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華中師范大學2007–2008學年第一學期期末考試試卷B得分評閱人一、選擇題，請將正確答案的字母填在括號內：（每空5分共20分，）1的跡為（C）A;B;C;D.2．空間中曲面方程為則它是（B）A橢球面;B單葉雙曲面;C雙葉雙曲面;D橢圓拋物面.3下面敘述錯誤的是（C）A.一個階實對稱陣為正定陣的充分必要條件是它的正慣性指數等于;B.一個階實對稱陣為正定陣的充分必要條件是它的所有特征根是正的;C．一個階實對稱陣為正定陣的充分必要條件是它的個順序主子式;D.正定矩陣的合同矩陣也是正定的.4.設,下列是矩陣的特征向量的是:（A）A;B;C;D.得分評閱人二、填空題：（每空5分，共20分）1．已知,為一個次多項式,那么.2．設矩陣,則的伴隨矩陣的三個特征為.3．空間上的仿射坐標變換公式為:.4.空間上的二次曲面方程為:,那么它的歐式不變量為:.得分評閱人三、計算題：（每題12分，共24分）用歐式坐標變化化平面二次曲線:為標準形.2.二次型,求:(i)寫出二次型對應的實對稱矩陣;(ii)求可逆矩陣,使得為實對稱矩陣的標準形;(iii)求以上二次型的正、負慣性指數,并判定二次型的正、負定性.解：(i)(ii)下面用合同變換化該是對稱矩陣為標準型如下：故.(iii)正慣性指數是1，負慣性指數是2，此二次型既非正定亦非負定.得分評閱人四、簡答題與證明題：（每題8分，共24分）1．證明:沒有重因式.證：所以因此沒有重根.2．設,求極小多項式,并且證明可逆.解：3．設為階正定矩陣,設是矩陣方程的唯一解.證明:(1)是對稱矩陣;(2)是正定矩陣.得分評閱人五、證明題：（每題12分，共12分）設為階實可逆矩陣,證明:(i)存在正交矩陣和上三角矩陣使得;(ii)存在一個三角矩陣使得.證：把的個列向量記作，則它們是線性無關向量組（是的基底）對他們做正交化：再做標準化：以為列向量做矩陣則是正交矩陣。由（1）式得出每個是的線性組合，逐步遞推就知道每個是的線性組合，及存在實數

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