高級中學名校試卷PAGEPAGE2遼寧省沈陽市五校協作體2024屆高三上學期期中數學試題一、單選題1.集合，若且，則滿足條件的集合的個數為（）A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，因為且，所以滿足條件的集合的個數為.故選：C.2.已知函數，設甲：，乙：是偶函數，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，為偶函數，甲是乙的充分條件；若為偶函數，則，則反向無法推出，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A．3.有一天，數學家笛卡爾在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，這樣就可以用一組數表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組有順序的兩個數來表示，這就是我們常用的平面直角坐標系雛形.如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，請利用平面直角坐標系與向量坐標，計算的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為原點，以所在的直線為軸，以過點垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，且分別為的中點，則，可得，可得，則，且，因為即為向量與的夾角，可得.故選：A.4.若等差數列的前項和為，且滿足，對任意正整數，都有，則的值為（

）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗依題意，則；又，則則，且，所以等差數列單調遞減，，且最小.所以若對任意正整數，都有，則有．故選：B．5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，，，∵冪函數在單調遞增，且，∴，即；又∵指數函數在上單調遞減，且，∴，即；又∵指數函數在上單調遞減，且，∴，即；綜上所述，，，的大小關系是.故選：D.6.在正方體中，點為棱上的動點，則與平面所成角的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，連接，則，因為在正方體中，平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．設，，因為，所以，因為，所以，故選：C．7.已知奇函數滿足：，當時，，則下列大小關系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為奇函數，且當時，，，而，所以在上單調遞增，所以時，，時因為所以，由，即關于對稱，又因為為奇函數，所以，所以，所以為的周期，所以，因為所以所以，故選：C.8.如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗延長與雙曲線交于點P＇，因為，根據對稱性知，設，則，，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B.二、多選題9.已知復數，，下列結論正確的有（

）A.若，則B.若，則C.若復數，滿足．則D.若，則的最大值為4〖答案〗BD〖解析〗A：令，，則，但是虛數不能比較大小，錯誤；B：因為，所以，即，則或，所以或，所以，正確；C：設（，），（，），由可得，所以，而，不一定為0，錯誤；D：設，，，因為，所以，即，，所以復數在復平面內所對應的點在圓上，復數在復平面內所對應的點在圓上，因為兩圓的圓心距為，所以兩圓相外切，則兩圓上的兩點的連線段最大值為，正確.故選：BD.10.如果數列滿足（k為常數），那么數列叫做等比差數列，k叫做公比差．下列四個結論中所有正確結論的序號是（

）A.若數列滿足，則該數列是等比差數列；B.數列是等比差數列；C.所有的等比數列都是等比差數列；D.存在等差數列是等比差數列．〖答案〗ACD〖解析〗對A，數列滿足，則，滿足等比差數列的定義，故A正確；對B，數列，，不滿足等比差數列的定義，故B錯誤；對C，設等比數列的公比為，則，滿足等比差數列，故C正確；對D，設等差數列的公差為，則，故當時，滿足，故存在等差數列是等比差數列，即D正確；故選：ACD.11.已知點，在圓上，點在直線上，則（

）A.直線與圓相離B.當時，的最大值是C.當、為圓的兩條切線時，為定值D.當、為圓的兩條切線時，直線過定點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為到直線的距離，即直線與圓相離，A正確；對于B，令的中點為，則，，點在以為圓心，為半徑的圓上，，顯然當在上運動時，無最大值，B不正確；對于C，當、為切線時，，，所以在中，，同理，，故C正確.對于D，設，當、為切線時，，，點、在以為直徑的圓上，此圓的方程為，由圓，作差得直線為，即，即有，解得，所以直線過定點，D正確.故選：ACD.12.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P－ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，，，，則下列結論正確的有（）A.四面體P－ACD是鱉臑 B.陽馬P－ABCD的體積為C.陽馬P－ABCD的外接球表面積為 D.D到平面PAC的距離為〖答案〗BD〖解析〗設，，，由側棱PD⊥底面ABCD，，，，可得，解得即，，．對于A，由，，可得△PAC不是直角三角形，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，將陽馬補形為長為2，寬為1，高為1的長方體，可知其外接球直徑為，故陽馬的外接球半徑，表面積，故C錯誤；對于D，設D到平面的距離為h，由，，可得的面積為，由等體積法，可得，解得，故D正確．故選：BD.三、填空題13.拋物線的準線方程是，則實數___________.〖答案〗〖解析〗拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故〖答案〗為：.14.已知數列中，，若對任意，則數列的前項和______．〖答案〗〖解析〗由，且，可知，則可化為，則有，即是等比數列，且公比為2，首項為，則，所以，即數列的前項和為．故〖答案〗為：.15.已知，，，則_____〖答案〗〖解析〗由，得，得①，由，得，得②，①②得：，即，.故〖答案〗：.16.已知函數，若不等式恒成立，則實數的最大值為_______________．〖答案〗〖解析〗設，可知的定義域為，則，所以為奇函數，因為，可知在上單調遞增，對于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價于對任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取到最小值，可得，所以實數的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數列中，對于任意正整數，，都有且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前2024項和.解：（1）令，則由已知得，即，又因為，故數列是以為首項，為公差的等差數列，即有.（2）因為當時，，故由，故.18.在鈍角中，內角，，的對邊為，，，已知.（1）若，求；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，所以即，即，即,因為，所以，因為，所以，，所以（2）由（1）知，，所以，因為，，所以或，又因為在鈍角中，故，所以，所以為銳角，且，解得，所以由正弦定理可得，令，則，，對應函數為，，所以在為減函數，所以，當趨近于時，趨近于，所以的值域為，即的取值范圍為19.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的瑰寶，中國象棋使用方形格狀棋盤，圓形棋子共有32個，紅黑各有16個棋子，擺動和活動在交叉點上．雙方交替行棋，先把對方的將（帥）將死的一方獲勝，為豐富學生課余生活，現某中學舉辦象棋比賽，經過3輪的篩選，最后剩下甲乙丙三人進行最終決賽．甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙與甲，乙比賽獲勝的概率都為（1）如果甲與乙采用5局3勝制比賽（其中一人勝3局即結束比賽），那么甲勝乙的概率是多少；（2）若第一輪甲與乙比賽，丙輪空；第二輪由丙與第一輪的勝者比賽，敗者輪空；第三輪由第二輪比賽的勝者與第二輪比賽的輪空者比賽，如此繼續下去（每輪都只比賽一局），先勝兩局者獲得冠軍，每場比賽相互獨立且每場比賽沒有平局，求乙獲得冠軍的概率．解：（1）記比三局甲獲勝的概率為，則，比四局甲獲勝的概率為，則，比五局甲獲勝的概率為，則，則甲獲勝的概率為，答：甲勝乙的概率為（2）若第一輪乙勝，則第二輪由乙丙比賽，若第二輪乙勝，則結束比賽，且概率為；若第二輪丙勝，則進入第三輪甲丙比賽，必須甲勝，再進入第四輪由甲乙比賽，并且乙獲勝結束比賽，且概率為；若第一輪甲勝，則第二輪由甲丙比賽，必須丙勝，再進入第三輪由丙乙比賽，必須乙勝，再進入第四輪由甲乙比賽，乙獲勝，結束比賽，且概率為，故乙獲得冠軍的概率為，答：乙獲得冠軍概率為.20.如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點．（1）證明：//平面；（2）若二面角的正切為，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，，連接BO并延長交AC于點M，連接.因為，所以.因為是三棱柱的高，所以面，又面，所以.因為，面，面，所以面，因為面，所以.因為，所以，故為的中點.因為為的中點，所以，又，平，所以平面.（2）解：由（1）可知，為二面角的平面角，因為且二面角的正切為，所以.在中，，所以，則在中，，因為，且根據最小角定理，，，所以，，所以，，，.如圖以，的正方向分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，，，，，所以所以設平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的一個法向量為；又，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.21.已知：平面內的動點P到定點為和定直線距離之比為，（1）求動點P的軌跡曲線C的方程；（2）若直線與曲線C交點為M，N，點，當滿足a時，求證：b.①;②;③直線過定點，并求定點的坐標.④直線的斜率是定值，并求出定值.請在①②里選擇一個填在a處，在③④里選擇一個填在b處，構成一個真命題，在答題卡上陳述你的命題，并證明你的命題.解：（1）設，P到的距離為d，依題意，，則，化簡得，所以動點P的軌跡曲線C的方程是.（2）選①③，當滿足時，求證：直線過定點，并求定點的坐標.由消去并整理得：，，設，于是，由，得，即，整理得，于是，整理得，解得或，當時，直線過點，不符合題意，舍去，當時，直線過點，所以直線過定點，該定點坐標為.選①④，當滿足時，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.由選①③的〖解析〗知，直線繞定點旋轉，其斜率不是定值，則①④構成的命題不是真命題.選②④，當滿足時，求證：直線的斜率是定值，并求出定值.由消去并整理得：，，設，于是，由，得，整理得，，化簡得，解得或，當時，直線過點，不符合題意，舍去，當時，直線的斜率是定值，此定值為.若選②③，當滿足時，求證：直線過定點，并求定點的坐標.由選②④的〖解析〗知，當滿足時，直線的斜率是定值，直線是平行直線，不可能過定點，因此②④構成的命題不是真命題.22.已知函數.（1）求在處的切線方程；（2）求證：；（3）求證：有且僅有兩個零點.（1）解：，，，故在處的切線方程為；（2）證明：先證.令，，設，故在上單調遞增，因為，故在上單調遞減，在上單調遞增，為的極小值也是最小值，故，故成立；再證.令，，令得，故在上單調遞減，在上單調遞增，是的極小值也是最小值，故，故成立.綜上知成立.（3）證明：，設，故在上單調遞增，因，，故根據函數零點存在性定理知存在唯一的，使得，故在上單調遞減，在上單調遞增.因為，故在上存在一個零點0；且又因為，故存唯一使得，因此有且僅有兩個零點.遼寧省沈陽市五校協作體2024屆高三上學期期中數學試題一、單選題1.集合，若且，則滿足條件的集合的個數為（）A.3 B.4 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗，因為且，所以滿足條件的集合的個數為.故選：C.2.已知函數，設甲：，乙：是偶函數，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件〖答案〗A〖解析〗當時，，為偶函數，甲是乙的充分條件；若為偶函數，則，則反向無法推出，所以甲是乙的充分條件但不是必要條件，故選：A．3.有一天，數學家笛卡爾在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拼命琢磨，突然想到，在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，這樣就可以用一組數表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組有順序的兩個數來表示，這就是我們常用的平面直角坐標系雛形.如圖，在△ABC中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，請利用平面直角坐標系與向量坐標，計算的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗以為原點，以所在的直線為軸，以過點垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，因為，且分別為的中點，則，可得，可得，則，且，因為即為向量與的夾角，可得.故選：A.4.若等差數列的前項和為，且滿足，對任意正整數，都有，則的值為（

）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024〖答案〗B〖解析〗依題意，則；又，則則，且，所以等差數列單調遞減，，且最小.所以若對任意正整數，都有，則有．故選：B．5.已知，，，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知，，，∵冪函數在單調遞增，且，∴，即；又∵指數函數在上單調遞減，且，∴，即；又∵指數函數在上單調遞減，且，∴，即；綜上所述，，，的大小關系是.故選：D.6.在正方體中，點為棱上的動點，則與平面所成角的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設，連接，則，因為在正方體中，平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以即為與平面所成角．設，，因為，所以，因為，所以，故選：C．7.已知奇函數滿足：，當時，，則下列大小關系正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為為奇函數，且當時，，，而，所以在上單調遞增，所以時，，時因為所以，由，即關于對稱，又因為為奇函數，所以，所以，所以為的周期，所以，因為所以所以，故選：C.8.如圖，已知，是雙曲線C：的左?右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗延長與雙曲線交于點P＇，因為，根據對稱性知，設，則，，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：B.二、多選題9.已知復數，，下列結論正確的有（

）A.若，則B.若，則C.若復數，滿足．則D.若，則的最大值為4〖答案〗BD〖解析〗A：令，，則，但是虛數不能比較大小，錯誤；B：因為，所以，即，則或，所以或，所以，正確；C：設（，），（，），由可得，所以，而，不一定為0，錯誤；D：設，，，因為，所以，即，，所以復數在復平面內所對應的點在圓上，復數在復平面內所對應的點在圓上，因為兩圓的圓心距為，所以兩圓相外切，則兩圓上的兩點的連線段最大值為，正確.故選：BD.10.如果數列滿足（k為常數），那么數列叫做等比差數列，k叫做公比差．下列四個結論中所有正確結論的序號是（

）A.若數列滿足，則該數列是等比差數列；B.數列是等比差數列；C.所有的等比數列都是等比差數列；D.存在等差數列是等比差數列．〖答案〗ACD〖解析〗對A，數列滿足，則，滿足等比差數列的定義，故A正確；對B，數列，，不滿足等比差數列的定義，故B錯誤；對C，設等比數列的公比為，則，滿足等比差數列，故C正確；對D，設等差數列的公差為，則，故當時，滿足，故存在等差數列是等比差數列，即D正確；故選：ACD.11.已知點，在圓上，點在直線上，則（

）A.直線與圓相離B.當時，的最大值是C.當、為圓的兩條切線時，為定值D.當、為圓的兩條切線時，直線過定點〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為到直線的距離，即直線與圓相離，A正確；對于B，令的中點為，則，，點在以為圓心，為半徑的圓上，，顯然當在上運動時，無最大值，B不正確；對于C，當、為切線時，，，所以在中，，同理，，故C正確.對于D，設，當、為切線時，，，點、在以為直徑的圓上，此圓的方程為，由圓，作差得直線為，即，即有，解得，所以直線過定點，D正確.故選：ACD.12.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在陽馬P－ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，，，，則下列結論正確的有（）A.四面體P－ACD是鱉臑 B.陽馬P－ABCD的體積為C.陽馬P－ABCD的外接球表面積為 D.D到平面PAC的距離為〖答案〗BD〖解析〗設，，，由側棱PD⊥底面ABCD，，，，可得，解得即，，．對于A，由，，可得△PAC不是直角三角形，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，將陽馬補形為長為2，寬為1，高為1的長方體，可知其外接球直徑為，故陽馬的外接球半徑，表面積，故C錯誤；對于D，設D到平面的距離為h，由，，可得的面積為，由等體積法，可得，解得，故D正確．故選：BD.三、填空題13.拋物線的準線方程是，則實數___________.〖答案〗〖解析〗拋物線化為標準方程：，其準線方程是，而所以，即，故〖答案〗為：.14.已知數列中，，若對任意，則數列的前項和______．〖答案〗〖解析〗由，且，可知，則可化為，則有，即是等比數列，且公比為2，首項為，則，所以，即數列的前項和為．故〖答案〗為：.15.已知，，，則_____〖答案〗〖解析〗由，得，得①，由，得，得②，①②得：，即，.故〖答案〗：.16.已知函數，若不等式恒成立，則實數的最大值為_______________．〖答案〗〖解析〗設，可知的定義域為，則，所以為奇函數，因為，可知在上單調遞增，對于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價于對任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取到最小值，可得，所以實數的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知數列中，對于任意正整數，，都有且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，求數列的前2024項和.解：（1）令，則由已知得，即，又因為，故數列是以為首項，為公差的等差數列，即有.（2）因為當時，，故由，故.18.在鈍角中，內角，，的對邊為，，，已知.（1）若，求；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，所以即，即，即,因為，所以，因為，所以，，所以（2）由（1）知，，所以，因為，，所以或，又因為在鈍角中，故，所以，所以為銳角，且，解得，所以由正弦定理可得，令，則，，對應函數為，，所以在為減函數，所以，當趨近于時，趨近于，所以的值域為，即的取值范圍為19.中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的瑰寶，中國象棋使用方形格狀棋盤，圓形棋子共有32個，紅黑各有16個棋子，擺動和活動在交叉點上．雙方交替行棋，先把對方的將（帥）將死的一方獲勝，為豐富學生課余生活，現某中學舉辦象棋比賽，經過3輪的篩選，最后剩下甲乙丙三人進行最終決賽．甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙與甲，乙比賽獲勝的概率都為（1）如果甲與乙采用5局3勝制比賽（其中一人勝3局即結束比賽），那么甲勝乙的概率是多少；（2）若第一輪甲與乙比賽，丙輪空；第二輪由丙與第一輪的勝者比賽，敗者輪空；第三輪由第二輪比賽的勝者與第二輪比賽的輪空者比賽，如此繼續下去（每輪都只比賽一局），先勝兩局者獲得冠軍，每場比賽相互獨立且每場比賽沒有平局，求乙獲得冠軍的概率．解：（1）記比三局甲獲勝的概率為，則，比四局甲獲勝的概率為，則，比五局甲獲勝的概率為，則，則甲獲勝的概率為，答：甲勝乙的概率為（2）若第一輪乙勝，則第二輪由乙丙比賽，若第二輪乙勝，則結束比賽，且概率為；若第二輪丙勝，則進入第三輪甲丙比賽，必須甲勝，再進入第四輪由甲乙比賽，并且乙獲勝結束比賽，且概率為；若第一輪甲勝，則第二輪由甲丙比賽，必須丙勝，再進入第三輪由丙乙比賽，必須乙勝，再進入第四輪由甲乙比賽，乙獲勝，結束比賽，且概率為，故乙獲得冠軍的概率為，答：乙獲得冠軍概率為.20.如圖，是三棱柱的高，，，E是對角線和的交點．（1）證明：//平面；（2）若二面角的正切為，，，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點，連接，，連接BO并延長交AC于點M，連接.因為，所以.因為是三棱柱的高，所以面，又面，所以.因為，面，面，所以面，因為面，所以.因為，所以，故為的中點.因為為的中點，所以，又，平，所以平面.（2）解：由（1）可知，為二面角