專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法【考點預測】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【方法技巧與總結】1.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．2.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．3.已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．4.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式題型四：其他不等式解法題型五：二次函數(shù)根的分布問題【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法例1．（2023·新疆烏魯木齊·二模（理））不等式的解集為（

）A． B． C． D．或例2．（2023·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)=，則不等式的解集是（

）A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）例4．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或例5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在軸上，結合圖象，寫出其解集題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法例6．（2023·浙江·高三專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．例7．（2023·全國·高三專題練習）設，則關于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．例8．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則關于的不等式（其中）的解集為（

）A． B．或C． D．或例9．（2023·全國·高三專題練習）在關于的不等式的解集中至多包含個整數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．例10．（2023·浙江·高三專題練習）設，關于的二次不等式的解集為，集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍.例11．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.(1)當k變化時，試求不等式的解集A；(2)對于不等式的解集A，若滿足A∩Z＝B(其中Z為整數(shù)集)．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．例12．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為，其中，若該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【方法技巧與總結】1．數(shù)形結合處理．2．含參時注意分類討論．題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式例13．（2023·湖南岳陽·二模）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．8例14．（2023·江蘇南京·模擬預測）已知關于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．（多選題）例15．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為例16．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.例17．（2023·全國·高三專題練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.【方法技巧與總結】1．一定要牢記二次函數(shù)的基本性質．2．含參的注意利用根與系數(shù)的關系找關系進行代換．題型四：其他不等式解法例18．（2023·上海市青浦高級中學高三階段練習）不等式是的解集為______．例19．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為___________.例20．（2023·全國·高三專題練習）寫出一個解集為的分式不等式___________.例21．（2023·上海·高三專題練習）關于的不等式的解集為_________.例22．（2023·四川德陽·三模（文））對于問題:“已知關于的不等式的解集為,解關于的不等式”,給出如下一種解法:解析:由的解集,得的解集為,即關于的不等式的解集為.參考上述解法,若關于的不等式的解集為關于的不等式的解集為____.【方法技巧與總結】1．分式不等式化為二次或高次不等式處理．2．根式不等式絕對值不等式平方處理．題型五：二次函數(shù)根的分布問題例23．（2023·浙江·高三專題練習）若關于的方程有兩個不同的正根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例25．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．例26．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數(shù)可能的取值（

）A． B．3 C． D．例27．（2023·全國·高三專題練習）若一元二次方程的兩個實根都大于，則的取值范圍____例28．（2023·全國·高三專題練習）設，若，求證：(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在內有兩個實根.【方法技巧與總結】解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負，所對應的二次函數(shù)圖象的開口方向.

【過關測試】一、單選題1．（2023·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·河北·模擬預測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·陜西·模擬預測（理））已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·重慶南開中學模擬預測）已知函數(shù)，則關于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．5．（2023·山西·二模（理））已知集合，，若有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·重慶·高三階段練習）若關于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇無錫·模擬預測）已知實數(shù)，滿足如下兩個條件：（1）關于的方程有兩個異號的實根；（2），若對于上述的一切實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)可能是A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·江蘇·高三專題練習）已知不等式的解集為，其中，則以下選項正確的有（

）A． B．C．的解集為 D．的解集為或11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．當時，的解集為B．當時，時，C．且時，D．當時，若，則12．（2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知兩個變量x，y的關系式，則以下說法正確的是（

）A．B．對任意實數(shù)a，都有成立C．若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是D．若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是_______14．（2023·浙江·高三專題練習）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.15．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式恰有1個正整數(shù)解，則的取值范圍是___________.16．（2023·全國·高三專題練習）設，，，對任意滿足的實數(shù)，都有，則的最大可能值為__.四、解答題17．（2023·北京·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)（m是常數(shù)）的圖象過點．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．18．（2023·江西·高三期末（文））已知.(1)解不等式；(2)若關于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.19．（2023·全國·高三專題練習）設，若，，求證：(1)方程有實數(shù)根；(2)；(3)設，是方程的兩個實數(shù)根，則．20．（2023·浙江·高三專題練習）若不等式的解集是．(1)解不等式；(2)b為何值時，的解集為R．21．（2023·全國·高三專題練習）解關于的不等式：.22．（2023·全國·高三專題練習）已知二次函數(shù).（1）若，試判斷函數(shù)零點個數(shù)；（2）是否存在，使同時滿足以下條件：①對任意，且；②對任意，都有.若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.專題05一元二次不等式與其他常見不等式解法【考點預測】1、一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2、分式不等式（1）（2）（3）（4）3、絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解【方法技巧與總結】1.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．2.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．3.已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．4.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式題型四：其他不等式解法題型五：二次函數(shù)根的分布問題【典例例題】題型一：不含參數(shù)一元二次不等式的解法例1．（2023·新疆烏魯木齊·二模（理））不等式的解集為（

）A． B． C． D．或答案：D【解析】分析：結合一元二次不等式的解法求得正確答案即可.【詳解】由解得，或，所以不等式的解集為或，故選：D.例2．（2023·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點求解，代入后再求解一元二次不等式.【詳解】當時，，故，所以不等式為，解得，所以不等式的解集為.故選：D例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)=，則不等式的解集是（

）A．（﹣2，1） B．（0，1） C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（1，+∞）答案：C【解析】分析：根據(jù)解析式，可得的單調性，根據(jù)條件，可得x+2＜x2+2x，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可得答案.【詳解】函數(shù)=，可得x≥0，遞增；當x＜0時，遞增；且x=0時函數(shù)連續(xù)，所以在R上遞增，不等式，可化為x+2＜x2+2x，即x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2，則原不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）.故選：C例4．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．或答案：B【解析】分析：根據(jù)該不等式是否為二次不等式，分情況討論.【詳解】當時，該不等式為，解集為，不成立；當時，由不等式的解集為，得，解得，故選：B.例5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)奇偶性定義可知為偶函數(shù)，并根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調性確定的單調性，從而將所求不等式轉化為，解不等式可求得結果.【詳解】定義域為，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關于軸對稱；當時，，又，在上均為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)；由可得：，即，解得：，即不等式的解集為.故選：D.【方法技巧與總結】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在軸上，結合圖象，寫出其解集題型二：含參數(shù)一元二次不等式的解法例6．（2023·浙江·高三專題練習）不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】解：原不等式可以轉化為：，當時，可知，對應的方程的兩根為1，，根據(jù)一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.故選：A.例7．（2023·全國·高三專題練習）設，則關于的不等式的解集為（

）A．或 B．{x|x>a}C．或 D．答案：A【解析】分析：當時，根據(jù)開口方向及根的大小關系確定不等式的解集.【詳解】因為，所以等價于，又因為當時，，所以不等式的解集為：或．故選：A．【點睛】本題考查含參一元二次不等式的解法，較簡單，解答時，注意根的大小關系比較.例8．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則關于的不等式（其中）的解集為（

）A． B．或C． D．或答案：A【解析】分析：先判斷函數(shù)單調遞減，再利用已知條件和函數(shù)的單調性得，解不等式即得解.【詳解】任取，由已知得，即，所以函數(shù)單調遞減．由可得，即，所以，即，即，又因為，所以，此時原不等式解集為．故選：A【點睛】方法點睛：解抽象函數(shù)不等式一般先要判斷函數(shù)的單調性，再利用單調性化抽象函數(shù)不等式為具體的函數(shù)不等式解答.例9．（2023·全國·高三專題練習）在關于的不等式的解集中至多包含個整數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．答案：D【解析】【詳解】因為關于的不等式可化為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，要使得解集中至多包含個整數(shù)，則且，所以實數(shù)的取值范圍是，故選D.點睛：本題主要考查了不等式解集中整數(shù)解的存在性問題，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素與集合的關系等知識點的綜合應用，試題比較基礎，屬于基礎題，同時著重考查了分類討論思想的應用，解答中正確求解不等式的解集是解答的關鍵.例10．（2023·浙江·高三專題練習）設，關于的二次不等式的解集為，集合，滿足，求實數(shù)的取值范圍.答案：【解析】分析：由題意，求出方程的兩根，討論的正負，確定二次不等式的解集A的形式，然后結合數(shù)軸列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：由題意，令，解得兩根為，由此可知，當時，解集，因為，所以的充要條件是，即，解得；當時，解集，因為，所以的充要條件是，即，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為.例11．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R.(1)當k變化時，試求不等式的解集A；(2)對于不等式的解集A，若滿足A∩Z＝B(其中Z為整數(shù)集)．試探究集合B能否為有限集？若能，求出使得集合B中元素個數(shù)最少的k的所有取值，并用列舉法表示集合B；若不能，請說明理由．答案：(1)答案見解析(2)能；，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】分析：（1）對進行分類討論，結合一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）結合（1）的結論進行分類討論，結合基本不等式求得和正確答案.(1)當k＝0時，A＝{x|x<4}；當k>0且k≠2時，A＝{x|x<4或}；當k＝2時，A＝{x|x≠4}；當k<0時，A＝{x|<x<4}．(2)由（1）知：當k≥0時，集合B中的元素的個數(shù)有無限個；當k<0時，集合B中的元素的個數(shù)有限，此時集合B為有限集．因為＝－[(－k)＋]≤－4，當且僅當k＝－2時取等號，所以當k＝－2時，集合B中的元素個數(shù)最少，此時A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為，其中，若該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍答案：【解析】分析：將不等式轉化為，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，結合題意即可求解.【詳解】關于的不等式化為：，令，，則．令，在上單調遞增，因此存在，使得，，，（1），（2）．因此存在，使得，因此函數(shù)在內單調遞減，在,單調遞增．（1），（2）．關于的不等式的解集為，其中，該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，實數(shù)的取值范圍是．【方法技巧與總結】1．數(shù)形結合處理．2．含參時注意分類討論．題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式例13．（2023·湖南岳陽·二模）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．8答案：C【解析】分析：由一元二次不等式的解與方程根的關系求出系數(shù)，確定，然后結合基本不等式得最小值．【詳解】的解集為，則的兩根為，，∴，∴，，則，即，，當且僅當時取“=”，故選：C.例14．（2023·江蘇南京·模擬預測）已知關于的不等式的解集為，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：一元二次不等式解集轉化為一元二次方程的解，根據(jù)韋達定理求出，，再用基本不等式求出最值【詳解】的解集為，則是方程的兩個根，故，，故因為，所以有基本不等式得：，當且僅當即時，等號成立，所以的最大值為故選：D（多選題）例15．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式的解集為，則（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集為答案：ABD【解析】分析：根據(jù)不等式的解集判斷出，結合根與系數(shù)關系、一元二次不等式的解法判斷BCD選項的正確性.【詳解】關于的不等式的解集為選項正確；且－2和3是關于的方程的兩根，由韋達定理得，則，則，C選項錯誤；不等式即為，解得選項正確；不等式即為，即，解得或選項正確.故選：.例16．（2023·全國·高三專題練習）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.答案：【解析】分析：由不等式的解集為可得參數(shù)a的值，則不等式也具體化了，按分式不等式解之即可.【詳解】由不等式的解集為，可知方程有兩根，故，則不等式即等價于，不等式的解集為，則不等式的解集為，故答案為：.例17．（2023·全國·高三專題練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.答案：【解析】分析：根據(jù)給定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【詳解】依題意，，是方程的兩個根，且，于是得，解得：，因此，不等式為：，解得，所以不等式的解集是.故答案為：【方法技巧與總結】1．一定要牢記二次函數(shù)的基本性質．2．含參的注意利用根與系數(shù)的關系找關系進行代換．題型四：其他不等式解法例18．（2023·上海市青浦高級中學高三階段練習）不等式是的解集為______．答案：【解析】分析：由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.例19．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為___________.答案：【解析】分析：根據(jù)分式不等式的解法進行求解.【詳解】,故答案為：.例20．（2023·全國·高三專題練習）寫出一個解集為的分式不等式___________.答案：【解析】分析：由題意根據(jù)分式不等式的解法，得出結論.【詳解】一個解集為的分式不等式可以是，故答案為：.（答案不唯一）例21．（2023·上海·高三專題練習）關于的不等式的解集為_________.答案：【解析】分析：通過恒成立，恒成立，將不等式最終轉化為，解出即可.【詳解】解：對于，有，則恒成立，又恒成立，又，，解得不等式的解集為.故答案為：.【點睛】本題考查分式不等式的求解，發(fā)現(xiàn)部分因式恒大于零，以及分母不為零是解題的關鍵，是中檔題.例22．（2023·四川德陽·三模（文））對于問題:“已知關于的不等式的解集為,解關于的不等式”,給出如下一種解法:解析:由的解集,得的解集為,即關于的不等式的解集為.參考上述解法,若關于的不等式的解集為關于的不等式的解集為____.答案：.【解析】分析：關于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得不等式的解集.【詳解】若關于的不等式的解集為則關于的不等式可看成前者不等式中的用代入可得，則，則.故解集為：.【點睛】本題考查不等式的解法，考查方法的類比，正確理解題意是關鍵．【方法技巧與總結】1．分式不等式化為二次或高次不等式處理．2．根式不等式絕對值不等式平方處理．題型五：二次函數(shù)根的分布問題例23．（2023·浙江·高三專題練習）若關于的方程有兩個不同的正根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由，判別式及根與系數(shù)關系列出不等式組，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關于的方程有兩個不同的正根，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故選：C例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】求導得到，然后根據(jù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由求解.【詳解】已知函數(shù)，則，因為在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為故選：B【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性以及二次函數(shù)與根的分布，還考查了邏輯推理和運算求解的能力，屬于中檔題.例25．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．答案：A【解析】化簡函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間上單調遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，且f(x)在區(qū)間上單調遞減，∴在區(qū)間上,f′(x)=?sin2x+3a(cosx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設，∴當x∈時,,t∈[?1,1]，即?1≤cosx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，原式等價于t2+3at+2a?2≤0，當t∈[?1,1]時恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，只需滿足或或，解得或或，綜上，可得實數(shù)a的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的公式及導數(shù)的應用，解題的關鍵是利用換元將不等式恒成立問題轉化為一元二次不等式恒成立問題，屬于較難題.例26．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標都大于零，則實數(shù)可能的取值（

）A． B．3 C． D．答案：AC【解析】分析：本題先求導函數(shù)并根據(jù)題意建立關于的方程，再根據(jù)根的分布求的取值范圍，最后判斷得到答案即可.【詳解】解：∵，∴，可令切點的橫坐標為，且，可得切線斜率即，由題意，可得關于的方程有兩個不等的正根，且可知，則，即，解得：，所以的取值可能為，.故選：AC.【點睛】本題考查求導函數(shù)，導數(shù)的幾何意義，根的分布，是中檔題.例27．（2023·全國·高三專題練習）若一元二次方程的兩個實根都大于，則的取值范圍____答案：或.【解析】根據(jù)一元二次方程根的分布建立不等式組，解之可得答案.【詳解】由題意得應滿足解得：或.故答案為：或.例28．（2023·全國·高三專題練習）設，若，求證：(Ⅰ)且；(Ⅱ)方程在內有兩個實根.答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.【解析】分析：（Ⅰ）先由條件求得的符號，結合條件可得；（Ⅱ）根據(jù)的符號可得.【詳解】（Ⅰ）因為，所以.由條件，消去，得；由條件，消去，得，.故.（Ⅱ）函數(shù)的頂點坐標為，在的兩邊乘以，得.又因為而又因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以方程在區(qū)間與內分別各有一實根.【方法技巧與總結】解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負，所對應的二次函數(shù)圖象的開口方向.【過關測試】一、單選題1．（2023·河南·南陽中學高三階段練習（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：由一元二次不等式的解法和簡單分式不等式的解法求出集合，然后根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，，所以，故選：D.2．（2023·河北·模擬預測）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：，列出不等式，求出，從而判斷出答案.【詳解】，則要滿足，解得：，因為，但故“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2023·陜西·模擬預測（理））已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由題知，進而分和空集兩種情況討論求解即可.【詳解】解：由題知，因為，所以，當時，，解得，當時，或，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：D4．（2023·重慶南開中學模擬預測）已知函數(shù)，則關于t的不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)關于點成中心對稱，再由基本初等函數(shù)判斷函數(shù)單調性，轉化原不等式后求解即可.【詳解】，圖象關于點成中心對稱，又的定義域為，由在上單調遞增知，在上遞增，，，即，，解得，又，解得，所以.故選：C5．（2023·山西·二模（理））已知集合，，若有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由題知，進而根據(jù)題意求解即可.【詳解】解：因為，，若有2個元素，則或，解得或，所以，實數(shù)的取值范圍是.故選：D．6．（2023·重慶·高三階段練習）若關于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：令，則.對進行討論，即可求出答案.【詳解】令，則.（1）當時，則，令，.故.（2）當時，則，令①當時，，則②當時，，則故（3）當時，則在上恒成立，故.綜上所述：故選：A.7．（2023·江蘇無錫·模擬預測）已知實數(shù)，滿足如下兩個條件：（1）關于的方程有兩個異號的實根；（2），若對于上述的一切實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：首先判斷，再化簡，利用基本不等式求解.【詳解】解：設方程的兩個異號的實根分別為，，則，．又，，，則（當且僅當，時取“”），由不等式恒成立，得，解得．實數(shù)的取值范圍是．故選：A．8．（2023·全國·高三專題練習）已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為A．，， B．，，C．，， D．答案：C【解析】分析：把不等式看作是關于的一元一次不等式，然后構造函數(shù)，由不等式在，上恒成立，得到，求解關于的不等式組得得取值范圍．【詳解】解：令，則不等式恒成立轉化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)可能是A．1 B．2 C．3 D．4答案：ABC【解析】分析：利用換元法令，不等式可整理為在上恒成立，即，即，求函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】設，，則不等式對任意恒成立，即轉化為不等式在上恒成立，即轉化為在上恒成立，由對勾函數(shù)知在上單減，，故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法結合對勾函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最值是解題的關鍵，考查學生的轉化與化歸能力，屬于一般題.10．（2023·江蘇·高三專題練習）已知不等式的解集為，其中，則以下選項正確的有（

）A． B．C．的解集為 D．的解集為或答案：AC【解析】由一元二次不等式的解法，再結合根與系數(shù)的關系逐個分析判斷可得答案【詳解】解：因為不等式的解集為，其中，所以，是方程的兩個根，所以A正確；所以，解得，因為，，所以，又由于，所以，所以B錯誤；所以可化為，即，即，因為，所以，所以不等式的解集為，所以C正確，D錯誤，故選：AC【點睛】關鍵點點睛：此題考查一元二次不等式的解法的應用，解題的關鍵由一元二次不等式的解法可知，且是方程的兩個根，再利用根與系數(shù)的關系得，再求得，從而可求解不等式，考查轉化思想，屬于中檔題11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列命題正確的有（

）A．當時，的解集為B．當時，時，C．且時，D．當時，若，則答案：BC【解析】對于A，分和時求解不等式；對于B，根據(jù)函數(shù)的單調性可判斷；對于C，根據(jù)函數(shù)的單調性，任取兩點，根據(jù)數(shù)形結合的方式可判斷；對于D，構造函數(shù)，看作在y軸右側圖象上的點與原點所在直線的斜率,數(shù)形結合可判斷單調性，即可得出結果.【詳解】對于A，由得，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為，故A錯誤；對于B，時，在上是增函數(shù)，則，即，故B正確；對于C.在上單調遞減，當時，設、，則AB的中點C，又設，數(shù)形結合可知，點D位于點C的下方，即，故C正確；對于D，設，則表示在y軸右側圖象上的點與原點所在直線的斜率,數(shù)形結合可知，是增函數(shù)，當時，，則，即，故D錯誤.故選：BC.【點睛】關鍵點睛：本題考查二次函數(shù)性質的綜合應用，對于CD選項的判斷，關鍵是根據(jù)函數(shù)的單調性，利用數(shù)形結合的方法進行判斷.12．（2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知兩個變量x，y的關系式，則以下說法正確的是（

）A．B．對任意實數(shù)a，都有成立C．若對任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是D．若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是答案：BC【解析】分析：和的值直接代入即可求得，轉化為求二次函數(shù)最大值的問題，若對任意實數(shù)x，不等式恒成立轉化為關于的二次函數(shù)與軸至多有一個交點的問題，若對任意正實數(shù)a，不等式恒成立轉化為關于的一次函數(shù)在內恒大于等于零恒成立的問題.【詳解】對于選項A，，，即，則A選項錯誤；對于選項B，，則B選項正確；對于選項C，恒成立，即恒成立，則，解得,即實數(shù)a的取值范圍是，則C選項正確；對于選項D，恒成立，令，當時，該函數(shù)看成關于的一次函數(shù)，函數(shù)單調遞減，不可能恒大于0，當時，成立，當時，該函數(shù)看成關于的一次函數(shù)，函數(shù)單調遞增，當時，，則實數(shù)的取值范圍是，則D選項錯誤；故選：.三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是_______答案：【解析】根據(jù)不等式的解集可知一元二次不等式所對應的一元二次方程的根，利用韋達定理可求出，的值，再根據(jù)復合函數(shù)求單調區(qū)間的方法，得出單調遞增區(qū)間.【詳解】由題知-2和1是的兩根，由根與系數(shù)的關系知-2+1=，?2×1＝，由不等式的解集為，可知，，則，因為函數(shù)的定義域為，令則該函數(shù)的增區(qū)間為所以的增區(qū)間為故答案為：.14．（2023·浙江·高三專題練習）若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則實數(shù)的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：首先解一元二次不等式，求出不等式的解集，再根據(jù)解集中整數(shù)的情況，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得，所以原不等式的解集為，又解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，所以解得：，即，故答案為：．15．（2023·全國·高三專題練習）若關于的不等式恰有1個正整數(shù)解，則的取值范圍是___________.答案：【解析】分析：先解帶有參數(shù)的一元二次不等式，再對進行分類討論，使得恰有1個正整數(shù)解，最后求出的取值范圍【詳解】不等式等價于.令，解得或