學而優·教有方學而優·教有方2/2寒假作業14角知識點1：角的概念有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。知識點2：度、分、秒之間的換算關系：1周角=360°1平角=180°1°=60′1′=60″知識點3：角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.知識點4：余角、補角名稱概念性質互為余角如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.（1）90°-α是α的余角；（2）同角或等角的余角相等.互為補角如果兩個角的和等于180°，那么這兩個角互為補角。（1）180°-α是α的補角；（2）同角或等角的補角相等.1．如圖，與之間的關系是（）A． B． C． D．與的大小無法比較【答案】B【解析】利用度量法測量各角，故可求解．【詳解】用度量法測得∠1=24°，∠2=24°∴．故選B．【點評】此題主要考查角度的大小比較，解題的關鍵是熟知量角器的使用．2．如圖所示下列說法正確的是（）A．就是 B．可以用表示C．和是同一個角 D．和不是同一個角【答案】B【解析】根據角的定義和表示方法逐一判斷即可得到答案.【詳解】解：在A中：∠ADE不能用∠D表示，故此項不符合題意；在B中：∠ABC與∠B表示同一個角，故此項符合題意；在C中：∠ABC與∠ACB表示兩個不同頂點的角，故此項不符合題意；在D中：∠BAC與∠DAE表示以A為頂點的同一個角，故此項不符合題意.故選B.【點評】本題考查了角的定義、角的表示方法.角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才能用頂點處的一個字母來記這個角.角還可以用一個希臘字母表示，或用阿拉伯數字表示.3．如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，則∠CON的度數為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解析】由射線OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．【詳解】解：∵射線OM平分∠AOC，∠AOM=35°，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．故選：C．【點評】本題主要考查了垂線和角平分線，解決本題的關鍵是找準角的關系．4．如圖，下列說法正確的是（）A．和表示同一個角 B．也可以用表示C．圖是共有三個角：，， D．表示的是【答案】C【解析】直接利用角的概念以及角的表示方法，進而分別分析得出即可；【詳解】和表示同一個角，故A錯誤；不可以用表示，故B錯誤；圖是共有三個角：，，，故C正確；表示的是，故D錯誤；故答案選C．【點評】本題主要考查了角的概念，準確計算是解題的關鍵．5．如果∠1與∠2互補，∠3與∠4互補，且∠1＝∠3，那么（）A．∠2＞∠4 B．∠2＜∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2與∠4的大小不定【答案】C【解析】根據等角的補角相等得出結果．【詳解】解：∵∠1與∠2互補，∴，∵∠3與∠4互補，∴，∵，∴．故選：C．【點評】本題考查補角，解題的關鍵是掌握補角的定義．6．如圖為北偏東30°方向，，則的方向為（）A．南偏東60° B．南偏東30° C．南偏西60° D．東偏北60°【答案】A【解析】利用已知得出∠1的度數，進而得出OB的方向角．【詳解】解：如圖所示：

∵OA是北偏東30°方向的一條射線，∠AOB=90°，

∴∠1=30°，

∴∠2=60°，

∴OB的方向角是南偏東60°．

故選：A．【點評】此題主要考查了方向角，正確利用角的和差得出∠1度數是解題關鍵．7．將一副直角三角板如圖放置，使含30°角的三角板的短直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數為_____度．【答案】75【解析】根據特殊三角形的性質、對頂角的性質及三角形三內角和等于180°求解即可．【詳解】解：如圖所示：∵，，∴．故答案為：75．【點評】題目主要考查特殊三角形的角度、對頂角性質及三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和定理及各角之間的關系是解題關鍵．8．單位換算：56°10′48″＝_____°．【答案】56.18【解析】先將48″換算成“分”，再將“分”換算成“度”即可．【詳解】解：48×（）′＝0.8′，10.8×（）°＝0.18°，故56°10′48″＝56.18°，故答案為：56.18．【點評】本題考查度、分、秒的換算，掌握換算方法是正確計算的前提．9．如圖，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOD＝120°，∠BOD＝70°，則∠COE的度數為__．【答案】【解析】先求出∠AOB的度數，然后根據角平分線的定義求解．【詳解】解：∵∠AOD=120°，∠BOD=70°，

∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=50°，

∵OB平分∠AOC，

∴∠BOC=∠AOB=50°，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=20°，

∵OD平分∠COE，

∴∠COE=2∠COD=40°．

故答案為：40°．【點評】本題考查了角的計算、角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握角平分線定義．10．如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列結論：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正確結論的序號是_____．【答案】①②④【解析】由∠AOB＝∠COD＝90°根據等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判斷①正確；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判斷②正確；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，沒有∠AOC≠∠AOD，即可判斷③不正確；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根據周角的定義得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即點F、O、E共線，又∠COE＝∠BOE，即可判斷④正確．【詳解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正確；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正確；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正確；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即點F、O、E共線，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查了角度的計算，解題的關鍵是結合圖形和題中信息準確判斷．11．如圖，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）試判斷BF與DE的位置關系，并說明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度數．【答案】（1）BF∥DE，理由見解析；（2）60°【解析】（1）由于∠AGF=∠ABC，可判斷GF∥BC，則∠1=∠3，由∠1+∠2=180°，得出∠3+∠2=180°判斷出BF∥DE；（2）由∠2=150°得出∠1=30°，再根據垂直定義進而得出∠AFG的度數．【詳解】解：（1）BF∥DE．理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∴∠3+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°，∵BF⊥AC∴∠BFA=90°∴∠AFG＝90°﹣30°＝60°．【點評】本題考查了平行線的判定與性質：同位角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等．12．如圖，是小明家（圖中點O）和學校所在地的簡單地圖，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C為OP的中點．①請用距離和方向角表示圖中商場、學校、公園、停車場分別相對小明家的位置；②若學校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？【答案】①商場在小明家西偏北60°方向，距離2.5cm位置，學校在小明家東偏北45°方向，距離2cm位置，公園在小明家東偏南30°方向，距離2cm位置，停車場在小明家東偏南30°方向，距離4cm位置；②800m【解析】①根據方向角定義及圖中線段的長度即可得知；②根據學校距離小明家400m而圖中對應線段OA＝2cm可知圖中1cm表示200m，再根據OB、OP的長即可得．【詳解】解：①商場在小明家西偏北60°方向，距離2.5cm位置，學校在小明家東偏北45°方向，距離2cm位置，公園在小明家東偏南30°方向，距離2cm位置，停車場在小明家東偏南30°方向，距離4cm位置；②∵學校距離小明家400m，且OA＝2cm，∴圖中1cm表示200m，∴商場距離小明家2.5×200＝500m，停車場距離小明家4×200＝800m．【點評】本題主要考查方向角的概念，用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．13．已知OD、OE分別是∠AOB、∠AOC的角平分線．（1）如圖1，OC是∠AOB外部的一條射線．①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，則∠DOE＝°；②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度數；（2）如圖2，OC是∠AOB內部的一條射線，∠BOC＝n°，用n的代數式表示∠DOE的度數．【答案】（1）63；（2）∠DOE＝82°；（3）∠DOE＝n°【解析】（1）根據角平分線的定義，和角的和差關系，可找到∠BOC和∠DOE的度數，代入數據即可；（2）根據角平分線的定義，和角的和差關系，可找到∠BOC和∠DOE的度數，代入數據即可．【詳解】解：（1）∵OD、OE分別是∠AOB、∠AOC，∴∠AOD＝∠AOB，∠AOE＝∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝∠BOC，∵∠BOC＝126°，∴∠DOE＝63°，故答案為：63．（2）由①可知，∠DOE＝∠BOC，∵∠∠BOC＝164°，∴∠DOE＝82°．（3）∵OD、OE分別是∠AOB、∠AOC，∴∠AOD＝∠AOB，∠AOE＝∠AOC，∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝（∠AOB﹣∠AOC）＝∠BOC，∵∠BOC＝n°，∴∠DOE＝n°．【點評】本題主要考查角平分線的定義，角的和差計算，根據圖形，找到角之間的關系，是解題關鍵．14．已知點O為直線AB上一點，將直角三角板MON的直角頂點放在點O處，并在∠MON內部作射線OC．（1）將三角板放置到如圖所示位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度數；（2）若仍將三角板按照如圖所示的方式放置，僅滿足OC平分∠MOB，試猜想∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）∠AOM＝45°；（2）∠AOM＝2∠NOC．理由見解析．【解析】（1）根據互余、互補、角平分線的意義，得出各個角之間的關系，從而求出答案；（2）設未知數，表示圖中的各個角，再利用互補得出結論．【詳解】解：（1），平分，，，，，，；（2）．令為，為，，，，，即，．【點評】考查角平分線的意義、互補、互余的意義，正確表示各個角，理清各個角之間的關系是得出正確結論的關鍵．15．如圖，直線、相交于點，為銳角，，平分（1）圖中與互余的角為__________；（2）若，求的度數；（3）圖中與銳角互補角的個數隨的度數變化而變化，直接寫出與互補的角的個數及對應的的度數【答案】（1）、；（2）；（3）見解析.【解析】（1）根據余角的定義可解答；（2）根據補角的定義列方程可解答；（3）設出∠AOE的度數，依次表達圖中的補角，可解．【詳解】（1）由題意可得于∠AOE互余的角為：、（2）設.∵，∴，.∵，∴.又∵，∴，即.∴.（3）設∠AOE=α，且0°＜α＜90°由（1）可知，∠AOD=∠BOC=90°-α，∠BOE=180°-α，

∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（90°-α）=90°+α，

∵OF平分∠BOD，

∴∠BOF=∠DOF=45°+，

∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°-α+45°+=135°-，

∠EOF=∠AOF+∠AOE=135°+，

∠COF=∠BOC+∠BOF=90°-α+45°+=135°-=∠AOF，

①當∠AOF+∠AOE=180°時，即135°-+α=180°，解得α=90°，不符合題意；

②當∠EOF+∠AOE=180°時，即135°++α=180°，解得α=30°，符合題意；

③當∠BOD+∠AOE=180°時，即90°+α+α=180°，解得α=45°，符合題意；

綜上可知，當銳角時，互補角有2個，為、．當銳角時，互補角有3個，為、、．當銳角不等于和時，互補角有1個，為．【點評】本題主要考查補角的定義，角平分線的定義，熟練掌握補角的定義是解題關鍵．16．一個問題解決往往經歷發現猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結合一道幾何題來體驗一下.（發現猜想）（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數為；.（探索歸納）（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數（用含m、n的代數式表示），并說明理由.（問題解決）（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點O以每秒20°逆時針旋轉，射線OC繞點O以每秒10°順時針旋轉，射線OD繞點O每秒30°順時針旋轉，三條射線同時旋轉，當一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運動.運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由見解析；（3）經過，，4秒時，其中一條射線是另外兩