三專題練習）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由題得：，所以故選：A．例18．（2023·全國·高三專題練習（理））橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】解法1：設而不求設，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.解法2：第三定義設右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.例19．（2023·湖南郴州·高二期末）雙曲線的左右頂點為，過原點的直線與雙曲線交于兩點，若的斜率滿足，則雙曲線的離心率為_________．答案：【解析】由題意知：，，若為坐標原點，則，，四邊形為平行四邊形，，即，；設，則，，雙曲線的離心率.故答案為：.例20．（2023·云南·羅平縣第一中學高二開學考試）已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3答案：D【解析】設，，，，，，，．故選：D．例21．（2023·全國·高二課時練習）已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設，，根據對稱性，知，所以．因為點A，P在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.題型五：利用數形結合求解例22．（2023·廣西·模擬預測（文））如圖1所示，雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線的左?右焦點分別為，從發出的光線經過圖2中的兩點反射后，分別經過點和，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨設，則，由勾股定理得，又由雙曲線的定義可得，，根據可得，解得，所以，在Rt中，，可得，故雙曲線的離心率為.故選：B.例23．（2023·廣西柳州·模擬預測（理））如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點．若雙曲線E：的左、右焦點分別為，，從發出的光線經過圖2中的A，B兩點反射后，分別經過點C和D，且，，則E的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】依題意，直線都過點，如圖，有，，設，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：B例24．（2023·四川·成都七中模擬預測（理））已知雙曲線（，）的左，右焦點分別是，，點是雙曲線右支上異于頂點的點，點在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】因為，所以是的角平分線，又因為點在直線上，且在雙曲線中，點是雙曲線右支上異于頂點的點，則的內切圓圓心在直線上，即點是的內心，如圖，作出，并分別延長、、至點、、，使得，，，可知為的重心，設，，，由重心性質可得，即，又為的內心，所以，因為，所以，，則，所以雙曲線的離心率.故選：C.例25．（2023·全國·二模（理））已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意得：漸近線方程為，設切線方程為，聯立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯立與，解得：，聯立與，解得：，因為N為MQ的中點，所以，解得：，所以離心率為故選：A例26．（2023·全國·模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過的直線l交雙曲線C于P，Q兩點且使得．A為左支上一點且滿足，，的面積為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】如圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，，.所以可得．過點A作x軸的平行線交PQ于點B，可知四邊形是平行四邊形，因為，所以，又，所以有．設，則，，，，．在中，由，解得．在中，由，得，所以離心率，故選：C例27．（2023·山東濰坊·三模）已知雙曲線的左，右頂點分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點為，直線交的右支于點，若△是等腰三角形，且的內角平分線與軸平行，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．答案：B【解析】聯立且在第一象限，可得，而，，所以，，由題設，，故△是等腰直角三角形，所以，而的內角平分線與軸平行，所以，又，可得，則，可得，所以.故選：B例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．答案：D【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，因為，所以，代入中，可得：，因為，所以在三角形中，由余弦定理得：，因為，所以，則，取的中點M，連接BM，因為，所以，，所以，，又因為，所以，化簡得：，同除以得：，解得：或（舍去）故選：D題型六：利用正弦定理例29．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B例30．（2023·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．例31．（2023·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點（異于長軸的端點），使得，則該橢圓離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由已知，得，由正弦定理，得，所以．由橢圓的幾何性質，知，所以且，所以且，即且，結合，可解得．故答案為：.例32．（2023·全國·高三專題練習）過橢圓的左、右焦點，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故選：C．題型七：利用余弦定理例33．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因為，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去）.故選：D例34．（2023·河北廊坊·高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上一點，且，若關于平分線的對稱點在上，則的離心率為________.答案：【解析】設關于平分線的對稱點為Q，則三點共線，設，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.故答案為：例35．（2023·全國·高三專題練習）橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因為，所以，所以由余弦定理可得，即，化簡可得，即，解得或（舍去）.故選：D例36．（2023·全國·高三專題練習）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左、右支分別交于，兩點，若，的面積為，雙曲線的離心率為，則（

）A． B．2C． D．答案：D【解析】如圖，由雙曲線的定義可知：，，因為，所以，代入中，可得：，因為，所以在三角形中，由余弦定理得：，因為，所以，則，取的中點M，連接BM，因為，所以，，所以，，又因為，所以，化簡得：，同除以得：，解得：或（舍去）故選：D例37．（2023·河南·通許縣第一高級中學模擬預測（文））已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點的直線與的左、右兩支分別交于點，若是邊長為的等邊三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，又，，解得：，，在中，由余弦定理得：，解得：，即，，雙曲線的離心率.故選：B.題型八：內切圓問題例38．（2023·河南·平頂山市第一高級中學模擬預測（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線上一點，且（為坐標原點），若內切圓的半徑為，則C的離心率是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，即為，即為，可得．所以．根據雙曲線的對稱性，不妨設點P在第一象限，如圖所示，由題意設的內切圓切三邊分別于G，D，E三點，則，，．又，所以．設，則，所以，所以切點D為雙曲線的右頂點，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因為，所以C的離心率為，故選：C．例39．（2023·陜西·西北工業大學附屬中學模擬預測（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，所以，如圖，在上取一點M，使得，連接，則，則點I為AM上靠近點M的三等分點，所以，所以，設，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點A與上頂點重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A例40．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）已知是橢圓的左?右焦點，點是橢圓上的一個動點，若的內切圓半徑的最大值是，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由橢圓，可得，，，則，如圖，設內切圓的半徑為，，，則，要使內切圓半徑最大，則需最大，，又內切圓半徑的最大值為，即，解得，所以．則橢圓的離心率故選：B．例41．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，點在雙曲線右支上運動（不與頂點重合），設與雙曲線的左支交于點，的內切圓與相切于點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．答案：A【解析】設分別切內切圓交于，則由雙曲線的定義可得，即，根據內切圓的性質可得，故，兩式相加化簡可得，即，故.故雙曲線的離心率為故選：A例42．（2023·浙江·模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，M為右支上一點，的內切圓圓心為Q，直線交x軸于點N，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖，設內切圓Q與的三邊分別切于三點，過作軸于點，易得，又由雙曲線定義得，即，又，故，即點橫坐標為，又，則，故直線的方程為，代入，解得，即，又，則，故，又，則，，在中，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得或，又離心率大于1，故離心率為.故選：A.例43．（2023·內蒙古·赤峰二中模擬預測（文））已知、分別為雙曲線的左、右焦點，，是軸正半軸上一點，線段交雙曲線左支于點，若，且的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設的內切圓分別切線段、、于點、、，連接、、，如下圖所示：由切線長定理可知，，，，因為，，，，則四邊形是邊長為的正方形，則，因為且為的中點，則，因為，即，又因為，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.例44．（2023·遼寧·鞍山一中模擬預測）已知點P為雙曲線一點（點P在第一象限），點分別為雙曲線的左，右焦點，的內切圓的半徑為1．圓心為點I，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設的內切圓與、相切的切點分別為M，N，Q，，，所以,又因為，所以，即，所以，，∴，∴或（舍），∴．故選：B例45．（2023·江蘇南通·模擬預測）在平面直角坐標系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點，過的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點，點在軸上，滿足，且經過的內切圓圓心，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．答案：C【解析】，∴，∴，∵經過內切圓圓心，∴為的角平分線，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴為正三角形，．中，由余弦定理，∴.故選：C.題型九：橢圓與雙曲線共焦點例46．（2023·甘肅省民樂縣第一中學三模（理））設，為橢圓與雙曲線的公共焦點，，分別為左?右焦點，與在第一象限的交點為.若是以線段為底邊的等腰三角形，且雙曲線的離心率，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設橢圓長軸長為2，雙曲線實軸長為，焦點為，，則，又，所以，即，又，所以橢圓的離心率為．故選：C．例47．（2023·重慶·模擬預測）如圖，F1，F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1與C2在第二?四象限的公共點，若AF1⊥BF1，設C1與C2的離心率分別為e1，e2，則8e1+e2的最小值為（

）A．6+ B． C． D．答案：C【解析】連接AF2，BF2，則由對稱性及AF1⊥BF1，得矩形，故.由，，得.令，代入上式得故.設，由，得t=2，當1<t<2時，，函數是減函數，t>2時，，函數是增函數，故t=2時，函數取得最小值，故．故選：C.例48．（2023·湖南·長沙一中模擬預測）已知橢圓與雙曲線的焦點相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．答案：C【解析】設，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因為，所以，解得，故選：C.例49．（2023·河南鄭州·一模（文））已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點，是在第二象限的公共點.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】易知橢圓的焦點坐標為，設雙曲線方程為，則，記，由在橢圓上有，∴，即，，∴雙曲線離心率為．故選：B．例50．（2023·河南鄭州·一模（理））已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF2||PF1|，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8答案：D【解析】由題意得：，設橢圓方程為，雙曲線方程為，又∵.∴，∴，則，當且僅當，即時等號成立.則的最小值為8.故選：D例51．（2023·江西·模擬預測（理））已知為橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的公共點，且分別為橢圓和雙曲線的離心率，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義：；，，設，，則：在中由余弦定理得，；化簡得，該式可變成，．；故選：B．例52．（2023·云南·一模（理））已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】設橢圓的方程為，雙曲線方程為，點在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義得：，，解得，，在中，由余弦定理得：，即：整理得：。所以，，即，當且僅當時，等號成立．故，所以的最大值為。故選：B例53．（2023·甘肅白銀·模擬預測（理））已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是，在第二象限的公共點.若，則的離心率為A． B． C． D．答案：B【解析】設雙曲線的實軸長為，焦距長為由題意得在中，由勾股定理得在橢圓中由定義得∴，故在雙曲線中由定義得∴，解得∴雙曲線的離心率為故選：B例54．（2023·山東日照·二模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的值為（

）A．1 B． C．4 D．16答案：C【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，則根據橢圓及雙曲線的定義，，設，則在中由余弦定理得，化簡，該式變成，故選：C.例55．（2023·陜西省榆林中學三模（理））橢圓與雙曲線共焦點，，它們在第一象限的交點為，設，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，交點到兩焦點的距離分別為，焦距為，則，又，，故，，所以，化簡得，即.故選：B題型十：利用最大頂角例56．（2023·全國·高二課時練習）已知橢圓：，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如圖：當P在上頂點時，最大，此時，則，所以，即，，所以，則，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選：A例57．（2023·全國·高二專題練習）設A，B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】當橢圓的焦點在軸上時，由橢圓的對稱性得,所以，所以，所以橢圓的離心率，因為橢圓的離心率.當橢圓的焦點在軸上時，同理可得.綜合得.故選：B例58．（2023·全國·模擬預測）已知橢圓，點是上任意一點，若圓上存在點、，使得，則的離心率的取值范圍是(

)A． B． C． D．答案：C【解析】連接，當不為橢圓的上、下頂點時，設直線、分別與圓切于點A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．例59．（2023·全國·高三專題練習）設、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．答案：【解析】設點，易知，，則，故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，由圖可知，即，可得，又因為，故．故答案為：．例60．（2023·北京豐臺二中高三階段練習）已知，分別是某橢圓的兩個焦點，若該橢圓上存在點使得（，是已知數），則該橢圓離心率的取值范圍是________.答案：【解析】根據橢圓的幾何意義可知橢圓的離心率最小值為根據橢圓離心率的取值范圍可知故答案為：例61．（2023·廣東·廣州市真光中學高三開學考試）已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點使得，則該橢圓離心率的取值范圍是________．答案：【解析】由橢圓的定義可知：，在△中，由余弦定理得：，所以，又，即，當且僅當時等號成立，故，所以，，解得：.故答案為：題型十一：基本不等式例62．（2023·全國·高三專題練習）設橢圓的右焦點為，橢圓上的兩點，關于原點對你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示：設橢圓的左焦點，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即，所以四邊形為矩形，，設，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以，即，所以所以橢圓的離心率的取值范圍為，故選：B例63．（2023·江蘇南京·高三階段練習）設、分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓準線上一點，的最大值為60°，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意可設直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性不妨設為第一象限的點，即，則，，因為，所以，所以，則，解得，故選：A.例64．（2023·山西運城·高三期末（理））已知點為橢圓的左頂點，為坐標原點，過橢圓的右焦點F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.答案：【解析】由對稱性不妨設P在x軸上方，設，，∴當且僅當取等號，∵直線l上存在點P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.例65．（2023·四川成都·高三開學考試（文））已知雙曲線，F為右焦點，過點F作軸交雙曲線于第一象限內的點A，點B與點A關于原點對稱，連接AB，BF，當取得最大值時，雙曲線的離心率為______．答案：【解析】如圖，根據題意，，，∴，，設直線的傾斜角為，∴，當且僅當時等號成立，即，，，又∴，故答案為：．例66．（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右頂點為、，若該雙曲線上存在點，使得直線、的斜率之和為，則該雙曲線離心率的取值范圍為__________．答案：【解析】設點，其中，易知點、，且有，則，，當點在第一象限時，，，則，，且，由基本不等式可得，因為存在點，使得直線、的斜率之和為，則，即，.故答案為：.題型十二：已知范圍例67．（2023·四川省南充市白塔中學高三開學考試（理））已知、分別為橢圓的左、右焦點，為右頂點，為上頂點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】易知點、、、，則線段的方程為，在線段上取一點，滿足，則，，，所以，，整理可得，由題意可知，關于的方程在時有兩個不等的實根，則，可得，可得，所以，.故選：D.例68．（2023·全國·高二專題練習）已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設點，，因為，所以，即，結合可得，所以.故選：B.例69．（2023·全國·高三開學考試（理））設，分別是橢圓的左?右焦點，若橢圓E上存在點P滿足，則橢圓E離心率的取值范圍（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設，由橢圓的方程可得，，，則，即，由P在橢圓上可得，所以，所以可得，所以，由，所以，整理可得：，，可得：.故選：B例70．（2023·四川·高二期末（文））設，是橢圓C：的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由橢圓的方程可得，，設，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因為，所以整理可得：，消去得：所以，即所以.故選：B.例71．（2023·吉林·長春市第二實驗中學高二階段練習）已知、是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍是______．答案：【解析】設點，則，可得，且，，，所以，，即，可得，整理可得，即，又因為，則，即，故，故，故答案為：.題型十三：例72．（2023·江蘇·海安縣實驗中學高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設點，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F2，離心率為e，若橢圓上存在點P，使得，則該離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，則根據橢圓的焦半徑公式可得，所以根據題意可得，整理可得，所以，因為P在橢圓上，所以，即，因為，所以，即，解得，而橢圓離心率范圍為，故.故選：A例74．（2023·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，即，即，則，即.故選：D．題型十四：中點弦例75．（2023·全國·高三開學考試（理））已知雙曲線與斜率為1的直線交于A，B兩點，若線段AB的中點為，則C的離心率（

）A． B． C． D．答案：C【解析】法一：設，則，所以，又AB的中點為，所以，所以，由題意知，所以，即，則C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.法二：直線AB過點，斜率為1，所以其方程為，即，代入并整理得，因為為線段AB的中點，所以，整理得，所以C的離心率.故A，B，D錯誤.故選：C.例76．（2023·福建·晉江市第一中學高三階段練習）已知橢圓，，過點P的直線與橢圓交于A，B，過點Q的直線與橢圓交于C，D，且滿足，設AB和CD的中點分別為M，N，若四邊形PMQN為矩形，且面積為，則該橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】如圖，不妨設，兩條直線的斜率大于零，連結，由題意知，解得，，或，（舍），所以，，在中，因為，所以，故此時，，設，，，，則，兩式相減得，即，即，因此離心率，所以，故選：D．例77．（2023·全國·高三開學考試（理））以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為(

)A． B． C． D．答案：A【解析】設橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設直線的方程為.聯立得，故，；聯立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.例78．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設，，，由題意得，，兩式相減，得，因為為線段的中點，且直線的傾斜角為，所以．設，則，過作軸，垂足為，則，，由題易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．故選：B例79．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．1答案：A【解析】設，，則的中點坐標為，由題意可得，，將，的坐標的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因為離心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.例80．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．答案：D【解析】不妨設過雙曲線的焦點且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D例81．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．答案：B【解析】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．設雙曲線C的方程為，則．設，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．例82．（2023·廣西·高三階段練習（理））已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或答案：D【解析】若直線斜率不存在，不妨設點，則所以，則離心率；若直線斜率存在，設，中點，不妨設M在x軸上方，由，得，故點M在圓上，由，得，則，所以．由得，即．當時，，得．當時，，矛盾，舍去．綜上所述，或．故選：D．例83．（2023·全國·高三專題練習）設直線與雙曲線交于，兩點，若是線段的中點，直線與直線（是坐標原點）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設，，則直線的斜率為，直線的斜率為，即．因為點，在雙曲線上，所以