2024年高考第二次模擬考試高三數學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A． B． C．,或 D．2.已知復數（，且），且為純虛數，則（）A．1 B． C． D．3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．4.“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5.有甲、乙等五人到三家企業去應聘，若每人至多被一家企業錄用，每家企業至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業錄用，則不同的錄用情況種數是（）A．60B．114C．278 D．336 6.已知：，點，若上總存在，兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7.已知中，，，是邊上的動點．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結論正確的是（）A．的最小值是6 B．若點，則的最小值是4C． D．若，則直線的斜率為10.已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（）A．若的兩條漸近線相互垂直，則B．若的離心率為，則的實軸長為C．若，則D．當變化時，周長的最小值為11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（）A．與是異面直線B．存在點，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點到平面的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若二項式的展開式中二項式系數之和為64，則二項展開式中系數最大的項為13.若函數的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實數是__________.14.若過點的直線自左往右交拋物線及圓于四點，則的最小值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數列的前n項和為，且對于任意的都有．（1）求數列的通項公式；（2）記數列的前n項中的最大值為，最小值為，令，求數列的前20項和．16．（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節省裝飾及后期維護的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數量的數據，數據如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數量發生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內更換的燈珠數量，n表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數量.（1）求的分布列；（2）若滿足的n的最小值為，求；（3）在燈帶安全使用壽命期內，以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據，比較與哪種方案更優.17．（15分）如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.18．（17分）已知函數．(1)若直線與函數的圖象相切，求實數a的值；(2)若函數有兩個極值點和，且，證明：．（e為自然對數的底數）．19．（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點Q,P的距離之比是一個常數，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為,定點分別為橢圓的右焦點與右頂點A,且橢圓C的離心率為(1)求橢圓的標準方程；(