中南高校現代遠程教化課程考試（專科）復習題與參考答案《高等數學》（專科）一、填空題1．函數的定義域是.解.。2．若函數，則 ．解.3．答案：1正確解法：4.已知，則_____,_____。由所給極限存在知,,得,又由,知5.已知，則_____,_____。,即,6．函數的間斷點是。解：由是分段函數，是的分段點，考慮函數在處的連續性。因為所以函數在處是間斷的，又在和都是連續的，故函數的間斷點是。7.設,則8．，則。答案：或9．函數的定義域為。解：函數z的定義域為滿意下列不等式的點集。 的定義域為：且}10．已知,則.解令，，則，，11．設,則。∵。12．設則＝

。解13..解：由導數與積分互為逆運算得，.14.設是連續函數，且，則.解：兩邊對求導得，令，得，所以.15．若，則。答案：∵∴16．設函數f(x,y)連續，且滿意，其中則f(x,y)=______________.解記，則，兩端在D上積分有：，其中（由對稱性），即，所以，17．求曲線所圍成圖形的面積為，（a>0）解：18.；解：令，則原冪級數成為不缺項的冪級數，記其各項系數為，因為，則，故.當時，冪級數成為數項級數，此級數發散，故原冪級數的收斂區間為.19．的滿意初始條件的特解為.20．微分方程的通解為.21．微分方程的通解為.22.設n階方陣A滿意|A|=3，則=||=.答案：23.是關于x的一次多項式，則該多項式的一次項系數是.答案：2;24.f(x)=是次多項式，其一次項的系數是。解：由對角線法則知，f(x)為二次多項式，一次項系數為4。25.A、B、C代表三事務，事務“A、B、C至少有二個發生”可表示為AB+BC+AC.26.事務A、B相互獨立，且知則.解：∵A、B相互獨立，∴P(AB)=P(A)P(B)∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.627.A，B二個事務互不相容，則.解：A、B互不相容，則P(AB)=0，P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.828.對同一目標進行三次獨立地射擊，第一、二、三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7,則在三次射擊中恰有一次擊中目標的概率為.解：設A、B、C分別表示事務“第一、二、三次射擊時擊中目標”，則三次射擊中恰有一次擊中目標可表示為，即有P()=P(A)=0.3629.已知事務A、B的概率分別為P（A）＝0.7,P（B）＝0.6,且P（AB）＝0.4，則P（）＝；P（）＝；解：P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.9P(A–B)=P(A)–P(AB)=0.7–0.4=0.330.若隨機事務A和B都不發生的概率為p，則A和B至少有一個發生的概率為.解：P(A+B)=1–P二、單項選擇題1．函數（）A.是奇函數；B.是偶函數；C.既奇函數又是偶函數；D.是非奇非偶函數。解：利用奇偶函數的定義進行驗證。所以B正確。2．若函數，則（）A.；B.；C.；D.。解：因為，所以則，故選項B正確。3．設，則=（）．A．xB．x+1C．x+2D．x解由于，得＝將代入，得=正確答案：D4．已知，其中,是常數，則（）(A),(B)(C)(D)解.,答案：C5．下列函數在指定的改變過程中，（）是無窮小量。A.；B.；C.；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A,C,D三個選項中的極限都不為0，故選項B正確。6．下列函數中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數是（）(A);(B);(C)；(D)解.,故不選(A).取,則,故不選(B).取,則,故不選(D).答案：C7．設，則在處（ ）A．連續且可導 B．連續但不行導C．不連續但可導 D．既不連續又不行導解：（B），，因此在處連續，此極限不存在從而不存在，故不存在8．曲線在點（1，0）處的切線是（）．A． B．C． D．解由導數的定義和它的幾何意義可知，是曲線在點（1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即正確答案：A9．已知，則=（）．A.B.C.D.6解干脆利用導數的公式計算：,正確答案：B10．若，則（）。A．B．C．D．答案：D先求出，再求其導數。11．的定義域為（）．A．

B．C．

D．解z的定義域為}個，選D。12.下列極限存在的是（）（A）（B）（C）（D）解A.當P沿時，，當P沿直線時，，故不存在；B.，不存在；C.如推斷題中1題可知不存在；D.因為，所以，選D13.若，在內（）.（A）（B）（C）（D）解：14．設為奇函數，且時，則在上的最大值為（ ）A． B．C． D．解：（B）因為是奇函數，故，兩邊求導，從而，設，則，從而，所以在[-10，-1]上單調增加，故最大值為15．函數()(A)、有極大值8（B）、有微小值8（C）無極值（D）有無極值不確定解，，，為極大值（A）15.設（）.（A）依靠于 （B）依靠于（C）依靠于，不依靠于 （D）依靠于，不依靠于解：依據周期函數定積分的性質有,17.曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積為（）.（A）（B）（C）（D）解：所求旋轉體的體積為故應選(B).18.設，，，則有（）.（A） （B）（C） （D）解：利用定積分的奇偶性質知，，，所以，故選（D）.19．下列不定積分中，常用分部積分法的是（）。A．B．C．D．答案：B。20．設，則必有（）（A）I>0(B)I<0(C)I=0（D）I0的符號位不能確定解：D：21．設f(t)是可微函數，且f(0)=1，則極限（）()（A）等于0（B）等于(C)等于+（D）不存在且非C）解：由極坐標，原極限22.設函數項級數，下列結論中正確的是().（A）若函數列定義在區間上，則區間為此級數的收斂區間（B）若為此級數的和函數，則余項，（C）若使收斂，則全部都使收斂（D）若為此級數的和函數，則必收斂于解：選（B）.23.設為常數，則級數（）.（A）肯定收斂 （B）條件收斂 （C）發散 （D）斂散性與有關解：因為，而收斂，因此原級數肯定收斂.故選（A）.24.若級數在時發散，在處收斂，則常數（）.（A）1（B）-1（C）2（D）2解：由于收斂，由此知.當時，由于的收斂半徑為1，因此該冪級數在區間內收斂，特殊地，在內收斂，此與冪級數在時發散沖突，因此.故選（B）.25.的特解可設為（）（A）（B）（C）（D）解：C26.微分方程的階數是指（）（A）方程中未知函數的最高階數；（B）方程中未知函數導數或微分的最高階數；（C）方程中未知函數的最高次數；（D）方程中函數的次數.解：B27.下面函數()可以看作某個二階微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）解：C28.A、B均為n階可逆矩陣，則A、B的伴隨矩陣=（）.（A）；（B）；（C）（D）；解答：D29.設A、B均為n階方陣，則必有[]。(A)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA(C)|AB|=|BA|(D)(A+B)–1=A–1+B–1解：正確答案為(C)30.A,B都是n階矩陣,則下列各式成立的是（）（A）（B）（C）（D）解答：B31.在隨機事務A，B，C中，A和B兩事務至少有一個發生而C事務不發生的隨機事務可表示為（）（A）（B）（C）（D）解由事務間的關系與運算知，可選（A）32.袋中有5個黑球，3個白球，大小相同，一次隨機地摸出4個球，其中恰有3個白球的概率為（）（A）（B）（C）（D）解基本領件總數為，設A表示“恰有3個白球”的事務，A所包含的基本領件數為=5，故P(A)=，故應選（D）。33.已知，且,則下列選項成立的是（）（A）;（B）（C）（D）解由題可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2故應選（C）。三、解答題1.設函數問（1）為何值時，在處有極限存在？（2）為何值時，在處連續？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因為所以，當時，有成立，即時，函數在處有極限存在，又因為函數在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時可以取隨意值。（2）依函數連續的定義知，函數在某點處連續的充要條件是于是有，即時函數在處連續。2．已知，試確定和的值解.,,即,故3．設，求的間斷點，并說明間斷點的所屬類型解.在內連續,,,,因此,是的其次類無窮間斷點;,因此是的第一類跳動間斷點.4．求方程中是的隱函數的導數（1）,解：方程兩邊對自變量求導，視為中間變量，即整理得（2）設，求，；解： ，5．設由方程所確定,求.解:設,,,,,,.6．設函數在[0,1]上可導，且，對于（0,1）內全部x有證明在（0,1）內有且只有一個數x使.7.求函數的單調區間和極值.解函數的定義域是令，得駐點，-20+0-0+極大值微小值故函數的單調增加區間是和，單調削減區間是與，當-2時，極大值；當0時，微小值.8.在過點的全部平面中,求一平面,使之與三個坐標平面所圍四面體的體積最小.解:設平面方程為,其中均為正,則它與三坐標平面圍成四面體的體積為,且,令,則由,求得.由于問題存在最小值,因此所求平面方程為,且.9．求下列積分(1)解：極限不存在，則積分發散.(2)解是D上的半球面，由的幾何意義知I=V半球=(3)，D由的圍成。解關于x軸對稱，且是關于y的奇函數，由I幾何意義知，。4．判別級數（常數）的斂散性.假如收斂，是肯定收斂還是條件收斂解：由，而，由正項級數的比較判別法知，與同時斂散.而收斂，故收斂，從而原級數肯定收斂.4．判別級數的斂散性.假如收斂，是肯定收斂還是條件收斂解：記，則.顯見去掉首項后所得級數仍是發散的，由比較法知發散，從而發散.又顯見是Leibniz型級數，它收斂.即收斂，從而原級數條件收斂.4．求冪級數在收斂區間上的和函數：解：，所以.又當時，級數成為，都收斂，故級數的收斂域為.設級數的和函數為，即.再令，逐項微分得，，，，，，故，又明顯有，故5．求解微分方程(1)的全部解.解原方程可化為，（當），兩邊積分得，即為通解。當時，即，明顯滿意原方程，所以原方程的全部解為與。(2)解當時，原方程可化為，令，得，原方程化為，解之得；當時，原方程可化為，類似地可解得。綜合上述，有。(3)解由公式得。三、求解下列各題

1．計算下列行列式：（.2），解：（3）解：3．設矩陣A，B滿意矩陣方程AX＝B，其中，,求X．解法一：先求矩陣A的逆矩陣．因為