8.6.1直線與直線垂直新課程標準解讀核心素養1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關系邏輯推理2.會求兩異面直線所成的角直觀想象知識梳理·讀教材01題型突破·析典例02知能演練·扣課標03目錄CONTENTS01知識梳理·讀教材?

?

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與B1C1異面，AB與B1D1也異面.問題

（1）直觀上，你認為這兩種異面有什么區別？（2）如果要利用角的大小來區分這兩種異面，你認為應該怎樣做？

?

?

?知識點一

異面直線所成的角1.已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線

a'與b'

?所成的角α叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.2.空間兩條直線所成角α的取值范圍是

0°≤α≤90°

?.提醒

（1）兩條異面直線所成的角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點O的位置選取無關；（2）找出兩條異面直線所成的角，要作平行移動（作平行線），把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角.a'與b'

0°≤α≤90°

知識點二直線與直線垂直如果兩條異面直線所成的角是

直角?，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a

⊥

?b.提醒

兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和異面垂直兩種情形.直角⊥

?

?1.設a，b，c是三條直線，且c⊥a，c⊥b，則a和b（

）A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能解析：如圖，若DD1＝c，D1C1＝a，A1D1＝b，則a和b相交；若DD1＝c，D1C1＝a，AD＝b，則a和b異面；若DD1＝c，D1C1＝a，DC＝b，則a和b平行，所以空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面.故選D.2.設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線（

）A.有無數條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條解析：過點P且與l成30°角的異面直線有無數條，并且異面直線在以P為頂點的圓錐的側面上.故選A.3.若∠AOB＝120°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a和OB所成的角的大小為

?.

解析：因為a∥OA，根據等角定理，又因為異面直線所成的角為銳角或直角，所以a與OB所成的角為60°.答案：60°02題型突破·析典例?

?題型一求異面直線所成的角【例1】在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成角為30°，E，F分別為BC，AD的中點，求EF與AB所成角的大小.解如圖所示，取AC的中點G，連接EG，FG，

由AB＝CD知EG＝FG，從而可知∠GEF為EF與AB所成的角，∠EGF或其補角為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成角為30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°，當∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°，故EF與AB所成角的大小為15°或75°.通性通法求兩異面直線所成角的一般步驟（1）構造角：根據異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關角；（2）計算角：求角度，常利用三角形；（3）確定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.提醒

找異面直線所成的角，可以從如下“口訣”入手：中點、端點定頂點，平移常用中位線；平行四邊形中見，指出成角很關鍵；求角構造三角形，銳角、鈍角要明辨；平行直線若在外，補上原體在外邊.?

?1.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為（

）

2.如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：（1）BE與CG所成的角；解：（1）∵CG∥FB，∴∠EBF是異面直線BE與CG所成的角.在Rt△EFB中，EF＝FB，∴∠EBF＝45°，∴BE與CG所成的角為45°.（2）FO與BD所成的角.解：（2）如圖，連接FH，易知FB＝HD，FB∥HD，∴四邊形FBDH是平行四邊形，∴BD∥FH，∴∠HFO或其補角是FO與BD所成的角，連接HA，AF，則△AFH是等邊三角形，又O是AH的中點，∴∠HFO＝30°，∴FO與BD所成的角為30°.題型二證明直線與直線垂直【例2】在正方體AC1中，E，F分別是A1B1，B1C1的中點，求證：DB1⊥EF.證明

如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G.則OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角.∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°，即DB1⊥EF.通性通法證明空間中兩條直線垂直的方法（1）定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直；（2）平面幾何圖形性質法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三角形（等邊三角形）底邊的中線和底邊垂直等.?

?在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1.證明：如圖，連接A1B，設A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，則AB2＝a2＋b2.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，

則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.又因為AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，所以AC⊥BC1.?

?1.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線與B1D1垂直的是（

）A.BC1B.A1DC.ACD.BC解析：連接BD（圖略），∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∵B1D1∥BD，∴AC⊥B1D1.故選C.

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.（多選）四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，下列說法正確的是（

）A.MN與PD是異面直線B.MN∥平面PBCC.MN∥ACD.MN⊥PB解析：由題意可知四棱錐P-ABCD所有棱長都相等，M，N分別為PA，CD的中點，MN與PD是異面直線，A正確；取PB的中點為H，連接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正確；因HC∩AC＝C，C不正確；因為HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正確.故選A、B、D.4.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角大小為

?.

解析：連接BC1，A1C1（圖略），∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故異面直線A1B與AD1所成的角為60°.答案：60°03知能演練·扣課標1.若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b∥c，則直線a與c（）A.一定平行B.一定垂直C.一定是異面直線D.一定相交解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2.在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A.2條B.4條C.6條D.8條解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條.故選D.

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（多選）如圖是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，給出下列四個結論，其中正確的是（

）A.AB與CD所在直線垂直B.CD與EF所在直線平行C.AB與MN所在直線成60°角D.MN與EF所在直線異面解析：畫出原正方體如圖所示，連接DN，DM，由圖可知A、B錯誤；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN為等邊三角形，所以C中，AB與MN所在直線成60°角是正確的；顯然D中，MN與EF所在直線異面是正確的.故選C、D.6.（多選）如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列結論正確的是（

）A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝CDD.異面直線PM與BD所成的角為45°解析：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM，又MN?平面DAC，PQ?平面DAC，所以PQ∥平面DAC，又PQ?平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN，因為AC?截面PQMN，MN?截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正確；同理可證PN∥BD∥MQ，因為PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正確；又∠PMQ＝45°，所以異面直線PM與BD所成的角為45°，故D正確；AC和CD不一定相等，故C錯誤.故選A、B、D.7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是A1D1和BC的中點，則在長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有

?條.

解析：長方體所有的棱中和EF垂直且異面的有AD，B1C1，共2條.答案：28.已知四面體A-BCD的棱都相等，G為△ABC的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為

?.

解析：連接B1C，取B1C的中點E，連接DE，BE，

10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝B1B＝1，M，N分別是AD，DC的中點.（1）求證：MN∥A1C1；解：（1）證明：連接AC，∵M，N分別為AD，DC的中點，∴MN∥AC且AC∥A1C1，∴MN∥

A1C1.（2）求異面直線MN與BC1所成角的余弦值.

11.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現將△DAP繞直線DP翻轉至△DA'P處，如圖所示，若M為線段A'C的中點，則異面直線BM與PA'所成角的正切值為（

）B.2D.4

12.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，A1D1的中點，O為正方形A1B1C1D1的中心，則下列說法正確的是（

）A.直線EF，AO共面B.直線EF，BB1是相交直線C.直線EF與BC1所成的角為30°

13.在四面體A-BCD中，E，F分別是AB，CD的中點.若BD，AC所成的角為60°，且B