復(fù)習(xí)：第1頁(yè)單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換Fourier變換與逆變換性質(zhì)

第2頁(yè)7.1.3單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換在物理和工程技術(shù)中,經(jīng)常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象含有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受含有脈沖性質(zhì)電勢(shì)作用后產(chǎn)生電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后運(yùn)動(dòng)情況等.研究這類(lèi)問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹單位脈沖函數(shù).第3頁(yè)在原來(lái)電流為零電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量脈沖,現(xiàn)在要確定電路上電流i(t).以q(t)表示上述電路中電荷函數(shù),則當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,因?yàn)閝(t)是不連續(xù),從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù).第4頁(yè)假如我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下函數(shù)類(lèi)中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這么電流強(qiáng)度.為了確定這么電流強(qiáng)度,引進(jìn)一稱(chēng)為狄拉克(Dirac)函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)量,比如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)質(zhì)量及脈沖技術(shù)中非常窄脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布量那樣,以統(tǒng)一方式加以處理.第5頁(yè)de(t)1/eeO工程上將d-函數(shù)稱(chēng)為單位脈沖函數(shù)。第6頁(yè)可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1有向線段表示,這個(gè)線段長(zhǎng)度表示d-函數(shù)積分值.tOd(t)1d-函數(shù)有性質(zhì)：第7頁(yè)二、d-函數(shù)傅氏變換為:于是d(t)與常數(shù)1組成了一傅氏變換對(duì).證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例1證實(shí)：1和2pd(w)組成傅氏變換對(duì).證法1：第8頁(yè)由上面兩個(gè)函數(shù)變換可得第9頁(yè)稱(chēng)這種方式

Fourier

變換是一個(gè)廣義Fourier變換。在函數(shù)

Fourier

變換中，其廣義積分是依據(jù)函數(shù)注性質(zhì)直接給出，而不是經(jīng)過(guò)通常積分方式得出來(lái)，第10頁(yè)比如常數(shù),符號(hào)函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們廣義傅氏變換也是存在,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就能夠求出它們傅氏變換.在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多主要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中絕對(duì)可積條件,即不滿足條件第11頁(yè)例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t傅氏變換。tpp-w0w0Ow|F(w)|

第12頁(yè)例5證實(shí)：證：第13頁(yè)第14頁(yè)7.2Fourier變換與逆變換性質(zhì)

這一講介紹傅氏變換幾個(gè)主要性質(zhì),為了敘述方便起見(jiàn),假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換函數(shù)都滿足傅氏積分定理中條件,在證實(shí)這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.1.線性性質(zhì):第15頁(yè)2.位移性質(zhì):證實(shí)：

第16頁(yè)推論：證實(shí)：

第17頁(yè)例1解：第18頁(yè)3.相同性：證實(shí)：第19頁(yè)4.微分性：

第20頁(yè)5.積分性：

6.帕塞瓦爾(Parserval)等式第21頁(yè)實(shí)際上,只要知道下面五個(gè)傅里葉變換,則很多傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換性質(zhì)導(dǎo)出.第22頁(yè)例2利用傅氏變換性質(zhì)求d(t-t0),第23頁(yè)例3若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏變換。第24頁(yè)卷積定義：卷積基本運(yùn)算規(guī)律：一、卷積定義及運(yùn)算規(guī)律說(shuō)明：第25頁(yè)例1

求以下函數(shù)卷積：解：第26頁(yè)第27頁(yè)例1

求以下函數(shù)卷積：由卷積定義有第28頁(yè)二、卷積定理：（可用于化簡(jiǎn)卷積運(yùn)