離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.(2)理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.(3)理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念,能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問題2019課標(biāo)Ⅱ,13,5分離散型隨機(jī)變量的均值計(jì)算利用頻率估計(jì)概率★★★2019課標(biāo)Ⅰ,21,12分求離散型隨機(jī)變量的分布列數(shù)列2018課標(biāo)Ⅰ,20,12分利用期望進(jìn)行決策二項(xiàng)分布的均值、導(dǎo)數(shù)2017課標(biāo)Ⅲ,18,12分離散型隨機(jī)變量的分布列、期望利用頻率估計(jì)概率2.離散型隨機(jī)變量的均值與方差2016課標(biāo)Ⅰ,19,12分求離散型隨機(jī)變量的分布列,利用期望進(jìn)行決策利用相互獨(dú)立事件的概率公式求概率分析解讀本節(jié)內(nèi)容常以實(shí)際問題為背景,考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差,解題時要熟悉相關(guān)公式的應(yīng)用.考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.多以解答題的形式呈現(xiàn),分值約為12分.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列(2019廣東汕頭一模,5)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P84m1則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.23 B.1 C.3答案B考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)模擬,8)已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若0<x<A.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而增大B.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而增大C.E(ξ)隨著x的增大而減小,D(ξ)隨著x的增大而減小D.E(ξ)隨著x的增大而增大,D(ξ)隨著x的增大而減小答案C2.(2018河南南陽一中第七次考試,14)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測,直至能確定所有次品為止,記檢測的次數(shù)為ξ,則E(ξ)=.

答案7煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差的求法(2018天津,16,13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.解析本題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人.(2)(i)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=C4所以,隨機(jī)變量X的分布列為X0123P112184隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×4(ii)設(shè)事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B∪C,且B與C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67所以,事件A發(fā)生的概率為67導(dǎo)師點(diǎn)睛超幾何分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到某類個體的個數(shù).超幾何分布的特點(diǎn):(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體,考察某類個體個數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.方法2利用期望與方差進(jìn)行決策的方法(2020屆四川成都雙流中學(xué)10月月考,19)甲、乙兩品牌計(jì)劃入駐某商場,該商場批準(zhǔn)兩個品牌先進(jìn)場試銷5天.兩品牌提供的返利方案如下:甲品牌無固定返利,賣出10件以內(nèi)(含10件)的產(chǎn)品,每件產(chǎn)品返利5元,超出10件的部分每件返利7元;乙品牌每天固定返利20元,且每賣出一件產(chǎn)品再返利3元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩家品牌在試銷期間的銷售件數(shù)的莖葉圖如下:甲乙667069201322(1)現(xiàn)從乙品牌試銷的5天中隨機(jī)抽取3天,求這3天的銷售量中至少有一天低于10的概率;(2)若將頻率視作概率,回答以下問題:①記甲品牌的日返利額為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;②商場擬在甲、乙兩品牌中選擇一個長期銷售,如果僅從日返利額的角度考慮,請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為商場做出選擇,并說明理由.解析本題考查古典概型概率的計(jì)算,隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.(1)解法一:設(shè)事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機(jī)抽取3天,這3天的銷售量中至少有一天低于10”,則P(A)=C21C解法二:設(shè)事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機(jī)抽取3天,這3天的銷售量中至少有一天低于10”,則事件A為“從乙品牌試銷的5天中隨機(jī)抽取3天,這3天的銷售量都不低于10”,則P(A)=1-P(A)=1-C33C53(2)①設(shè)甲品牌的日銷售量為隨機(jī)變量ξ,則甲品牌的日返利額X(單位:元)與ξ的關(guān)系為X=5ξ故X的分布列為X30355064P2111所以E(X)=30×25+35×15+50×15②解法一:設(shè)乙品牌的日銷售量為隨機(jī)變量η,乙品牌的日返利額Y(單位:元)與η的關(guān)系為Y=20+3η,且η的分布列為η691213P1121所以E(η)=6×15+9×15+12×25則E(Y)=E(3η+20)=3E(η)+20=3×10.4+20=51.2.因?yàn)橐移放频娜掌骄道~大于甲品牌的日平均返利額,所以如果僅從日返利額的角度考慮,商場應(yīng)選擇乙品牌長期銷售.解法二:乙品牌的日返利額Y(單位:元)的取值集合為{38,47,56,59},分布列為Y38475659P1121則E(Y)=38×15+47×15+56×25因?yàn)橐移放频娜掌骄道~大于甲品牌的日平均返利額,所以如果僅從日返利額的角度考慮,商場應(yīng)選擇乙品牌長期銷售.【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1.(2019課標(biāo)Ⅰ,21,12分)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈,則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時,最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.解析本題主要考查概率與數(shù)列的綜合,考查離散型隨機(jī)變量的分布列,等比數(shù)列的判定及累加法的應(yīng)用,考查學(xué)生靈活運(yùn)用概率與數(shù)列知識去分析、解決實(shí)際問題的能力,綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.(1)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列為X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)證明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因?yàn)閜1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-1由于p8=1,故p1=34所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13pp4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=1257試題分析本題以試驗(yàn)新藥療效為背景,命制了一個概率與數(shù)列的綜合性問題,試題很新穎,創(chuàng)新度高,考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.本題層次分明,內(nèi)容豐富,區(qū)分度較高,使不同學(xué)生的理性思維的廣度和深度得到了充分展示.2.(2017課標(biāo)Ⅲ,18,12分)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?解析本題考查隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望.(1)由題意知,X所有可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=36P(X=500)=25+7+490因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4(2)由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時,若最高氣溫不低于25,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.當(dāng)200≤n<300時,若最高氣溫不低于20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元.名師點(diǎn)撥求離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差需過四關(guān):①“題目的理解關(guān)”.要抓住題中關(guān)鍵字句,盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型.②“隨機(jī)變量的取值關(guān)”.準(zhǔn)確無誤地找出隨機(jī)變量的所有可能取值.③“事件的類型關(guān)”.概率問題中的事件涉及等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件等,在計(jì)算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類型.④“概率的運(yùn)算關(guān)”.運(yùn)用公式P(A)=mn,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=P(A)·P(B),P(ξ=k)=Cnkpk(1-p)考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2019課標(biāo)Ⅱ,13,5分)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì),在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為.

答案0.982.(2018課標(biāo)Ⅰ,20,12分)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是不是不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0;(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求EX;(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?解析(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C20令f'(p)=0,得p=0.1,當(dāng)p∈(0,0.1)時,f'(p)>0;當(dāng)p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列(2019北京,17,13分)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.解析本題主要考查用樣本分布估計(jì)總體分布,離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,以實(shí)際生活為背景考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,滲透了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng),體現(xiàn)了應(yīng)用與創(chuàng)新意識.(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為40100(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于1000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨(dú)立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+1所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CD∪CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=1C303答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.思路分析(1)由頻率=頻數(shù)樣本容量即可求解相應(yīng)頻率,進(jìn)而用頻率估計(jì)概率.(2)僅使用A,且支付金額大于1000元的概率P=9+330=0.4,僅使用B,且支付金額大于1000元的概率P=14+1(3)開放性題目,從事件發(fā)生的概率說明理由即可.本題以移動支付的出現(xiàn)及普及為背景來設(shè)計(jì)問題,樣本數(shù)據(jù)來源于學(xué)生熟悉的情景,不僅使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性,同時也體現(xiàn)了人們生活方式的巨大變化.第(3)問結(jié)合古典概型考查概率的意義,體會統(tǒng)計(jì)中的決策思想.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差(2017北京,17,13分)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“*”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ);(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解析本題考查古典概型,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,方差等知識.(1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為1550(2)由題圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C22C42=16,P(ξ=1)=C2所以ξ的分布列為ξ012P121故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.方法總結(jié)①在求解離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望時,先確定隨機(jī)變量的取值及各個取值對應(yīng)的概率,利用期望的公式求其數(shù)學(xué)期望;②在比較數(shù)據(jù)的方差時,可以根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的集中或分散程度進(jìn)行比較.C組教師專用題組考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列1.(2019江蘇,23,10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1),(n,1)},Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪Cn.從集合Mn中任取兩個不同的點(diǎn),用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.(1)當(dāng)n=1時,求X的概率分布;(2)對給定的正整數(shù)n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).解析本題主要考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識,考查邏輯思維能力和推理論證能力.滿分10分.(1)當(dāng)n=1時,X的所有可能取值是1,2,2,5.X的概率分布為P(X=1)=7C62=715,P(X=2)=P(X=2)=2C62=215,P(X=5)=(2)設(shè)A(a,b)和B(c,d)是從Mn中取出的兩個點(diǎn).因?yàn)镻(X≤n)=1-P(X>n),所以僅需考慮X>n的情況.①若b=d,則AB≤n,不存在X>n的取法;②若b=0,d=1,則AB=(a-c)2③若b=0,d=2,則AB=(a-c)2+4≤④若b=1,d=2,則AB=(a-c)2綜上,當(dāng)X>n時,X的所有可能取值是n2+1和P(X=n2+1)=4C2n因此,P(X≤n)=1-P(X=n2+1)-P(X=n22.(2017山東,18,12分)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗(yàn)的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.解析本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列,期望.(1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)=C84C(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65CP(X=1)=C64CP(X=2)=C63CP(X=3)=C62CP(X=4)=C61C因此X的分布列為X01234P151051X的數(shù)學(xué)期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521解后反思(1)求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟:①理解X的含義,寫出X所有可能的取值.②求X取每個值時的概率;③寫出X的分布列.(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量取各個值時對應(yīng)的概率,在求解時,要注意應(yīng)用計(jì)數(shù)原理,古典概型概率公式等知識.3.(2015四川,17,12分)某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽,設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為C33C43C6(2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31C33C6P(X=3)=C33C所以X的分布列為X123P131因此,X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×4.(2015重慶,17,13分)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”,則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)=C21C(2)X的所有可能值為0,1,2,且P(X=0)=C83C103=7P(X=2)=C22C綜上知,X的分布列為X012P771故E(X)=0×715+1×715+2×1155.(2013課標(biāo)Ⅱ,19,12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如下圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品,以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,T(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.(1)將T表示為X的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的數(shù)學(xué)期望.解析(1)當(dāng)X∈[100,130)時,T=500X-300(130-X)=800X-39000,當(dāng)X∈[130,150]時,T=500×130=65000.所以T=800(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.思路分析(1)經(jīng)分段討論(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函數(shù)解析式.(2)先求出利潤T不少于57000元時X的范圍,然后根據(jù)直方圖得到概率的估計(jì)值.(3)T可能的取值是45000,53000,61000,65000,由此結(jié)合題意列出分布列,進(jìn)而得期望.考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.(2018浙江,7,4分)設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ012P11p則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時,()A.D(ξ)減小 B.D(ξ)增大C.D(ξ)先減小后增大 D.D(ξ)先增大后減小答案D2.(2017浙江,8,5分)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A3.(2017江蘇,23,10分)已知一個口袋中有m個白球,n個黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).123…m+n(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P;(2)隨機(jī)變量X表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X)<n(解析(1)編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P=Cm+n(2)隨機(jī)變量X的概率分布為:X111…1…1PCCC…C…C隨機(jī)變量X的期望為:E(X)=∑k=nm+n1所以E(X)<1=1=1(n-1)Cm=1(n-1)Cm+n=1(n-1)Cm=…=1(n-1)=Cm+n即E(X)<n(4.(2015天津,16,13分)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由已知,有P(A)=C22C所以事件A發(fā)生的概率為635(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=C5所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1331隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式,互斥事件,離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.屬中等難度題.5.(2015福建,16,13分)某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定.小王到該銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但可以確認(rèn)該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試.若密碼正確,則結(jié)束嘗試;否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定.(1)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率;(2)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A,則P(A)=56×45×34(2)依題意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=16,P(X=2)=56×15=16,P(X=3)=56所以X的分布列為X123P112所以E(X)=1×16+2×16+3×236.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則P(A)=A21A(2)X的可能取值為200,300,400.P(X=200)=A22AP(X=300)=A33+P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=故X的分布列為X200300400P136EX=200×110+300×310+400×【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2020屆寧夏六盤山期中,3)下列表格可以作為ξ的分布列的是()A.ξ013Pa1-a1B.ξ123P1-11C.ξ45P01D.ξ-112P12aa2+2答案C2.(2019遼寧葫蘆島期末,6)已知X是離散型隨機(jī)變量P(X=1)=14,P(X=a)=34,E(X)=A.14 B.34 C.1答案B3.(2020屆山西大學(xué)附屬中學(xué)10月月考,9)已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到3次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為p(0<p<1),發(fā)球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75,則p的取值范圍為()A.0,12 B.0,712答案A4.(2018安徽合肥第一中學(xué)沖刺高考最后1卷,8)某班級有男生32人,女生20人,現(xiàn)選舉4名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育委員.男生當(dāng)選的人數(shù)記為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望為()A.1613 B.2013 C.32答案C5.(2020屆全國高三月考,8)已知甲盒中有2個紅球,1個藍(lán)球,乙盒中有1個紅球,2個藍(lán)球,從甲、乙兩個盒中各取1球放入原來為空的丙盒中,現(xiàn)從甲盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ1,從乙盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ2,從丙盒中取1個球,記紅球的個數(shù)為ξ3,則下列說法正確的是()A.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)B.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)>D(ξ3)C.E(ξ1)>E(ξ3)>E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)D.E(ξ1)<E(ξ3)<E(ξ2),D(ξ1)=D(ξ2)<D(ξ3)答案C二、解答題(共35分)6.(2020屆云南昆明民族中學(xué)高三10月適應(yīng)性月考,18)昆明市某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300),該社團(tuán)將該校區(qū)在2018年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.空氣質(zhì)量指數(shù)(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空氣質(zhì)量等級1級優(yōu)2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴(yán)重污染(1)請估算2019年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);(2)用分層抽樣的方法共抽取10天,則空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50],(50,100],(100,150]的天數(shù)中各應(yīng)抽取幾天?(3)已知空氣質(zhì)量等級為1級時不需要凈化空氣,空氣質(zhì)量等級為2級時每天需凈化空氣的費(fèi)用為2000元,空氣質(zhì)量等級為3級時每天需凈化空氣的費(fèi)用為4000元.若在(2)的條件下,從空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,150]的天數(shù)中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費(fèi)用X的分布列.解析(1)由題意,根據(jù)直方圖可估算2019年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為(0.1+0.2)×365=0.3×365=109.5≈110(天).(2)由頻率分布直方圖,可得空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50]的概率為50×0.002=0.1,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.1=1天,空氣質(zhì)量指數(shù)在(50,100]的概率為50×0.004=0.2,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.2=2天,空氣質(zhì)量指數(shù)在(100,150]的概率為50×0.006=0.3,所以10天中應(yīng)抽取的天數(shù)為10×0.3=3天,所以空氣質(zhì)量指數(shù)在(0,50],(50,100],(100,150]的天數(shù)中各應(yīng)抽取1,2,3天.(3)由題意知X的取值為2000,4000,6000,8000.P(X=2000)=C21C62=2P(X=6000)=C21C31C6所以X的分布列為X2000400060008000P24217.(2020屆河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測,22)隨著甜品的不斷創(chuàng)新,現(xiàn)在的甜品無論是造型還是口感都十分誘人,有顏值、有口味、有趣味的產(chǎn)品更容易得到甜品愛好者的喜歡,創(chuàng)新已經(jīng)成為烘焙作品的衡量標(biāo)準(zhǔn).某網(wǎng)紅甜品店生產(chǎn)幾種甜品,由于口味獨(dú)特,受到越來越多人的喜愛,好多外地的游客專門到該甜品店來品嘗“打卡”,已知該甜品店同一種甜品售價相同,該店為了了解每個種類的甜品銷售情況,專門收集了該店這個月里五種網(wǎng)紅甜品的銷售情況,統(tǒng)計(jì)后得如下表格:甜品種類A甜品B甜品C甜品D甜品E甜品銷售總額(萬元)105202012銷售量(千份)521058利潤率0.40.20.150.250.2(利潤率是指:一份甜品的銷售價格減去成本得到的利潤與該甜品的銷售價格的比值.)(1)從該甜品店本月賣出的甜品中隨機(jī)選一份,求這份甜品的利潤率高于0.2的概率;(2)從該甜品店的五種網(wǎng)紅甜品中隨機(jī)選取2種不同的甜品,求這兩種甜品的單價相同的概率;(3)假設(shè)每類甜品利潤率不變,銷售一份A甜品獲利x1元,銷售一份B甜品獲利x2元,……,銷售一份E甜品獲利x5元,依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),隨機(jī)銷售一份甜品獲利的期望為E(x),設(shè)x=x1+x解析(1)由題意知,本月共賣出3萬份甜品,利潤率高于0.2的是A甜品和D甜品,共有1萬份.設(shè)“這份甜品的利潤率高于0.2”為事件A,則P(A)=13(2)由“銷售總額除以銷售量得到甜品的銷售單價”可知A甜品與C甜品的銷售單價均為20元,從五種網(wǎng)紅甜品中隨機(jī)選取2種不同的甜品共有C5設(shè)“兩種甜品的單價相同”為事件B,設(shè)P(B)=C22C(3)由題意可得,x可能取的值為8,5,3,10.(7分)P(x=8)=530=16,P(x=5)=230P(x=3)=10+830=35,P(x=10)=530因此E(x)=16×8+115×5+35×3+1又x=8+5+3+10+35=29所以E(x)<x.(12分)8.(2019山西朔州二模,19)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為三級過濾,使用壽命為十年.如圖所示,兩個一級過濾器采用并聯(lián)安裝,二級過濾器與三級過濾器為串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn).在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨(dú)立),三級濾芯無需更換,若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個80元,二級濾芯每個160元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購買濾芯,則一級濾芯每個200元,二級濾芯每個400元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中圖是