第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.3空間向量的數(shù)量積運算課后篇鞏固提升1.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke14e2,a⊥b,則實數(shù)k的值為()A.6 B.6 C.3 D.3解析由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke14e2)=0,∴2k12=0,∴k=6.答案B2.如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,DC的中點,則FG·AB=(A.34 B.14 C.12解析由題意可得,FG=12AC,∴FG·AB=12AC·AB=答案B3.設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(DB+DC2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析因為DB+DC2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.答案B4.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,則以下等式中可能不成立的是()A.DA·PB=0 B.PCC.PD·AB=0 D.PA解析選項A,DA⊥ABDA⊥PAPA?AB=A?DA⊥平面PAB?DA⊥PB?DA·PB=0;選項C,同選項A知AB·PD=0;選項D,PA⊥平面ABCD?PA⊥CD?又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故選B.答案B5.已知空間四邊形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,則AB與CD所成的角是()A.30° B.45° C.60° D.90°解析根據(jù)已知∠ACD=∠BDC=90°,得AC·CD∴AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+|CD∴cos<AB,CD>=∴AB與CD所成的角為60°.答案C6.已知空間向量a,b滿足|a|=|b|=1,且a,b的夾角為π3,O為空間直角坐標(biāo)系的原點,點A,B滿足OA=2a+b,OB=3ab,則△OAB的面積為(A.523 B.543 C.解析|OA|=(2|OB|=(3則cos∠AOB=OA·從而有sin∠AOB=1-所以△OAB的面積S=12|OA||OB|sin∠AOB=12答案B7.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,則a·b+b·c+c·a的值為.

解析由a+b+c=0兩邊平方得(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,a·b+b·c+c·a=a2+b2+答案138.四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱長均為1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,則點B與點D1兩點間的距離為.

解析∵四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱長均為1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,∴BD∴BD12=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BA·AD+2BA·DD1+2AD·DD1=1+1+1+∴|BD1|=2.∴點B與點D1兩點間的距離為答案29.在平行四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的長.解因為PC=所以|PC|2=PC2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||DC|cos120°=611210.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為D1C1的中點,試求A1C解設(shè)正方體的棱長為1,AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a