PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2024屆高三上學期期中考試數學試題（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗,故選：D.2.若復數（i為虛數單位），則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,故，故的虛部為，故選：A3.五一國際勞動節放假三天，甲、乙兩名同學計劃去敬老院做志愿者，若甲同學在三天中隨機選一天，乙同學在前兩天中隨機選一天，且兩名同學的選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲同學三天中隨機選一天共有3種方法，乙同學在前兩天中隨機選一天共有2種方法，所以一共有種方法，他們在同一天去共有2種，所以他們在同一天去的概率為.故選：B.4.記為等差數列的前項和，若，，則（）A.4 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由，可得，解得，故故選：B5.我國西北某地區開展改造沙漠的巨大工程，該地區對近5年投入的沙漠治理經費x（億元）和沙漠治理面積y（萬畝）的相關數據統計如下表所示．治理經費x/億元34567治理面積y/萬畝1012111220根據表中所給數據，得到y關于x的線性回歸方程為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗因為，因回歸方程過定點，將其代入，得，解得，故選：C6.已知向量，，，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，同理由和可得所以，故，故選：D7.設，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C8.已知圓錐的側面積為，且圓錐的側面展開圖恰好為半圓，則該圓錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則側面積為，①底面圓的周長為，②由①②解得，，所以．設圓錐外接球的半徑為，畫出軸截面圖形，如圖所示：由勾股定理得，解得，所以外接球的表面積為,故選:D9.將函數的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個奇函數的圖象，則的一個可能取值為（）A. B. C.0 D.〖答案〗A〖解析〗函數的圖象沿軸向左平移個單位后，得到函數，函數關于奇函數，所以當時，，解得：，當時，.故選：A10.在人工智能領域，神經網絡是一個比較熱門的話題.由神經網絡發展而來的深度學習正在飛速改變著我們身邊的世界.從AlphaGo到自動駕駛汽車，這些大家耳熟能詳的例子，都是以神經網絡作為其理論基礎的.在神經網絡當中，有一類很重要的函數稱為激活函數，Sigmoid函數即是神經網絡中最有名的激活函數之一，其〖解析〗式為：.下列關于Sigmoid函數的表述，正確的是（）①Sigmoid函數是單調遞增函數；②Sigmoid函數的圖象是一個中心對稱圖形，對稱中心為；③對于任意正實數，方程有且只有一個解；④Sigmoid函數的導數滿足：.A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④〖答案〗D〖解析〗因為為單調遞減函數，所以為單調遞增函數，故①正確，因為，所以Sigmoid函數的圖象是一個中心對稱圖形，對稱中心為，故②正確，由①可知函數為單調遞增函數，又，所以，即僅當時，方程有且僅有一個解，故③錯誤，，而，所以，故④正確，故選：D．11.已知函數的零點為，函數的零點為，則下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令、，則、，在同一坐標系中分別繪出函數、、的圖像，因為函數的零點為，函數的零點為，所以，，解方程組，因函數與互為反函數，所以由反函數性質知、關于對稱，則，，，A、B、D錯誤，因為，所以在上單調遞增，因為，，所以，因為點在直線上，所以，，故C正確，故選：C．12.已知、分別是雙曲線的左、右焦點，P是雙曲線右支上的點且直線的斜率為，的平分線與x軸交于點M.若，則雙曲線C的離心率e的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據題意可設，因為平分，所以，因為，所以，則，所以，所以，所以，由，得，①因直線的斜率為，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得：，②由①②得，所以，又因為，所以，因為，所以，所以，即雙曲線C的離心率e的值為.故選：A二、填空題13.已知，，為平面內的一個動點，且滿足，則點的軌跡方程為________.〖答案〗〖解析〗設，由，則，即，即，所以點的軌跡方程為．故〖答案〗為：．14.等比數列{an}中，Sn表示前n頂和，a3＝2S2+1，a4＝2S3+1，則公比q為__．〖答案〗3〖解析〗∵a3＝2S2+1，a4＝2S3+1兩式相減可得，a4﹣a3＝2（S3﹣S2）＝2a3整理可得，.故〖答案〗為：3.15.點P是拋物線上一動點，則點P到點的距離與到直線的距離之和的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗因為拋物線方程為，所以拋物線的焦點坐標為準線方程為：，如圖所示：由拋物線的定義得：點p到的焦點的距離與到準線的距離相等，所以當A，P，F三點共線時，P到點的距離與到直線的距離之和最小，最小值為，故〖答案〗為：16.已知是定義在上的奇函數，當時，，當時，，若直線與函數的圖象恰有11個不同的公共點，則實數的取值范圍為____________.〖答案〗〖解析〗由題意，函數和的圖象都關于原點對稱，則他們的圖象交點也關于原點對稱，又，可知時，直線與函數的圖象有6個交點.當時，，即，則時，，所以，時，；時，；時，.作出函數在上的圖象，①當直線與的圖象在處相切時，二者圖象在上5個交點，設切點為點，聯立，可得，則，解得，因為，所以只有符合題意；②當直線與的圖象在處相切時，二者圖象在上7個交點，設切點為點，聯立，可得，則，解得，因為，所以只有符合題意；顯然，當時，直線與函數的圖象在時有6個交點，根據對稱性可知，此時直線與函數的圖象恰有11個不同的公共點.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.設△ABC中的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，b=2.（1）當時，求角A的度數；（2）求△ABC面積的最大值.解：（1）因為，所以，由正弦定理得，即，解得，∵a<b，∴A銳角，∴.（2）由余弦定理可得，∴，解得，∴.∴△ABC面積的最大值是3.18.某科研所為了研究土豆膨大素對土豆產量的影響，在某大型土豆種植基地隨機抽取了10畝土質相同的地塊，以每畝為單位分別統計了在土豆快速生長期使用的膨大素劑量xi（單位：g），以及相應的產量yi（單位：t），數據如下表：膨大素用量xi812816161010141412畝產量yi2.542.25.45.13.43.64.64.24并計算得，，.（1）估計該試驗田平均每畝使用膨大素的劑量與平均每畝的土豆產量;（2）求該試驗田平均每畝使用膨大素的劑量與土豆產量的樣本相關系數（精確到0.01）;（3）現統計了該大型土豆種植基地所有地塊（每塊1畝）的膨大素使用劑量，并計算得總使用劑量為1080g.已知土豆的產量與其使用膨大素的劑量近似成正比.利用以上數據估計該基地土豆的產量.附:相關系數r=，.解：（1）依題意，，，所以該試驗田平均每畝使用膨大素的劑量12g，平均每畝的土豆產量為3.9t.（2）依題意，所求樣本相關系數.（3）由已知及（1），得該基地的土豆產量的估計值為噸.19.已知平行四邊形中，，點在上，且滿足，將沿折起至的位置，得到四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，所以，由勾股定理知.折疊后，則有，，因為，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：，，則即為二面角的平面角.以為坐標原點，、所在的方向分別作為、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.于是、、，，所以，，，設平面的一個法向量，有，即，令，則，.所以即為平面的一個法向量..設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓C：的一個焦點為F（2，0），離心率為．過焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB中點為D，O為坐標原點，過O，D的直線交橢圓于M，N兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形AMBN面積的最大值．解：（1）由題意可得解得,故橢圓的方程為.（2）當直線斜率不存在時,的坐標分別為,四邊形面積為當直線斜率存在時,設其方程為點,點到直線的距離分別為則四邊形面積為,得,則所以，因為所以中點,當時,直線方程為,解得所以.當時,四邊形面積的最大值綜上四邊形面積的最大值為.21.已知函數.（1）若，求函數的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）令，過點作曲線的兩條切線，若兩切點橫坐標互為倒數，求證：點一定在第一象限內.（1）解：當時，的定義域為，令，得，令，得．因此，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，所以.（2）解：令，,若，存在，與恒成立矛盾，所以必有，，，設方程兩根分別為，則，所以方程必有一正根，記作，所以函數在單調遞增，在,單調遞減，若滿足條件，必有，注意,則有，代入式，解得，所以；（3）證明：因為，設兩切點為，,，不妨設在的右邊，則，，所以，兩點處的切線方程分別為，，令，解得，，因為，所以，要證明，即證明，因為，即證，設，則，所以在上是增函數，所以，則，所以，故點一定第一象限內.（二）選考題[選修4-4：坐標系與參數方程]22.C1的參數方程為（α為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.（1）把C1的參數方程化為極坐標方程；（2）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ<2π）.（1）解：曲線C1的參數方程為，（α為參數），轉換為直角坐標方程為（x-2）2+（y-4）2=4，轉換為極坐標方