新人教版八年級數學上冊培優資料〔中考題型〕第16講認識三角形經典·考題·賞析【例１】假設的三邊分別為4，x，9，那么x的取值范圍是______________，周長l的取值范圍是______________；當周長為奇數時，x＝______________.【解法指導】運用三角形三邊關系，即第三邊小于兩邊之和而大于兩邊之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周長為19時，x＝6，周長為21時，x＝8，周長為23時，x＝10，周長為25時，x＝12，【變式題組】01．假設△ABC的三邊分別為4，x，9，且9為最長邊，那么x的取值范圍是______________，周長l的取值范圍是______________.02．設△ABC三邊為a，b，c的長度均為正整數，且a＜b＜c，a+b+c＝13，那么以a，b，c為邊的三角形，共有______________個.03．用9根同樣長的火柴棒在桌面上擺一個三角形〔不許折斷〕并全部用完，能擺出不同形狀的三角形個數是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】等腰三角形的一邊長為18cm，周長為58cm，試求三角形三邊的長.【解法指導】對等腰三角形，題目沒有交代底邊和腰，要給予討論.當18cm為腰時，底邊為58－18×2＝22，那么三邊為18，18，22.當18cm為底邊時，腰為＝20，那么三邊為20，20，18.此兩種情況都符合兩邊之和大于第三邊.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【變式題組】01．等腰三角形兩邊長分別為6cm，12cm，那么這個三角形的周長是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．三角形的兩邊長分別是4cm和9cm，那么以下長度的四條線段中能作為第三條邊的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長分成12和10兩局部，那么此等腰三角形的腰長為______________.【例３】如圖AD是△ABC的中線，DE是△ADC的中線，EF是△DEC的中線，FG是△EFC的中線，假設S△GFC＝1cm2，那么S△ABC＝______________.【解法指導】中線將原三角形面積一分為二，由FG為△EFC的中線，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF為△DEC中線，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【變式題組】01．如圖，點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，S△ABC＝4，那么S△EFC＝______________.02．如圖，點D是等腰△ABC底邊BC上任意一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假設一腰上的高為4cm，那么DE+DF＝______________.03．如圖，四邊形ABCD是矩形(AD＞AB)，點E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，那么DF與AB的數量關系是______________.【例４】，如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指導】這是本章的一個根本圖形，其根本方法為構造三角形或四邊形內角和，結合八字形角的關系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故連結BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【變式題組】01．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.03．如圖，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.【例５】如圖，∠A＝70°，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB．那么∠BOC＝______________.【解法指導】這是本章另一個根本圖形，其結論為∠BOC＝∠A+90°.證法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝90°+∠A．所以∠BOC＝125°.【變式題組】01．如圖，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，那么∠BOC＝______________.°，點P、O分別是∠ABC、∠ACB的三等分線的交點，那么∠OPC＝______________.03．如圖，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分別平分∠ABO、∠ACO，那么∠A＝______________.【例６】如圖，∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，那么∠EAD＝______________.【解法指導】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+∠B+∠C＝(∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.【變式題組】01.〔改〕如圖，∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，那么∠BFE＝__________.(說明:原題題、圖不符.由得∠A＝98°,BD⊥AC，那么點D在CA的延長線上.)02．如圖，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分線交AD的延長線于點P，點F是BC上一動點(F、D不重合)，過點F作EF⊥BC交于點E，以下結論:①∠P+∠DEF為定值，②∠P－∠DEF為定值中，有且只有一個答案正確，請你作出判斷，并說明理由.【例７】如圖，在平面內將△ABC繞點A逆時針旋轉至△AB′C′，使CC′∥AB，假設∠BAC＝70°，那么旋轉角α＝______________.【解法指導】利用平移、旋轉不改變圖形的形狀這條性質來解題.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°【變式題組】01如圖，用等腰直角三角形板畫∠AOB＝45°，并將三角板沿OB方向平移到如下圖的虛線后繞點M逆時針方向旋轉22°，那么三角板的斜邊與射線OA的直角α＝______________.02．如圖，在平面內將△AOB繞點O順時針旋轉α角度得到△OA′B′，假設點A′在AB上時，那么旋轉角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如圖，△ABE和△ACD是△ABC沿著AB邊，AC邊翻折180°形成的，假設∠BAC＝130°，那么∠α＝______________.演練穩固·反應提高01．如圖，圖中三角形的個數為()A．5個 B．6個 C．7個 D．8個02．如果三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定03．有4條線段，長度分別是4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，可以組成三角形的個數是()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個04．以下語句中，正確的選項是()A．三角形的一個外角大于任何一個內角B．三角形的一個外角等于這個三角形的兩個內角的和 C．三角形的外角中，至少有兩個鈍角 D．三角形的外角中，至少有一個鈍角 05．假設一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，那么這個三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定06．假設一個三角形的一個外角大于與它相鄰的內角，那么這個三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定07．如果等腰三角形的一邊長是5cm，另一邊長是9cm，那么這個三角形的周長是______________.08．三角形三條邊長是三個連續的自然數，且三角形的周長不大于18，那么這個三角形的三條邊長分別是______________.09．如圖，在△ABC中，∠A＝42°，∠B與∠C的三等分線，分別交于點D、E，那么∠BDC的度數是______________.10．如圖，光線l照射到平面鏡上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射，∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如圖，點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，且S△EFC＝1，那么S△ABC＝______________.12．如圖，:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，那么∠DAC＝______________.13．如圖，點D、E是BC上的點，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度數第17講認識多邊形經典·考題·賞析【例１】如下圖是一個六邊形.(1)從頂點A出發畫這個多邊形的所有對角線，這樣的對角線有幾條？它們將六邊形分成幾個三角形？(2)畫出此六邊形的所有對角線，數一數共有幾條？【解法指導】此題主要考查多邊形對角線的定義，對于n邊形，從n邊形的一個頂點出發，可引(n－3)條對角線，它們將這n邊形分成(n－2)個三角形，n邊形一共有條對角線，解:(1)從頂點A出發，共可畫三條對角線，如下圖，它們分別是AC、AD、AE.將六邊形分成四個三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六邊形共有9條對角線.【變式題組】01．以下圖形中，凸多邊形有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個02．過m邊形的一個頂點有7條對角線，n邊形沒有對角線，k邊形對角線條數等于邊數，那么m＝______，n＝______，k＝________.03．多邊形的邊數恰好是從這個多邊形的一個頂點出發的對角線條數的2倍，那么此多邊形的邊數是.【例２】(1)八邊形的內角和是多少度？(2)幾邊形的內角和是八邊形內角和的2倍？【解法指導】(1)多邊形的內角和公式的推導：從n邊形一個頂點作對角線，可以作(n－3)條對角線，并且將n邊形分成(n－2)個三角形，這(n－2)個三角形內角和恰好是多邊形內角和，等于(n－2)·1800；(2)內角和定理的應用：①多邊形的邊數，求其內角和；②多邊形內角和，求其邊數.解：(1)八邊形的內角和為(8－2)×1800＝10800；(2)設n邊形的內角和是八邊形內角和的2倍，那么有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14.故十四邊形的內角和是八邊形內角和的2倍.【變式題組】01．n邊形的內角和為21600，求n邊形的邊數.02．如果一個正多邊的一個內角是1080，那么這個多邊形是〔〕A．正方形B．正五邊形C．正六邊形D．正七邊形03．一個多邊形的內角和為10800，那么這個多邊形的邊數是〔〕A．8 B．7 C．6 D．504．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4是五邊形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，那么∠AED的度數為〔〕A．1100 B．1080 C．1050 D．10005.當多邊形的邊數增加1時，它的內角和與外角和〔〕A．都不變 B．內角和增加1800，外角和不變C．內角和增加1800，外角和減少1800 D．都增加1800【例３】一只螞蟻從點A出發，每爬行5cm便左轉600，那么這只螞蟻需要爬行多少路程才能回到點A？解：螞蟻爬行的路程構成一個正多邊形，其路程就是這個正多邊形的周長，根據可得這個正多邊形的每個外角均為600，那么這個多邊形的邊數為＝6.所以這只螞蟻需要爬行5×6＝30(cm)才能回到點A．【解法指導】多邊形的外角和為3600.(1)多邊形的外角和恒等于3600，它與邊數的多少無關.(2)多邊形的外角和的推導方法：由于多邊形的每個內角與它相鄰的外角是鄰補角，所以n邊形內角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多邊的外角和為什么等于3600，還可以這樣理解：從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形的各邊走過各頂點，再回到點A，然后轉向出發點時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所轉的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于3600.(4)多邊形的外角和為3600的作用：①各相等外角度數求多邊形邊數；②多邊形邊數，求各相等外角的度數.【變式題組】01．〔無錫〕八邊形的內角和為_____.度.02．〔永州〕如下圖，△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四邊形，那么∠1+∠2＝_____03．〔資陽〕n(n為整數，且n≥3)邊形的內角和比〔n+1〕邊形的內角和少____度.04．〔株洲〕如下圖，小明在操場上從點A出發，沿直線前進10米后向左轉400，再沿直線前進10米后，又向左轉400，……，照這樣下去，他第一次回到出發地A點時，一共走了_____米.【例４】兩個多邊形的內角和為18000，且兩多邊形的邊數之比為2:5，求這兩個多邊形的邊數.【解法指導】因為兩個多邊形的邊數之比為2:5，可設兩個多邊形的邊數為2x和5x，利用多邊形的內角可列出方程.解：設這兩個多邊形的邊數分別是2x和5x，那么由多邊形內角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故這兩個多邊形的邊數分別為4和10.【變式題組】01．一個多邊形除去一個角后，其余各內角的和為22100，這個多邊形是___________02．假設一個多邊形的外角和是其內角和的，那么此多邊形的邊數為_____03．每一個內角都相等的多邊形，它的一個外角等于一個內角的，那么這個多邊形是〔〕A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形04．內角和與其外角和相等的多邊形是___________【例５】某人到瓷磚商店去購置一種多邊形瓷磚，用來鋪設無縫地面，他購置的瓷磚不可以是〔〕A．正三角形 B．長方形 C．正八邊形 D．正六邊形【解法指導】根據平面鑲嵌的定義可知：在一個頂點處各多邊形的內角和為3600，由于正三角形、長方形、正六邊形的內角都是3600的約數，因此它們可以用來完成平面鑲嵌，而正八邊形的每個內角為1350，不是3600的約數，所以正八邊形不能把平面鑲嵌.解：選C．【變式題組】01．用一種如下形狀的地磚，不能把地面鋪成既無縫隙，又不重疊的是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．長方形 D．正五邊形02．小明家裝修房屋，用同樣的正多邊形瓷磚鋪地，頂點連著頂點，要鋪滿地面而不重疊，瓷磚的形狀可能有〔〕A．正三角形、正方形、正六邊形 B．正三角形、正方形、正五邊形 C．正方形、正五邊形 D．正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形03．只用以下正多邊形?能作平面鑲嵌的是〔〕A．正五邊形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形04．〔晉江市〕如圖，將一張正方形紙片剪成四個小正方形，得到4個小正方形，稱為第一次操作；然后將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得7個小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個正方形再剪成四個小正方形，共得到10個小正方形，稱為第三次操作；……，根據以上操作，假設要得到2011個小正方形，那么需要操作的次數是〔〕A．669 B．670 C．671 D．672【例６】有一個十一邊形，它由假設干個邊長為1的等邊三角形和邊長為1的正方形無重疊、無間隙地拼成，求此十一邊形各內角的大小，并畫出圖形.【解法指導】正三角形的每個內角為600，正方形的每個內角為900，它們無重疊、無間隙可拼成600、900、1200、1500四種角度，根據十一邊形內角和即可判斷每種角的個數.解：因為正三角形和正方形的內角分別為600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四種角度，十一邊形內角和為(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因為1200×11＜16200＜1500×11，所以這個十一邊形的內角只有1200和1500兩種.設1200的角有m個，1500的角有n個，那么有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54此方程有唯一正整數解，所以這個十一邊形內角中有1個角為1200，10個角為1500，此十一邊形如下圖.【變式題組】01．如圖是某廣場地面的一局部，地面的中央是一塊正六邊形的地磚，周圍用正三角形和正方形的大理石磚鑲嵌，從里向外共鋪了12層〔不包括中央的正六邊形地磚〕，每一層的外邊界都圍成一個正多邊形，假設中央正六邊形的地磚邊長為0.5m，那么第12層的外邊界所圍成的多邊形的周長是___________.02．〔黃岡〕小明的書房地面為210cm×300cm的長方形，假設僅從方便平面鑲嵌的角度出發，最適宜選用的地磚規格為〔〕A．30cm×30cm的正方形， B．50cm×50cm的正方形， C．60cm×60cm的正方形， D．120cm×120cm的正方形，03．正m邊形、正n邊形及正p邊形各取一個內角，其和為3600，求的值.演練穩固·反應提高01．在一個頂點處，假設正n邊形的幾個內角的和為______，那么此正n邊形可鋪滿地面，沒有空隙.02．〔宜昌市〕如圖，用同樣規格的黑白兩種正方形瓷磚鋪設正方形地面，觀察圖形并猜測填空：當黑色瓷磚為20塊時，白色瓷磚為______塊，當白色瓷磚為n2〔n為正整數〕塊時，黑色瓷磚為______塊.03．〔嘉峪關〕用黑白兩種顏色的正六邊形地板磚按圖所示的規律拼成如下假設干地板圖案：那么第n個圖案中白色的地板磚有______塊.04．如下圖的圖案是由正六邊形密鋪而成，黑色正六邊形周圍的第一層有六個白色正六邊形，那么第n層有______個白色正六邊形.05．如果只用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且在每一個正多邊形的每一個頂點周圍都有6個正多邊形，那么該正多邊形的邊數為〔〕A．3 B． 4 C．5 D．606．以下不能鑲嵌的正多邊組合是〔〕A．正三角形與正六邊形 B．正方形與正六邊形 C．正三角形與正方形 D．正五邊形與正十邊形07．用兩種以上的正多邊形鑲嵌必須具備的條件是〔〕A．邊長相同 B．在每一點的交接處各多邊形的內角和為1800 C．邊長之間互為整數倍 D．在每一點的交接處各多邊形的內角和為3600，且邊長相等08．〔荊門市〕用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起且相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數都是8，那么第三塊木板的邊數是〔〕A．4 B．5 C．6 D．809．[自貢(課改)]張珊的父母打算購置形狀和大小都相同的正多邊形瓷磚來鋪衛生間的地面，張珊特意提醒父母，為了保證鋪地面時既沒縫隙、又不重疊，所購瓷磚形狀不能是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正八邊形10．我們常常見到如下圖那樣圖案的地板，它們分別是由正方形、等邊三角形的材料鋪成的，(1)為什么用這樣形狀的材料能鋪成平整、無空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四邊形或不等邊三角形鑲嵌成地板，請畫出圖形.11．某單位的地板由三種各角相等、各邊也相等的多邊形鋪成，假設它們的邊數為x、y、z，你能找出x、y、z之間有何種數量關系嗎？請說明理由.12．黑色正三角形與白色正六邊形的邊長相等，用它們鑲嵌圖案，方法如下：白色正六邊形分上下兩行，上面一行的正六邊形個數比下面一行少一個，正六邊形之間的空隙用黑色的正三角形嵌滿，按第1,2,3個圖案[如圖(1)、(2)、(3)]規律依次下去，那么第n個圖案中黑色正三角形和白色正六邊形的個數分別是〔〕A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1第01講全等三角形的性質與判定考點·方法·破譯1．能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；2．全等三角形性質：①全等三角形對應邊相等，對應角相等；②全等三角形對應高、角平分線、中線相等；③全等三角形對應周長相等，面積相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對于兩個直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，還有HL法；4．證明兩個三角形全等的關鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，再根據選定的判定方法，確定還需要證明哪些相等的邊或角，再設法對它們進行證明；5．．證明兩個三角形全等，根據條件，有時能直接進行證明，有時要證的兩個三角形并不全等，這時需要添加輔助線構造全等三角形，構造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋轉、等倍延長線中線、截取等等.經典·考題·賞析【例１】如圖，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么圖中有全等三角形〔〕BACDEFA．5對 BBACDEF【解法指導】從題設題設條件出發，首先找到比擬明顯的一對全等三角形，并由此推出結論作為下面有用的條件，從而推出第二對，第三對全等三角形.這種逐步推進的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.在△ABC和△DCB中∴△ABC≌∴△DCB〔SAS〕∴∠A＝∠D⑵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中∴Rt△EFB≌Rt△EFC〔HL〕應選C.【變式題組】01．〔天津〕以下判斷中錯誤的選項是〔〕A．有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等B．有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等 D．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等AFCEDB02．〔麗水〕命題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，那么AFCEDB03．(上海)線段AC與BD相交于點O,連接AB、DC，E為OB的中點，F為OC的中點，連接EF〔如下圖〕.⑴添加條件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求證：AB＝DC；ABCDOFE⑵分別將“∠A＝∠D”記為①，“∠OEF＝∠OFE”記為②，“AB＝DC”記為③，添加①、③，以②為結論構成命題1；添加條件②、③，以①為結論構成命題2.命題1是______命題，命題2是_______命題〔選擇“真ABCDOFE【例２】AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求證：AF＝DE.【解法指導】想證AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需證明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根據條件找出證明它們全等的條件.ACEFBD證明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋ACEFBD在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF〔SSS〕∴∠B＝∠C在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE【變式題組】01．如圖，AD、BE是銳角△ABC的高，相交于點O，假設BO＝AC，BC＝7，CD＝2，那么AO的長為〔〕A．2 B．3 C．4 D．5AAE第1題圖ABCDEBCDO第2題圖02.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是過A點的一條直線，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，那么BD＝__________.\03．〔北京〕：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上，CE＝BC，過點E作AC的垂線，交CD的延長線于點F.求證：AB＝FC.AAFECBD【例３】如圖①，△ABC≌△DEF，將△ABC和△DEF的頂點B和頂點E重合，把△DEF繞點B順時針方向旋轉，這時AC與DF相交于點O.⑴當△DEF旋轉至如圖②位置，點B〔E〕、C、D在同一直線上時，∠AFD與∠DCA的數量關系是________________;⑵當△DEF繼續旋轉至如圖③位置時，⑴中的結論成立嗎？請說明理由_____________.BB〔E〕OCF圖③FABCDEFAB(E)CDDA圖②圖①【解法指導】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【變式題組】01．〔紹興〕如圖，D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.假設∠CDE＝48°，那么∠APD等于〔〕A．42° B．48° C．52° D．58°02．如圖，Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF，以下結論中錯誤的選項是〔〕A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CFEEFBABPDEC第1題圖ACDG第2題圖03．一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如以下圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.⑴求證：AB⊥ED；⑵假設PB＝BC，找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并證明.BBFACENMPDDACBFE【例４】〔第21屆江蘇競賽試題〕，如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB邊上的高，點P在BD的延長線，BP＝AC，點Q在CE上，CQ＝AB.求證：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指導】證明線段或角相等，也就是證線段或角所在的兩三角形全等.經觀察，證AP＝AQ,也就是證△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由條件BP＝AC，CQ＝AB，應該證△APB≌△QAC，已具備兩組邊對應相等，于是再證夾角∠1＝∠2即可.證AP⊥AQ，即證∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.221ABCPQEFD證明：⑴∵BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【變式題組】ABCDFE01．如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，點F是CDABCDFE02．〔湖州市競賽試題〕如圖，在一個房間內有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為am，此時梯子的傾斜角為75°，如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻上，此時梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm，梯子傾斜角為45°，這間房子的寬度是〔〕A． B． C．bm D．amAAECBA75°C45°BNM第2題圖第3題圖D03．如圖，五邊形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，那么五邊形ABCDE的面積為__________演練穩固·反應提高01．〔海南〕圖中的兩個三角形全等，那么∠α度數是〔〕A．72° B．60° C．58° D．50°第3題圖第3題圖第1題圖CAODBP第2題圖ACA/BB/aαcca50°b72°58°02．如圖，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，那么∠ACA/的度數是〔〕A．20° B．30° C．35° D．40°03．〔牡丹江〕尺規作圖作∠AOB的平分線方法如下：以O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D，再分別以點C、D為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線OP，由作法得△OCP≌△ODP的根據是〔〕A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．〔江西〕如圖，AB＝AD，那么添加以下一個條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的是〔〕A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°EE21NABDC第5題圖ABCDEABCD第4題圖第6題圖M05．有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，將它們的一個銳角頂點放在一起，將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當A、B、D不在一條直線上時，下面的結論不正確的選項是〔〕A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如圖，△ABC和共頂點A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小華說：“一定有△ABC≌△AED.”小明說：“△ABM≌△AEN.”那么〔〕A.小華、小明都對B.小華、小明都不對C.小華對、小明不對D.小華不對、小明對07．如圖，AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度數是___________.08．如圖，△ABC≌△ADE，BC延長線交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，那么∠DFB的度數為_______.09．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______第10題圖第10題圖ABCDE第9題圖EABCDABCDEFOCAEBD第7題圖第8題圖10．如圖，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，假設AB＝2,CD＝6，那么AE＝_____.11．如圖,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同時有P、Q兩只螞蟻從點C出發，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行時間t為多少時，△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12．如圖,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BCDBACEF⑴求證：AE＝CD；⑵假設AC＝12cm,求BD的長. AEBFDC13．〔吉林〕如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點D，AD等于AE，AB平分∠DAEAEBFDC14．如圖，將等腰直角三角板ABC的直角頂點C放在直線l上，從另兩個頂點A、B分別作l的垂線，垂足分別為D、E.BDEBDEClA⑵假設DE＝a，求梯形DABE的面積.〔溫馨提示：補形法〕AEFBDC15．如圖，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別是E、FAEFBDC16．我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會全等？⑴閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等；對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們全等〔證明略〕；對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求證：△ABC≌△A1B1C1.〔請你將以下證明過程補充完整〕AABCDA1B1C1D1⑵歸納與表達：由⑴可得一個正確結論，請你寫出這個結論.第02講角平分線的性質與判定經典·考題·賞析【例１】如圖，OD平分∠AOB，在OA、OB邊上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求證：PM＝PN【解法指導】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲證PM＝PN只需∠3＝∠4，證∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD與△OAD全等即可.證明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2在△OBD與△OAD中，∴△OBD≌△OAD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【變式題組】01．如圖，CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證：點P在∠BAC的平分線上.02．如圖，BD平分∠ABC，AB＝BC，點P是BD延長線上的一點，PM⊥AD，PN⊥CD.求證：PM＝PN【例２】〔天津競賽題〕如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度數【解法指導】由∠1＝∠2，CE⊥AB，聯想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可證△CFD≌△CEB，那么∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD從而構造全等三角形.解：過點C作CF⊥AD于點F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，點C是AC上一點，∴CE＝CF在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AE又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【變式題組】01．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求02．(河北競賽)在四邊形ABCD中，AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，對角線AC平分∠BAD，問a與b的大小符合什么條件時，有∠B＋∠D＝180°，請畫圖并證明你的結論.【例３】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求證：CE＝BD【解法指導】由于BE平分∠ABC，因而可以考慮過點D作BC的垂線或延長CE從而構造全等三角形.證明：延長CE交BA的延長線于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，∴∠1＝∠3在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF∴CE＝BD【變式題組】01．如圖，AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點E，求證：AB＝AC＋BD.02．如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F.⑴請你判斷FE和FD之間的數量關系，并說明理由；⑵求證：AE＋CD＝AC.演練穩固·反應提高01．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，假設CD＝n，AB＝m，那么△ABD的面積是〔〕A．mn B．mn C．mn D．2mn02．如圖，AB＝AC，BE＝CE，下面四個結論：=1\*GB3①BP＝CP；=2\*GB3②AD⊥BC；=3\*GB3③AE平分∠BAC；=4\*GB3④∠PBC＝∠PCB.其中正確的結論個數有〔〕個A． 1 B．2 C．3 D．403．如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R、S.假設AQ＝PQ，PR＝PS，以下結論：=1\*GB3①AS＝AR；=2\*GB3②PQ∥AR；=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正確的選項是〔〕A． =1\*GB3①=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3② D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③04．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，那么以下四個結論中：=1\*GB3①AD上任意一點到B、C的距離相等；=2\*GB3②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；=3\*GB3③AD⊥BC且BD＝CD；=4\*GB3④∠BDE＝∠CDF.其中正確的選項是〔〕A．=2\*GB3②=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=4\*GB3④ C．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④05．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點，那么∠AEB的度數為〔〕A．50° B．45° C．40° D．35°06．如圖，P是△ABC內一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，給出以下結論：=1\*GB3①AD＝AF；=2\*GB3②AB＋EC＝AC＋BE；=3\*GB3③BC＋CF＝AB＋AF；=4\*GB3④點P是△ABC三條角平分線的交點.其中正確的序號是〔〕A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ B．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ D．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④07．如圖，點P是△ABC兩個外角平分線的交點，那么以下說法中不正確的選項是〔〕A．點P到△ABC三邊的距離相等 B．點P在∠ABC的平分線上C．∠P與∠B的關系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P與∠B的關系是：∠B＝∠P08．如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD與CD相交于D.給出以下結論：=1\*GB3①點D到AB、AC的距離相等；=2\*GB3②∠BAC＝2∠BDC；=3\*GB3③DA＝DC；=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正確的個數是〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個09．如圖，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，以下結論中：=1\*GB3①AD平分∠CDE；=2\*GB3②∠BAC＝∠BDE；=3\*GB3③DE平分∠ADB；=4\*GB3④AB＝AC＋BE.其中正確的個數有〔〕A．3個 B．2個 C．1個 D．4個10．如圖，BQ是∠ABC的內角平分線，CQ是∠ACB的外角平分線，由Q出發，作點Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，那么QM、QN、QK的關系是_________11．如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求證：BE＝CF12．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.求證：AD⊥EF.第3講軸對稱及軸對稱變換經典·考題·賞析【例１】〔蘭州〕如下圖，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，那么紙片展開后是〔〕【解法指導】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸.應選D.【變式題組】01．將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪平，得到的圖形是〔〕02．〔荊州〕如圖，將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊，使點A落在點G上，點D落在點H上；然后再沿虛線GH折疊，使B落在點E上，點C落在點F上，疊完后，剪一個直徑在BC上的半圓，再展開，那么展開后的圖形為〔〕【例2】〔襄樊〕如圖，在邊長為1的正方形網格中，將△ABC向右平移兩個單位長度得到△A’B’C’，那么與點B’關于x軸對稱的點的坐標是〔〕A．〔0，－1〕B．〔1，1〕C．〔2，－1〕D．〔1，－1〕【解法指導】在△ABC中，點B的坐標為〔－1，1〕，將△ABC向右平移兩個單位長度得到△A’B’C’，由點的坐標平移規律可得B’〔－1＋2，1〕，即B’〔1，1〕.由關于x軸對稱的點的坐標的規律可得點B’關于x軸對稱的點的坐標是〔1，－1〕，故應選D.【變式題組】01．假設點P〔－2，3〕與點Q〔a，b〕關于x軸對稱，那么a、b的值分別是〔〕A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－302．在直角坐標系中，點P〔－3，2〕，點Q是點P關于x軸的對稱點，將點Q向右平移4個單位得到點R，那么點R的坐標是___________.03．〔荊州〕點P〔a＋1，2a－1〕關于x軸的對稱點在第一象限，那么a的取值范圍為___________.【例3】如圖，將一個直角三角形紙片ABC〔∠ACB＝90°〕，沿線段CD折疊，使點B落在B1處，假設∠ACB1＝70°，那么∠ACD＝〔〕A．30°B．20°C．15°D．10°【解法指導】由折疊知∠BCD＝∠B1CD.設∠ACD＝x，那么∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋〔70°＋x〕＝90°，故x＝10°.應選D.【變式題組】01．〔東營〕如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在點D’、C’的位置.假設∠EFB＝65°，那么∠AED’等于〔〕A．70°B．65°C．50°D．25°02．如圖，△ABC中，∠A＝30°，以BE為邊，將此三角形對折，其次，又以BA為邊，再一次對折，C點落在BE上，此時∠CDB＝82°，那么原三角形中∠B＝___________.03．〔江蘇〕⑴觀察與發現：小明將三角形紙片ABC〔AB＞AC〕沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片〔如圖①〕；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF〔如圖②〕.小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.⑵實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE〔如圖③〕；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D’處，折痕為EG〔如圖④〕；再展平紙片〔如圖⑤〕.求圖⑤中∠α的大小.【例4】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，E為垂足，EF交BC的延長線于點F，求證：∠B＝∠CAF．【解法指導】∵EF是AD的中垂線，那么可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．從而利用角平分線的定義與三角形的外角轉化即可．證明：∵EF是AD的中垂線，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【變式題組】01．如圖，點D在△ABC的BC邊上，且BC＝BD＋AD，那么點D在__________的垂直平分線上．02．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，假設AB＝3cm，那么DC＝___________cm．03．如圖，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，那么∠EAG＝___________．04.△ABC中，AB＝AC，AB邊的垂直平分線交AC于F，假設AB＝12cm，△BCF的周長為20cm，那么△ABC的周長是___________cm．【例5】〔眉山〕如圖，在3×3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關于某直線成軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的△DEF．【解法指導】在正方形格點圖中，如果條件中沒有給對稱軸，在找對稱軸時，通常找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對稱軸．假設以圖案居中的水平直線為對稱軸，所作的△DEF如圖①②③所示；假設以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的△DEF如圖④所示；假設以圖案居中的斜線為對稱軸，所作的△DEF如圖⑤⑥所示．【變式題組】01．〔泰州〕如圖，在2×2的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點的△ABC，請你找出格點圖中所有與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有___________個．02．〔紹興〕如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中假設干個三角形涂黑，且滿足以下條件：⑴涂黑局部的面積是原正方形面積的一半；⑵涂黑局部成軸對稱圖形．如圖乙是一種涂法，請在圖1－3中分別設計另外三種涂法．〔在所設計的圖案中，假設涂黑局部全等，那么認為是同一種不同涂法，如圖乙與圖丙〕【例6】如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，假設牧童從A處出發牽牛到河岸CD處飲水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？【解法指導】⑴所求問題可轉化為CD上取一點M，使其AM＋BM為最小；⑵此題利用軸對稱知識進行解答．解:先作點A關于直線CD的對稱點A’，連接A’B交CD于點M，那么點M為所求，下面證明此時的AM＋BM最小．證明：在CD上任取與M不重合的點M’，∵AA’關于CD對稱，∴CD為線段AA’的中垂線，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM最小．【變式題組】01．〔山西〕設直線l是一條河，P、Q兩地相距8千米，P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米，欲在l上的某點M處修建一個水泵站向P、Q兩地供水．現在如下四種鋪設管道方案，圖中的實線表示輔設的管道，那么鋪設的管道最短的是〔〕02．假設點A、B是銳角∠MON內兩點，請在OM、ON上確定點C、點D，使四邊形ABCD周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標明你確定的點．演練穩固·反應提高01．〔黃岡〕如圖，△ABC與△A’B’C’關于直線l對稱，且∠A＝78°，∠C’＝48°，那么∠B的度數是〔〕．A．48°B．54°C．74°D．78°02．〔泰州〕如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O為頂點的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是〔〕A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形03．圖1是四邊形紙片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，假設將其右下角向內折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如圖2所示，那么∠C＝〔〕A．80°B．85°C．95°D．110°04．如圖，陰影局部組成的圖案既是關于x軸成軸對稱的圖形又是關于y軸成軸對稱的圖形，假設點A的坐標是〔1，3〕，那么點M和點N的坐標分別是〔〕A．M〔1，－3〕，N〔－1，－3〕B．M〔－1，－3〕，N〔－1，3〕C．M〔－1，－3〕，N〔1，－3〕D．M〔－1，3〕，N〔1，－3〕05．點P關于x軸對稱的對稱點P’的坐標是〔－3，5〕，那么點P關于y軸對稱的對稱點的坐標是〔〕A．〔3，－5〕B．〔－5，3〕C．〔3，5〕D．〔5，3〕06．M〔1－a，2a＋2〕關于y軸對稱的點在第二象限，那么a的取值范圍是〔〕A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a＞1D．a＞－107．〔杭州〕如圖，鏡子中號碼的實際號碼是___________．08．〔貴陽〕如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，那么圖中陰影局部的面積為___________cm2.09．點A〔2a＋3b，－2〕和B〔8，3a＋2b〕關于x軸對稱，那么a＋b＝___________.10．如圖，在△ABC中，OE、OF分別是AB、AC中垂線，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度數．11．如圖，C、D、E、F是一個長方形臺球桌的4個頂點，A、B是桌面上的兩個球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球？請畫出A球經過的路線，并寫出作法．12．如圖，P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延長線于N．求證：AN＝MC．13．〔荊州〕有如圖“”的8張紙條，用每4張拼成一個正方形圖案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形僅為2個，且使每個正方形圖案都是軸對稱圖形，在網格中畫出你拼成的圖．〔畫出的兩個圖案不能全等〕第4講等腰三角形考點·方法·破譯1．等腰三角形及其性質有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是軸對稱圖形，因此它的性質有：⑴等腰三角形的兩個底角相等〔即等邊對等角〕；⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合〔即等腰三角形三線合一〕2．等腰三角形的判定證明一個三角形是等腰三角形的根本方法是：⑴從定義入手，證明一個三角形有兩條邊相等；⑵從角入手，證明一個三角形有兩個角相等，依據是等腰三角形判定定理；等角對等邊．3．構造等腰三角形的常用方法⑴角平分線＋平行線＝等腰三角形⑵角平分線＋垂線〔或高〕＝等腰三角形⑶線段中垂線構造等腰三角形⑷將2倍角轉化為相等角構造等腰三角形經典·考題·賞析等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400，那么這個等腰三角形的底角為________________.【解法指導】假設問題中涉及到三角形的高，那么要分別考慮三角形的高是在三角形的外，三角形內的情況．解：如圖1，當一腰上的高在三角形內時，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝如圖2，當一腰上的高在三角形外時，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【變式題組】01．〔呼和浩特〕在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個局部，那么這個等腰三角形的底邊長為〔〕A.7B.11C.7或11D．7或1002.〔黃岡〕在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500，那么∠B＝___________度．03.〔襄樊〕在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D為BC的中點，動點P從B點出發，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運動．設運動時間為t，那么當t＝_________秒時，過D、P兩點的直線將⊿ABC的周長分成兩個局部，使其中一局部是另一局部的2倍．【例２】如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，點D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度數．【解法指導】圖中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性質，用方程的思想求角的度數．解：設∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【變式題組】01．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度數．02．如圖，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大小．【例３】坐標原點O和點A〔2，－2〕，B是坐標軸上的一點．假設⊿AOB是等腰三角形，那么這樣的點B一共有〔〕個A．4B．5C．6D．8【解法指導】⊿AOB是等腰三角形，但不能確定哪條邊是等腰三角形的底，因而要分三種情況進行說明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐標軸上的點．要考慮x軸與y軸兩種情況．解：①如圖1，當OA是底邊時，B在OA的中垂線上，又B在坐標軸上，因而B是OA中垂線與坐標軸的交點；②如圖2，當OA為腰時，假設O為頂點，那么B在以O為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標軸上，因而B是圓與坐標軸的交點；③如圖3，當OA為腰時，假設A為頂點，那么B在以A為圓心，OA為半徑的圓上，又B在坐標軸上，因而B是圓與坐標軸的交點.應選D.【變式題組】01．(海南競賽試題)在平面直角坐標系xOy內，A〔3，－3〕，點P是y軸上一點，那么使⊿AOP為等腰三角形的點P共有〔〕A．2個B．3個C．4個D．5個02．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(1，0),點B的坐標是〔0，〕，點C在坐標平面內．假設以A、B、C為頂點構成的三角形是等腰三角形，且底角為30度，那么滿足條件的點C有_________個．ABABCDPE第2題圖第4題圖第3題圖第2題圖第4題圖第3題圖03.〔南昌〕如圖，長方形紙片ABCD，點E是AB的中點，點G是BC上一點，∠BEG＞600，現沿直線EG將紙片折疊，使點B落在紙片中的點H處，連接AH，那么與∠BEG相等的角的個數為〔〕A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4題圖)04．〔濟南〕如下圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，點E是折線段A－D－C上的一個動點〔點E與點A不重合〕，點P是點A關于BE的對稱點．在點EACBMDE(例4題圖)A．2個B．3個C．4個D．5個【例４】〔棗莊〕兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如下圖放置，E，A，C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說明理由．【解法指導】判斷⊿MEC為等腰直角三角形，M為直角頂點，即想證∠EMC＝900，而⊿ABD為等腰三角形，M是BD的中點，假設連接AM那么有∠AMD＝900,因而只需證∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形狀是等腰直角三角形，理由如下：連接，由題意得：．．又，．．．．又，．．所以的形狀是等腰直角三角形．【變式題組】01．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P是斜邊BC的中點,以P為直角頂點的兩邊分別與邊AB、AC交于點E、F，當∠EPF繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合)，⊿PEF也始終是等腰三角形，請你說明理由．02．如圖，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中點，DE⊥AB垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF交AD于G．⑴求證：AD⊥CF;⑵連接AF，試判斷⊿ACF的形狀，并說明理由．03．如圖，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO為中線．現將一直角三角板頂點放在點O上并繞點O旋轉，假設三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點G、H．⑴試寫出圖中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的線段；⑵請選一組你寫出的相等線段給予證明．【例５】我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．⑴請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；⑵如圖，在中，點分別在上，設相交于點，假設，．請你寫出圖中一個與相等的角，并猜測圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；⑶在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．【解法指導】證明兩條線段相等時，假設兩條線段在同一三角形中，可證明它們所對的角相等．假設兩條線段在不同的三角形中，那么證它們所在的兩個三角形全等，假設三角形不全等，即可通過構造全等三角形或等腰三角形解決問題．解：⑴如：平行四邊形、等腰梯形等⑵答：與∠A相等的角是∠BOD〔或∠COE〕，四邊形DBCE是等對邊四邊形；圖1⑶答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE．圖1證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可證△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四邊形DBCE是等邊四邊形．圖2證法二：如圖2，以C為頂點作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F點．圖2∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC為公共邊，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四邊形DBCE是等邊四邊形．【變式題組】01．如圖，在ABC中，∠B＝2∠C，AD為∠BAC的平分線．求證：AC＝AB＋BD.02．(天津初賽試題)如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，假設AB＝2，求CD的長．03．如圖，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延長線上，BD＝CF．求證DE＝EF.【變式題組】01．(重慶)一個等腰三角形兩內角的度數之比為1:4，那么這個等腰三角形頂角的度數為〔〕A．200B．1200C．200或1200D．360002．〔云南〕等腰三角形的兩邊分別為6和3，那么此等腰三角形周長為〔〕A．9B．15C．15D．12或1503.〔云南〕如圖，等腰ABC的周長為21，底邊BC＝5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交AC于點E，那么BEC的周長為〔〕A．13B．14C．15D．1604．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，假設∠A＝180，那么∠GEF的度數是〔〕A．800B．900C．1000D．108005．如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，那么以下結論中不正確的選項是〔〕A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如圖，ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D,交AC于點E,那么以下結論：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＝CF.其中正確的有〔〕A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.〔武漢〕如圖，O是四邊形ABCD內一點，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,那么∠DAO＋∠DCO的大小是〔〕A．700B．1100C．1400D．150008．〔濱州〕等腰ABC的周長為10，假設設腰長為x，那么x的取值范圍是____________.09．如下圖，在ABC中，AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分線，那么AD＝___________.10．(威海)如圖，AB＝AC，BD＝BC,假設∠A＝400，那么∠ABD的度數是_________.11．(烏魯木齊)在一次數學課上，王老師在黑板上畫出圖6，并寫下了四個等式：①，②，③，④．要求同學從這四個等式中選出兩個作為條件，推出是等腰三角形．請你試著完成王老師提出的要求，并說明理由．〔寫出一種即可〕：BEDABEDAC證明：12．〔泰安〕兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結．⑴請找出圖2中的全等三角形，并給予證明〔說明：結論中不得含有未標識的字母〕；⑵證明：．圖1圖1圖2DCEAB13.〔包頭〕如圖，中，厘米，厘米，點為的中點．⑴如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①假設點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與是否全等，請說明理由；②假設點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？⑵假設點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？AAQCDBP14.〔臨沂〕如圖1，中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上〔直角三角板的短直角邊為，長直角邊為〕，將直角三角板繞點按逆時針方向旋轉．⑴在圖1中，交于，交于．①證明；②在這一旋轉過程中，直角三角板與的重疊局部為四邊形，請說明四邊形的面積是否發生變化？假設發生變化，請說明是如何變化的？假設不發生變化，求出其面積；⑵繼續旋轉至如圖2的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？假設成立，請給出證明；假設不成立，請說明理由；圖1圖2圖3⑶繼續旋轉至如圖3的位置，延長交于，延長交于，是否仍然成立？請寫出結論，不用證明．圖1圖2圖3第五講等邊三角形經典考題賞析【例1】如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，A、C、B三點在一條直線上．AE、BD分別與CD、CE交于點M、N．(1)求證：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度數；(3)判斷△CMN的形狀【解法指導】根據等邊三角形的性質，利用全等三角形中邊角的關系可解決問題．解：(1)∵等邊三角形DAC與等邊三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等邊三角形．【變式題組】01．(天津)如圖，P、Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，那么∠BAC的大小等于__________度02．(荊州)如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動點，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由．03．如圖，在正△ABC中，D,E分別是BC、AC上的一點，且AE＝CD．AD與BE相交于點P，且BQ⊥AD于Q．求證BP＝2PQ04．(黃岡)如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q是BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連接PQ交AC于D，求DE的長．【例2】P是△ABC內一點，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度數【解法指導】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根據角平分線的特點可構造全等三角形，其方法一：在AB邊上截取；方法二：延長AC邊，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考慮∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延長AC到D，使AD＝AB，連接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【變式題組】01．如圖，D是等邊三角形ABC內一點，E為ABC外部一點，滿足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度數．02．如圖．D是△ABC外一點．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度數．【例3】如圖(1)，△ABC等邊三角形，△BDC是頂角120°的等腰三角形，以D為頂點作60°的角，它的兩邊分別與AB、AC交于點M和N，連接MN．(1)探究：MN、NC之間的關系，并加以證明;(2)假設點M、N分別在射線AB、CA上，其他條件不變，再探究線段BM、MN、NC之間的關系，在圖(2)中畫出相應的圖形．并就結論說明理由【解法指導】對于(1)，這時在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°為了把BM，MN，NC集中到一個三角形中去，將△DMB繞D點順時針旋轉120°得到△DGC．如圖(3)．從而有MB＝GC．而此時恰又有△MND≌△GN