專題13二次函數的應用（10個高頻考點）（強化訓練）【題型1圖形面積或周長問題】 1．（2022·安徽·統考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l（ⅰ）修建一個“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設點P1的橫坐標為m0<m≤6，求柵欄總長l與（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P42.（2022·內蒙古錫林郭勒盟·校考模擬預測）某廣告公司設計一幅周長為16米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米2000元．設矩形一邊長為x，面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）設計費能達到24000元嗎？為什么？（3）當x是多少米時，設計費最多？最多是多少元？3．（2022·河北廊坊·統考二模）如圖1所示為某公司生產的A型活動板房，成本是每個395元，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AD=4米，寬AB=3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米．(1)按如圖1所示建立平面直角坐標系，求該拋物線的解析式．(2)現將A型活動板房改為B型活動板房．如圖2，在拋物線與AD之間的區域內加裝一扇長方形窗戶框架FGMN，點G、M在AD上，點N、F在拋物線上，長方形窗戶框架的成本為10元/米，設Mm,0，且滿足12≤m≤1，當窗戶框架FGMN的周長最大時，每個B型活動板房的成本是多少？（每個B型活動板房的成本＝每個A(3)根據市場調查，以單價600元銷售（2）中窗戶框架周長最大時的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）最大？最大利潤是多少？4．（2022·黑龍江哈爾濱·統考一模）如圖，已知矩形ABCD的周長為12，E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點，若AB＝x，四邊形EFGH的面積為y.(1)請直接寫出y與x之間的函數關系式；(2)根據(1)中的函數關系式，計算當x為何值時，y最大，并求出最大值．5．（2022·四川綿陽·統考二模）如圖，某養殖戶利用一面長20m的墻搭建矩形養殖房，中間用墻隔成兩間矩形養殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34m，設AB的長為x米，養殖房總面積為S.(1)求養殖房的最大面積.(2)該養殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數量不少于小鵝數量的2倍.該養殖戶有哪幾種購買方案？【題型2圖形運動問題】 6．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學校考三模）如圖，在△ABC中，BC=10，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（點D不與點A、B重合），DE與AM交于點N，且DE∥BC，以DE為邊，在點A的下方做正方形(1)當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長．(2)設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，則當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？7．（2022·安徽黃山·統考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．現有動點P從點A出發，沿線段AC向點C方向運動；動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是8cm/s，點Q的速度是4cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．求：(1)當t＝3時，P、Q兩點之間的距離是多少？(2)若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式．(3)當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？8．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．設P，Q分別為BD，BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度均為1cm/s，設P，Q移動的時間為t秒（0＜t≤4）．（1）寫出△PBQ的面積S（cm2）與時間t（s）的函數關系式，當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？（2）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？9．（2022·吉林長春·統考一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，AB＝55，BD＝45．動點P從點A出發，沿AB—BC向終點C運動，點P在AB上的運動速度是每秒55個單位長度，在BC上的運動速度是每秒5個單位長度．當點P不與△ABC頂點重合時，以PB為角的一邊作∠BPQ＝∠A，角的另一邊交BC邊或AB邊于點Q，以PQ為一邊在PQ的下方作正方形PQMN．設點P的運動時間為t秒，正方形PQMN與△ABC（1）求∠C的正切值．（2）用t的代數式表示PB的長．（3）當點P在AB上運動時，求S的最大值以及S取得最大值時t的值．

（4）當正方形PQMN的頂點在邊AC上時，直接寫出t的值．10．（2022·山東青島·統考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，連接AC，點O為AC的中點，點E為邊BC上的一個動點，連接OE，作OF⊥OE，交邊AB于點F．已知點E從點B開始，以1cm/s的速度在線段BC（1）當t為何值時，OE//AB？（2）連接EF，設△OEF的面積為ycm2，求y與（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S△OEF:S（4）連接OB，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OB恰好將△OEF分成面積比為1:2的兩部分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【題型3拱橋問題】11．（2022·浙江紹興·模擬預測）一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系．①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分．①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？12．（2022·甘肅定西·統考模擬預測）有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標系中．(1)求這條拋物線所對應的函數關系式；(2)如圖，在對稱軸右邊1m處，橋洞離水面的高是多少？13．（2022·廣西河池·統考二模）如圖1是一座拋物線型拱橋C1側面示意圖．水面寬AB與橋面長CD均為24m，點E在CD上，DE=6m，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為(1)求橋拱頂部O離水面的距離；(2)如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜是形狀相同的拋物線C2，C3，其最低點與橋面CD的距離均為1m．求拱橋拋物線C114．（2022·河北唐山·統考二模）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬OA=8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移mm>0個單位長度，平移后的函數圖象在8≤x≤9時，y15．（2022·河南·模擬預測）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=?16x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為（1）求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【題型4銷售問題】 16.（2022·遼寧錦州·統考中考真題）某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，且當x=15時，y=50；當x=17時，y=30．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？17．（2022·遼寧·統考中考真題）某蔬菜批發商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監督部門規定其售價每千克不高于28元．經市場調查發現，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數關系式；(2)當每千克山野菜的售價定為多少元時，批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？18．（2022·遼寧營口·統考中考真題）某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷，該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發現：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數關系，其部分對應數據如下表所示：售價（元/本）…22232425…每天銷售量（本）…80787674…(1)求A，B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元；(2)該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本B款紀念冊的利潤，且這兩款紀念冊每天銷售總數不變，設A款紀念冊每本降價m元．①直接寫出B款紀念冊每天的銷售量（用含m的代數式表示）；②當A款紀念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？19．（2022·貴州銅仁·統考中考真題）為實施“鄉村振興”計劃，某村產業合作社種植了“千畝桃園”．2022年該村桃子豐收，銷售前對本地市場進行調查發現：當批發價為4千元/噸時，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據測算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產業合作社決定，批發價每噸不低于4千元，不高于5.5千元．請解答以下問題：(1)求每天銷量y（噸）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當批發價定為多少時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？20．（2022·湖北武漢·統考中考真題）某超市銷售一種進價為18元/千克的商品，經市場調查后發現，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）有如下表所示的關系：銷售單價x（元/千克）…2022.52537.540…銷售量y（千克）…3027.52512.510…(1)根據表中的數據在下圖中描點(x,y)，并用平滑曲線連接這些點，請用所學知識求出y關于x的函數關系式；(2)設該超市每天銷售這種商品的利潤為w（元）（不計其它成本），①求出w關于x的函數關系式，并求出獲得最大利潤時，銷售單價為多少；②超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，求w=240（元）時的銷售單價．【題型5投球問題】 21．（2022·甘肅蘭州·統考中考真題）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投擲實心球，實心求行進路線是一條拋物線，行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系如圖2所示，拋出時起點處高度為53m，當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3(1)求y關于x的函數表達式；(2)根據蘭州市高中階段學校招生體有考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m，此項考試得分為滿分10分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．22．（2022·河北保定·校考一模）圖1是運動員訓練使用的帶有乒乓球發射機的乒乓球臺示意圖，水平臺面的長和寬分別為2.8m和1.6m，中間球網高度為0.15m，發射機安裝于臺面左側邊緣，能以不同速度向右側不同方向水平發射乒乓球，發射點距臺面高度為0.4m．乒乓球（看成點）在發射點P獲得水平速度v（單位：m/s）后，從發射點向右下飛向臺面，點Q是下落路線的某位置，忽略空氣阻力，實驗表明：P，Q的豎直距離h（單位：m）與飛出時間t（單位：s）的平方成正比，且當t=1時，?=5；P，Q的水平距離是vt（單位：m），如圖2．(1)設v=10m/s．用t表示點Q的橫坐標x和縱坐標y，并求出y與x的函數關系式；（不必寫x(2)在（1）的條件下，①若發球機垂直于底線向正前方發球，根據（1）中的函數關系式及題目中的數據，判斷這次發球能否過網？是否出界？并說明理由；②若球過網后的落點是右側臺面內的點M（如圖3，點M距底線0.3m，邊線0.3m），問發球點O在底線上的哪個位置？（參考數據：7≈2.6(3)將乒乓球發射機安裝于臺面左側底線的中點，若乒乓球的發射速度v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網右側臺面上（不接觸中網和底線），請直接寫出v的取值范圍．（結果保留根號）23．（2022·山東青島·統考一模）北京2022年冬奧會跳臺滑雪比賽在張家口賽區進行，如圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1:y=?112x2+(1)當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C2的函數關系式（不要求寫出自變量x(2)在（1）的條件下，求運動員在落在小山坡上之前滑行的水平距離，并求出在滑行期間距離小山坡的最大高度是多少米？(3)當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過2.3米時，求b的取值范圍．24．（2022·河北承德·統考模擬預測）如圖，在某中學的一場籃球賽中，小明在距離籃圈中心7.3m（水平距離）遠處跳起投籃，已知球出手時離地面209(1)建立如圖的平面直角坐標系，求籃球運行路線所在拋物線的函數表達式；(2)場邊看球的小麗認為：小明投出的此球不能命中籃圈中心．①請通過計算說明小麗判斷的正確性；②若球出手的角度和力度都不變，小明應該向前走或向后退多少米才能命中籃圈中心？(3)在球出手后，未達到最高點時，被防守隊員攔截下來稱為蓋帽，但球到達最高點后，處于下落過程時，防守隊員再出手攔截，屬于犯規．在（1）的條件下，防守方球員小亮前來蓋帽，已知小亮的最大摸球高度為3.19m，則他應在小明前面多少米范圍處跳起攔截才能蓋帽成功？25．（2022·山東青島·統考二模）如圖1，排球場長為18m，寬為9m，網高為2.24m．隊員站在底線O點處發球，球從點O的正上方1.9m的C點發出，運動路線是拋物線的一部分，當球運動到最高點A時，高度為2.88m．即BA＝2.88m．這時水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標系，如圖2．（1）若球向正前方運動（即x軸垂直于底線），求球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系式（不必寫出x取值范圍）．并判斷這次發球能否過網？是否出界？說明理由；（2）若球過網后的落點是對方場地①號位內的點P（如圖1，點P距底線1m，邊線0.5m），問發球點O在底線上的哪個位置？（參考數據：2取1.4）【題型6噴水問題】 26．（2022·江西·模擬預測）如圖所示的是小青同學設計的一個動畫示意圖，某彈球P（看作一點）從數軸上表示?8的點A處彈出后，呈拋物線y=?x(1)根據題意建立平面直角坐標系，并計算彈球第一次彈出的最大高度．(2)當彈球P在數軸上兩個相鄰落點之間的距離為4時，求此時下落的拋物線的解析式．(3)若彈球經過n（n為正整數）次自由彈出后恰好落在數軸上的點B處，請用含n的代數式直接寫出點B表示的數．27．（2022·北京昌平·統考二模）如圖，在一次學校組織的社會實踐活動中，小龍看到農田上安裝了很多灌溉噴槍，噴槍噴出的水流軌跡是拋物線，他發現這種噴槍射程是可調節的，且噴射的水流越高射程越遠，于是他從該農田的技術部門得到了這種噴槍的一個數據表，水流的最高點與噴槍的水平距離記為x，水流的最高點到地面的距離記為y．y與x的幾組對應值如下表：x（單位：m）01132534…y（單位：m）1951131372…(1)該噴槍的出水口到地面的距離為________m；(2)在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組數值所對應的點，并畫出y與x的函數圖像；(3)結合（2）中的圖像，估算當水流的最高點與噴槍的水平距離為8m時，水流的最高點到地面的距離為________m（精確到1m）．根據估算結果，計算此時水流的射程約為________m（精確到28．（2022·浙江臺州·模擬預測）用各種盛水容器可以制作精致的家用流水景觀（如圖1）．科學原理：如圖2，始終盛滿水的圓體水桶水面離地面的高度為H（單位：cm），如果在離水面豎直距離為h（單校：cm）的地方開大小合適的小孔，那么從小孔射出水的射程（水流落地點離小孔的水平距離）s（單位：cm）與h的關系為s2=4h（H—h）．應用思考：現用高度為20cm的圓柱體塑料水瓶做相關研究，水瓶直立地面，通過連注水保證它始終盛滿水，在離水面豎直距高hcm處開一個小孔．（1）寫出s2與h的關系式；并求出當h為何值時，射程s有最大值，最大射程是多少?（2）在側面開兩個小孔，這兩個小孔離水面的豎直距離分別為a，b，要使兩孔射出水的射程相同，求a，b之間的關系式；（3）如果想通過墊高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔離水面的豎直距離．29．（2022·山東臨沂·統考一模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌底部的距離）是1米，當噴射出的水流距離噴灌架水平距離為20米時，達到最大高度11米，現將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.3米的石榴樹AB，因為剛剛被噴灑了農藥，近期不能被噴灌．(1)求水流運行軌跡滿足的函數關系式；(2)若將噴灌向后移動5米，通過計算說明是否可避開對這棵石榴樹的噴灌？(3)設噴射水流與坡面OA之間的鉛直高度為h，求h的表達式，并求出x為何值時，h有最大值，h最大值是多少？30．（2022·北京門頭溝·統考一模）某景觀公園內人工湖里有一組噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是一條拋物線．現測量出如下數據，在距水槍水平距離為d米的地點，水柱距離湖面高度為?米．d（米）0d12.03d…?（米）?1.62.12.52.10…(1)在下邊網格中建立適當平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑曲線連接．(2)結合表中所給數據或所畫的圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落點距水槍的水平距離是多少？(4)現公園想通過噴泉設立一個新的游玩項目．準備通過調節水槍高度使得公園的平頂游船能從噴泉最高點的正下方通過（兩次水柱噴出水嘴的初速度相同），如果游船寬度為3米，頂棚到水面的高度為2米，為了避免游船被淋到，頂棚到水柱的垂直距離不小于0.8米．問應如何調節水槍的高度才能符合要求？請通過計算說明理由．【題型7增長率問題】31．（2022·浙江麗水·校聯考三模）你知道嗎？股票每天的漲、跌幅均不超過10%，即當漲了原價的10%后，便不能再漲，叫做漲停；當跌了原價的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后兩天時間又漲回到原價，若這兩天此股票股價的平均增長率為x，則x滿足的方程是（）A．（1+x）2=1110 B．x+2x=1110 C．（1+x）2=10932．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學校考三模）為執行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為64元，已知兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率為______．33．（2022·安徽·統考中考真題）某廠今年一月份新產品的研發資金為a元，以后每月新產品的研發資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年三月份新產品的研發資金y（元）關于x的函數關系式為y=________．34．（2022春·江蘇無錫·一模）在氣候對人類生存壓力日趨加大的今天，發展低碳經濟，全面實現低碳生活成為人們的共識，某企業采用技術革新，節能減排，經分析前5個月二氧化碳排放量y(噸)與月份x(月)之間的函數關系是y=－2x+50．（1）隨著二氧化碳排放量的減少，每排放一噸二氧化碳，企業相應獲得的利潤也有所提高，且相應獲得的利潤p(萬元)與月份x(月)的函數關系如圖所示，那么哪月份，該企業獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少萬元？（2）受國家政策的鼓勵，該企業決定從6月份起，每月二氧化碳排放量在上一個月的基礎上都下降a%，與此同時，每排放一噸二氧化碳，企業相應獲得的利潤在上一個月的基礎上都增加50%，要使今年6、7月份月利潤的總和是今年5月份月利潤的3倍，求a的值（精確到個位）．（參考數據：51=7.14，52=7.21，53=7.28，54=7.35）35．（2022秋·河北保定·九年級二模）芯片行業是制約我國工業發展的主要技術之一．經過大量科研、技術人員艱苦攻關，我國芯片有了新突破．某芯片實現國產化后，芯片價格大幅下降．原來每片芯片的單價為200元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都為x，經過兩次降價后的價格為y（元）．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)如果該芯片經過兩次降價后每片芯片單價為128元，求每次降價的百分率．【題型8車過隧道問題】 36．（2022·安徽·校聯考一模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長方形構成，已知OA=12米，OB=4米，拋物線頂點D到地面OA的垂直距離為10米，以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸建立直角坐標系．（1）求拋物線的解析式；（2）由于隧道較長，需要在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們到地面的高度相同，如果燈離地面的高度不超過8米，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？（3）一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4m，最高處與地面距離為6m，隧道內設雙向行車道，雙向行車道間隔距離為0.5m，交通部門規定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5m，才能安全通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道？37．（2022·湖南邵陽·統考中考模擬）如圖，某隧道口的橫截面是拋物線形，已知路寬AB為6米，最高點離地面的距離OC為5米．以最高點O為坐標原點，拋物線的對稱軸為y軸，1米為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，求:（1）以這一部分拋物線為圖象的函數解析式，并寫出x的取值范圍；（2）有一輛寬2.8米，高1米的農用貨車（貨物最高處與地面AB的距離）能否通過此隧道？38．（2022·安徽蕪湖·校聯考三模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現在O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；（2）求出這條拋物線的函數解析式；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．39．（2022·山東德州·統考二模）如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個矩形“支撐架”AD﹣DC﹣CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？40．（2022·江蘇南京·統考二模）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬2．5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明．【題型9行程問題】 41．（2022·江蘇南通·統考二模）某人做跑步健身運動，每千米消耗的熱量y（單位：kcal）與其跑步的速度x（單位：km/h）之間的函數關系如圖所示，其中線段AB的表達式為y＝2x＋50（2.5≤x≤10），點C的坐標為（14，82），即步行速度為14km/h時他每步行1km的消耗熱量是82kcal．（1）求線段BC的表達式；（2）若從甲地到乙地全程為26km，其中有6km是崎嶇路，他步行的最高速度是5km/h，20km是平坦路，他步行的最高速度是12km/h，那么在不考慮其他因素的情況下，他從甲地到乙地至多消耗多少kcal的熱量？42．（2018·安徽蚌埠·統考中考模擬）臺州人民翹首以盼的樂清灣大橋于2018年9月28日正式通車，經統計分析，大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數，當橋上的車流密度達到220輛/千米的時候就造成交通堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米，車流速度為80千米/小時，研究證明：當20≤x≤220時，車流速度v是車流密度x的一次函數．（1）求大橋上車流密度為50/輛千米時的車流速度；（2）在某一交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于60千米/小時且小于80千米/小時，應把大橋上的車流密度控制在什么范圍內？（3）車流量（輛/小時）是單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，即：車流量=車流速度×車流密度，求大橋上車流量y的最大值．43．（2018·湖北襄陽·校聯考中考模擬）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=kx（x≥1）交于點A，且AB=1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t=1時h=5，M，A的水平距離是vt（1）求k，并用t表示h；（2）設v=5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關系式（不寫x的取值范圍），及y=13時運動員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．44．（2017·河北·模擬預測）我市某海域內有一艘漁船發生故障，海事救援船接到求救信號后立即從港口出發沿直線勻速前往救援，與故障漁船會合后立即將拖回．如圖，折線段O－A－B表示救援船在整個航行過程中離港口的距離y（海里）隨航行時間x（分鐘）的變化規律．拋物線y=ax2根據圖象提供的信息，解答下列問題：（1）救援船行駛了海里與故障漁船會合；（2）求救援船的前往速度；（3）若該故障漁船在發出救援信號后40分鐘內得不到營救就會有危險，請問求援船的前往速度每小時至少是多少海里，才能保證漁船的安全．45．（2022·江蘇宿遷·統考二模）大橋上正在行駛的甲車，發現正前方27m處沿同一方向行駛的乙車（此時v甲>v乙）后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）與速度v（單位：m/s）的關系式s=?12v2(1)求當甲車減速5s(2)若乙車一直勻速行駛，經過多長時間兩車相距的最近距離是2.5m【考點10其他問題】46．（2022·浙江寧波·統考中考真題）為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的種植，經過試驗，其平均單株產量y千克與每平方米種植的株數x（2≤x≤8，且x為整數）構成一種函數關系．每平方米種植2株時，平均單株產量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克．(1)求y關于x的函數表達式．(2)每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？47.（2022·河北唐山·統考三模）北京冬奧會的召開激起了人們對冰雪運動的極大熱情，如圖是某小型跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，圖中的拋物線C1:y=?112x2+(1)當小張滑到離A處的水平距離為6米時，其滑行高度最大為172米，則b=______，c=(2)在（1）的條件下，當小張滑出后離A的水平距離為多少米時，他滑行高度與小山坡的豎直距離為43(3)小張若想滑行到最大高度時恰好在坡頂正上方，且與坡頂距離不低于3米，求跳臺滑出點的最小高度．48.（2022·山東·統考三模）如圖，是某同學正在設計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個點，且AO=2，在ON上方有五個臺階T1~T5（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，臺階T1到x軸距離OK=10．從點A(1)求點A的橫坐標，且在圖中補畫出y軸，并直接指出點P會落在哪個臺階上；(2)當點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求拋物線C的表達式．49.（2022·河北邯鄲·校聯考三模）某農作物的生長率p與溫度t（℃）有如下關系：如圖1，當10≤t≤25時可近似用函數p=150t?15(1)求h的值；(2)按照經驗，該作物提前上市的天數m（天）與生長率p滿足函數關系如表：生長率p0.20.250.30.35提前上市的天數m（天）051015①請運用已學的知識，求m關于p的函數解析式；②請用含t的代數式表示m．(3)天氣寒冷，大棚加溫可改變農作物生長速度，在（2）的條件下，原計劃大棚恒溫20℃時，每天的成本為200元，該作物30天后上市時，根據市場調查：每提前一天上市（一次售完），銷售額可增加800元．因此給大棚繼續加溫，加溫后每天成本w（元）與大棚溫度t（℃）之間的關系如圖2．問提前上市多少天時增加的利潤最大？并求這個最大利潤．（農作物上市后大棚暫停使用）50．（2022·江蘇揚州·統考二模）某公司分別在A、B兩城生產一批同種產品，共100件．A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系為y=ax2+bx+c，當x=10時，y=400；當x=20時，y=1000(1)A城生產產品的成本y（萬元）與產品數量x（件）之間的函數關系式；(2)當A、B兩城生產這批產品的總成本的和最少時，求A、B兩城各生產多少件？(3)從A城把該產品運往C、D兩地的費用分別為2萬元/件和3萬元/件；從B城把該產品運往C、D兩地的費用分別為1萬元/件和2萬元/件．C地需要90件，D地需要10件，求該公司在A、B兩城將這批產品生產出來以及將產品運往C、D兩地所花費的總成本的和的最小值．專題13二次函數的應用（10個高頻考點）（強化訓練）【題型1圖形面積或周長問題】 1．（2022·安徽·統考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．(1)求此拋物線對應的函數表達式；(2)在隧道截面內（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l（ⅰ）修建一個“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設點P1的橫坐標為m0<m≤6，求柵欄總長l與（ⅱ）現修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4【答案】(1)y＝?16x(2)（ⅰ）l＝?12m2＋2m＋24，l的最大值為26；（ⅱ）方案一：最大面積27，?30＋9≤P1橫坐標≤30；方案二：最大面積814?21＋9【分析】（1）通過分析A點坐標，利用待定系數法求函數解析式；（2）（ⅰ）結合矩形性質分析得出P2的坐標為（m，－16m2（ⅱ）設P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數的性質分析最值，從而利用數形結合思想確定取值范圍．【詳解】（1）由題意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是拋物線的頂點，設拋物線對應的函數表達式為y＝ax2＋8，將A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝?1∴拋物線對應的函數表達式為y＝?16x（2）（ⅰ）∵點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，∴P2的坐標為（m，?16m∴P1P2＝P3P4＝MN＝?16m2＋8，P2P3＝2∴l＝3（?16m2＋8）＋2m＝?12m2＋2m＋24＝?1∵?1∴當m＝2時，l有最大值為26，即柵欄總長l與m之間的函數表達式為l＝?12m2＋2m＋24，（ⅱ）方案一：設P2P1＝n，則P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面積為（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴當n＝3時，矩形面積有最大值為27，此時P2P1＝3，P2P3＝9，令?16x解得：x＝±30∴此時P1的橫坐標的取值范圍為?30＋9≤P1橫坐標≤30方案二：設P2P1＝n，則P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面積為（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋81∵－1＜0，∴當n＝92時，矩形面積有最大值為81此時P2P1＝92，P2P3＝9令?16x2＋8＝解得：x＝±21∴此時P1的橫坐標的取值范圍為?21＋92≤P1橫坐標≤【點睛】本題考查二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式，準確識圖，確定關鍵點的坐標，利用數形結合思想解題是關鍵．2.（2022·內蒙古錫林郭勒盟·校考模擬預測）某廣告公司設計一幅周長為16米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米2000元．設矩形一邊長為x，面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）設計費能達到24000元嗎？為什么？（3）當x是多少米時，設計費最多？最多是多少元？【答案】（1）S=﹣x2+8x，其中0＜x＜8；（2）能，理由見解析；（3）當x=4米時，矩形的最大面積為16平方米，設計費最多，最多是32000元．【分析】（1）由矩形的一邊長為x、周長為16得出另一邊長為8﹣x，根據矩形的面積公式可得答案；（2）由設計費為24000元得出矩形面積為12平方米，據此列出方程，解之求得x的值，從而得出答案；（3）將函數解析式配方成頂點式，可得函數的最值情況．【詳解】解：（1）∵矩形的一邊為x米，周長為16米，∴另一邊長為（8﹣x）米，∴S=x（8﹣x）=?x2+8x即S=?x2+8x（2）能，理由如下：∵設計費能達到24000元，∴當設計費為24000元時，面積為24000÷200=12（平方米），即?x2+8x=12，解得：x∴設計費能達到24000元．（3）∵S=?x∴當x=4時，S最大值=16，∴當x=4米時，矩形的最大面積為16平方米，設計費最多，最多是32000元．3．（2022·河北廊坊·統考二模）如圖1所示為某公司生產的A型活動板房，成本是每個395元，它由長方形和拋物線構成，長方形的長AD=4米，寬AB=3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米．(1)按如圖1所示建立平面直角坐標系，求該拋物線的解析式．(2)現將A型活動板房改為B型活動板房．如圖2，在拋物線與AD之間的區域內加裝一扇長方形窗戶框架FGMN，點G、M在AD上，點N、F在拋物線上，長方形窗戶框架的成本為10元/米，設Mm,0，且滿足12≤m≤1，當窗戶框架FGMN的周長最大時，每個B型活動板房的成本是多少？（每個B型活動板房的成本＝每個A(3)根據市場調查，以單價600元銷售（2）中窗戶框架周長最大時的B型活動板房，每月能售出100個，而單價每降低10元，每月能多售出20個．不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）最大？最大利潤是多少？【答案】(1)y=?(2)每個B型活動板房的成本是450元(3)銷售單價n（元）定為550元時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）最大，最大利潤是20000元【分析】（1）根據圖形和平面直角坐標系可設該拋物線的解析式為y=ax2+c，易得點D和點E（2）根據點M、N的橫坐標相等，求出點N的坐標，再根據長方形的周長公式和二次函數的性質求法解答即可；（3）根據題意得到W與n的二次函數，根據二次函數的性質求解即可．(1)解：由題意，設該拋物線的解析式為y=ax∵長方形的長AD=4米，寬AB=3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米，∴OH=AB=3，OD=OA=2，OE=EH-OH=1，∴E（0，1），D（2，0），將E（0，1），D（2，0）代入y=ax4a+c=0c=1，解得：a=?∴拋物線的解析式為y=?1(2)解：∵M（m，0），∴N（m，?1由題意，MN=FG=?14m2+1，GM=FN∴窗戶框架FGMN的周長為2（2m+?14m∵?12＜0，∴當m=1時，周長最大，最大值為5.5，此時，每個B型活動板房的成本是395+5.5×10=450元．(3)解：根據題意，得：W=（(n?450)(100+20×==?2=?2(n?550)∵-2＜0，∴當n=550時，W最大，最大值為20000，故銷售單價n（元）定為550元時，每月銷售B型活動板房所獲利潤W（元）最大，最大利潤是20000元．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，理解題意，正確列出二次函數的解析式并熟練掌握二次函數的性質是解答的關鍵．4．（2022·黑龍江哈爾濱·統考一模）如圖，已知矩形ABCD的周長為12，E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點，若AB＝x，四邊形EFGH的面積為y.(1)請直接寫出y與x之間的函數關系式；(2)根據(1)中的函數關系式，計算當x為何值時，y最大，并求出最大值．【答案】(1)y＝－12x2＋3x；(2)當x＝3時，y【詳解】分析：（1）由矩形的周長為12，AB=x，結合矩形的性質可得BC=6-x，然后由E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點可得四邊形EFGH的面積是矩形面積的一半，從而列出函數關系式；（2）由關系式為二次函數以及二次項系數小于0可得四邊形EFGH的面積有最大值，然后利用配方法將拋物線的解析式寫成頂點式，從而得到x取什么值時，y取得最大值，以及最大值是多少.詳解：(1)∵矩形ABCD的周長為12，AB＝x，∴BC＝12×12－x＝6－x∵E，F，G，H為矩形ABCD的各邊中點，∴y＝12x(6－x)＝－12x2＋3即y＝－12x2＋3x(2)y＝－12x2＋3x＝－12(x－3)∵a＝－12∴y有最大值，當x＝3時，y有最大值，為4.5.點睛：本題是一道有關二次函數應用的題目，解題的關鍵是依據矩形的性質結合已知列出二次函數關系式，然后利用二次函數的最值解決問題.5．（2022·四川綿陽·統考二模）如圖，某養殖戶利用一面長20m的墻搭建矩形養殖房，中間用墻隔成兩間矩形養殖房，每間均留一道1m寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34m，設AB的長為x米，養殖房總面積為S.(1)求養殖房的最大面積.(2)該養殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并且小雞的數量不少于小鵝數量的2倍.該養殖戶有哪幾種購買方案？【答案】(1)108平方米(2)5種購買方案.小鵝05101520小雞8073665952【分析】（1）根據矩形的面積列出函數解析式，再根據函數的性質求最大值；（2）設買小雞a只，小鵝b只，根據5a＋7b＝400，且a≥2b，求出a，b的整數解即可．【詳解】（1）解：由題意得：S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，∵﹣3＜0，∴當x＝6時，S有最大值，最大值為108，∴養殖房的最大面積為108平方米；（2）設買小雞a只，小鵝b只，則5a+7b＝400，且a≥2b，∴a＝400?7b5＝80﹣7b5≥2則b≤40017，且b又∵a，b都為非負整數，∴b可為0，5，10，15，20，此時a對應為80，73，66，59，52，∴該養殖戶共有5種購買方案：方案1：小雞80只，小鵝0只；方案2：小雞73只，小鵝5只；方案3：小雞66只，小鵝10只；方案4：小雞59只，小鵝15只；方案5：小雞52只，小鵝20只．【點睛】本題考查二次函數的應用，關鍵是根據矩形的面積列出函數解析式．【題型2圖形運動問題】 6．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學校考三模）如圖，在△ABC中，BC=10，BC邊上的高AM=6，D，E分別是邊AB，AC上的兩個動點（點D不與點A、B重合），DE與AM交于點N，且DE∥BC，以DE為邊，在點A的下方做正方形(1)當正方形DEFG的邊GF在BC上時，求正方形DEFG的邊長．(2)設DE=x，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為y，則當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？【答案】(1)正方形DEFG的邊長為154(2)當x=5時，y有最大值為15．【分析】（1）由相似三角形的對應邊成比例，可得DEBC=ANAM，又由正方形DEFG的各邊都相等，即可求得（2）①由正方形DEFG在△ABC的內部，可得△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，根據正方形面積的求解方法，易得y=x2，s根據二次函數的性質求得此時y的最大值；②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，由△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例，可得y=?3【詳解】（1）解：當正方形DEFG的邊GF在BC上時，則DE∥∵△ADE∽△ABC，∴DEBC∵BC=10，∴AN=AM?MN=6?DE，∴DE10解之得DE=15∴當正方形DEFG的邊GF在BC上時，正方形DEFG的邊長為154（2）解：①當正方形DEFG在△ABC的內部時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積為正方形DEFG的面積，∵DE=x，∴y=x∵1>0，∴在對稱軸的右側，函數y的值隨x的增大而增大，∴當x=154時，y取最大值為②當正方形DEFG的一部分在△ABC的外部時，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC而AN=AM?MN=AM?EP，∴x10解得EP=6?3所以y=x(6?3即y=?3∵y=?35x∴當x=5時，y有最大值為15，∵22516∴△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積的最大值為15．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，以及正方形的性質與二次函數的性質．此題綜合性很強，解題時要仔細分析．7．（2022·安徽黃山·統考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40cm，BC＝30cm．現有動點P從點A出發，沿線段AC向點C方向運動；動點Q從點C出發，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是8cm/s，點Q的速度是4cm/s，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．求：(1)當t＝3時，P、Q兩點之間的距離是多少？(2)若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式．(3)當t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？【答案】(1)20m(2)s=?16(3)t=3秒或t=40【分析】(1)在RtΔCPQ中，當t＝3時，可求得CP，(2)已知點P、Q的運動速度和運動時間，又知AC、BC的長，可求得CP，CQ的長，利用三角形的面積公式即可求解；(3)應分兩種情況進行求解：①ΔPQC∽ΔABC(1)解：由題意得，AP=8t，CQ=4t，則CP=AC?AP=40?8t，當t=3時，CP=AC?AP=40?8×3=16，CQ=4×3=12，在RtΔCPQ中，∴當t＝3時，P、Q兩點之間的距離是20m．(2)解：由題意得，AP=8t，CQ=4t，則CP=AC?AP=40?8t，∴s=1(3)解：由題意得，AP=8t，CQ=4t，則CP=AC?AP=40?8t，AC＝40，BC＝30，若ΔPQC∽ΔABC，則CPAC=若ΔQPC∽ΔABC，則CQAC=綜上可知，t=3秒或t=4011秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質以及勾股定理的應用等，分類討論的思想是解題的關鍵．8．（2022·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學校考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm．設P，Q分別為BD，BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度均為1cm/s，設P，Q移動的時間為t秒（0＜t≤4）．（1）寫出△PBQ的面積S（cm2）與時間t（s）的函數關系式，當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？（2）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？【答案】（1）S＝﹣310（t﹣52）2+158，當t＝52時，S有最大值158；（2）t＝5【分析】（1）過點P作PM⊥BC，垂足為M，從而得到ΔBPM∽ΔBDC，根據相似比例求出PM的長，可以得到用t表示面積的函數解析式，再求最大值；（2）分三種情況討論三角形PBQ為等腰三角形，即BP=BQ，BQ=PQ和BP=PQ，再分別求t的值．【詳解】解：（1）矩形ABCD中，BD=A過點P作PM⊥BC，垂足為M，∴ΔBPM∽ΔBDC∴5?t5∴PM=3∴S=1∴當t=52時，S有最大值（3）①當BP=BQ時，5?t=t，∴t=5②當BQ=PQ時，作QE⊥BD，垂足為E，此時，BE=1∵∠BEQ=∠C,∠EBQ=∠CBD,∴ΔBQE∽ΔBDC∴BEBC=BQ∴t=25③當BP=PQ時，作PF⊥BC，垂足為F，此時，BF=1∵∠PFB=∠C,∠PBF=∠DBC,∴ΔBPF∽ΔBDC∴BFBC=BP∴t=40∴t=52或2513或40【點睛】本題主要考查二次函數的應用和相似三角形的判定和性質，注意分情況討論是解題關鍵．9．（2022·吉林長春·統考一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于點D，AB＝55，BD＝45．動點P從點A出發，沿AB—BC向終點C運動，點P在AB上的運動速度是每秒55個單位長度，在BC上的運動速度是每秒5個單位長度．當點P不與△ABC頂點重合時，以PB為角的一邊作∠BPQ＝∠A，角的另一邊交BC邊或AB邊于點Q，以PQ為一邊在PQ的下方作正方形PQMN．設點P的運動時間為t秒，正方形PQMN與△ABC（1）求∠C的正切值．（2）用t的代數式表示PB的長．（3）當點P在AB上運動時，求S的最大值以及S取得最大值時t的值．

（4）當正方形PQMN的頂點在邊AC上時，直接寫出t的值．【答案】（1）2；（2）5t?5；（3）t=59時，S有最大值為25；（4）t=59【分析】（1）利用勾股定理求出∠C的鄰邊，然后利用銳角三角函數定義求即可（2）當0<t<1時，求出AP=55t，可得PB=AB?AP=55?55t，當1＜（3）當點N在AC上時，由AB=AC，可得∠ABC=∠C，根據四邊形OQMN為正方形，可證△PBQ∽△ABC，由性質解得t=59；當0＜t＜59時，可得S矩形PQGF=-100t?12（4）當點P在AB上時，由（2）得t=59，當點P在BC上時，過Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，可證△BQP∽△BAC，可確BQ=25t?1，再證△QRP∽△BDA，可求QR=4t?1,RP=3t?1，根據點M與點N的位置可分兩種情況，點N在AC上，過N作NS⊥BC于S，△QRP≌△PSN（AAS），可確CS=19-9t，由三角函數tanC=NSCS=3t?119?9t=2，當點M在AC上，過P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，求出BZ=ZQ=12【詳解】解：（1）在Rt△ABD中∵AB＝55，BD＝4由勾股定理AD=∴DC=AC?AD=55∴在Rt△BCD中，tanC=BDCD=（2）∵AB=55，AP=55t，，當AP=AB時，即，55t=5在Rt△BDC中，由勾股定理，BC=BPB=5∴t=3，當0<t<1時，∴PB=AB?AP=55當1＜t≤3時，PB=5t?1=（3）當點N在AC上時，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵四邊形OQMN為正方形，∴PQ∥AC，∴∠BQP=∠C=∠PBQ，∴PB=PQ=PN=ED，∴△PBQ∽△ABC，∴PQAC∵BE=BD-DE=45-∴55解得t=5當0＜t＜59∵sin∠BAD=BDAB=455∴sin∠BPQ=BEPB∴BE=4∴DE=BD-BE=45∴S矩形PQGF=DE·PQ=45所以，當t=12時，S當59≤t＜1時，S=P所以，當t=59時，由于245681<25，所以t=12（4）當點P在AB上時，如圖，由（2）得t=5當點P在BC上時，過Q作QR⊥BC于R，BP=5（t-1）=PQ，∵∠BPQ=∠A，∠PBQ=∠CBA，∴△BQP∽△BAC，∴BQBC=BP∴BQ=∵∠BPQ=∠A，∠QRP=∠BDA=90°，∴△QRP∽△BDA，∴QRBD=RP分兩種情況點N在AC上，過N作NS⊥BC于S，∵四邊形PQMN為正方形，∴PQ=PN=PB，∠QPN=90°，∴∠RPQ+∠RQP=∠RPQ+∠NPS=90°，∴∠RQP=∠SPN，在△QRP和△PSN中，∠QRP=∠PSN∠RQP=∠SPN∴△QRP≌△PSN（AAS），∴QR=PS=4t?1，RP=SN=3∴CS=BC-BP-PS=10-5t?1-4t?1=19-9t∴tanC=NSCS∴t=41當點M在AC上，過P作PZ⊥AB于Z，MY⊥AB于Y，∵PB=PQ，PZ⊥AB，∴BZ=ZQ=12在Rt△ZPB中，由勾股定理PZ=B∵四邊形PQMN為正方形，∴PQ=PN=QM，∠MQP=90°，∴∠ZPQ+∠ZQP=∠ZQP+∠MYQ=90°，∴∠ZQP=∠YMQ，在△ZQP和△YQM中，∠QZP=∠MYQ∠ZQP=∠YMQ∴△ZQP≌△YMQ（AAS），∴PZ=QY=25t?1，QZ=YM∴AY=AB-BQ-QY==5在Rt△AYM中tanA=MYAY解得t=39∴當正方形PQMN的頂點在邊AC上時，t的值為59，4121，【點睛】本題考查勾股定理，銳角三角函數，用含t的式子表示線段，以及正方形與三角形重疊面積，還考查三角形相似判定與性質，三角形全等判定與性質，分類討論思想，掌握勾股定理，銳角三角函數，函數的性質，三角形相似判定與性質，三角形全等判定與性質，分類討論思想是解題關鍵．10．（2022·山東青島·統考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，連接AC，點O為AC的中點，點E為邊BC上的一個動點，連接OE，作OF⊥OE，交邊AB于點F．已知點E從點B開始，以1cm/s的速度在線段BC（1）當t為何值時，OE//AB？（2）連接EF，設△OEF的面積為ycm2，求y與（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S△OEF:S（4）連接OB，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使OB恰好將△OEF分成面積比為1:2的兩部分？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）3；（2）y=38t2?9【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理列式得方程，求解即可；（2）證明△OFM∽ΔOEN，求得FM=34|3?t|，分0<t≤3和3<t<6（3）根據S△OEF（4）分兩種情況討論，利用相似三角形的性質和三角形的面積公式可求解．【詳解】解：（1）∵OE//AB∴CE∴6?t解得，t=3∴當t=3s時，OE//AB（2）取AB的中點M，BC的中點N，連接OM，ON，如圖①∵AO=OC∴OM//BC，OM//AB,OM=12∴∠AMO=∠ABC=90°∴四邊形OMBN是矩形∴∠MON=∴∠NOE+∠EOM=90°∴∠NOE=∠FOM∴△OFM∽ΔOEN∴FM∵EN=|3?t|，∴FM=①當0<t≤3時，EN=3?t,FM=9∴FB=FM+MB=254∴SΔOECSΔAOFS∴S=1=3∴y=3②當3<t<6時，如圖②此時，EN=t?3，FM=3∴AF=AM+FM=∴SSS∴S=1=3∴y=綜上所述，y=（3）∵S∴(解得，t∴當t=2s或4s時，（4）當SΔOFG:SΔOEG=2:1∵∠GEP=∠GEP，∠CPG=∠EBF=∴△EGP∽ΔEPB∴GPBF=∴GP=2512∵∠EFB=∠GFQ，∠FQF=∠PBE=∴ΔFGO∽ΔFEB∴GQBE=∴GQ=∵tan∴2解得，t=當SΔOFG:S同上可得，QB=23∵tan∴1解得，t=綜上所述，t=【點睛】本題是四邊形綜合題，考查相似三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，準學會正確尋找相似三角形是解決問題．【題型3拱橋問題】11．（2022·浙江紹興·模擬預測）一座橋如圖，橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米．(1)如圖，若把橋看做是拋物線的一部分，建立如圖坐標系．①求拋物線的解析式；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？(2)如圖，若把橋看做是圓的一部分．①求圓的半徑；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過多少米？【答案】(1)①拋物線解析式為：y=?125x(2)①圓的半徑為14.5米；②要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過47【分析】（1）①利用待定系數法求函數解析式即可；②根據題意得出y=3時，求出x的值即可；（2）①構造直角三角形利用BW②在Rt△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5?1=13.5，根據勾股定理知：G【詳解】（1）解：①設拋物線解析式為：y=ax∵橋下水面寬度AB是20米，高CD是4米，∴A?10，0，B10，0∴100a+c=0c=4，解得：a=?∴拋物線解析式為：y=?1②∵要使高為3米的船通過，∴y=3，則3=?1解得：x=±5，∴EF=10米；答：要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過10米；（2）解：①設圓半徑r米，圓心為W，∵BW∴T2解得：r=14.5；即圓的半徑為14.5米；②在Rt△WGF中，由題可知，WF=14.5，WG=14.5?1=13.5根據勾股定理知：GF即GF所以GF=27此時寬度EF=47答：要使高為3米的船通過，則其寬度須不超過47【點睛】此題考查了待定系數法求函數解析式、垂徑定理以及勾股定理的應用等知識，利用圖象上的點得出解析式是解決問題關鍵．12．（2022·甘肅定西·統考模擬預測）有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標系中．(1)求這條拋物線所對應的函數關系式；(2)如圖，在對稱軸右邊1m處，橋洞離水面的高是多少？【答案】(1)y=?(2)在對稱軸右邊1m?處，橋洞離水面的高是9625【分析】（1）根據題意設拋物線解析式為頂點式，然后根據拋物線過點(0,0)，代入即可求解；（2）根據對稱軸為：x=5，得出對稱軸右邊1m處為：x=6，代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得：拋物線頂點坐標為(5,4)，設拋物線解析式為：y=a(x?5)∵拋物線過點(0,0)，∴0=a(0?5)2+4∴這條拋物線所對應的函數關系式為：y=?4（2）解：對稱軸為：x=5，則對稱軸右邊1m處為：x=6，將x=6代入y=?425(x?5)2+4答：在對稱軸右邊1m處，橋洞離水面的高是9625【點睛】本題考查了二次函數的應用，解答此題的關鍵是明確題意，求出拋物線的解析式．13．（2022·廣西河池·統考二模）如圖1是一座拋物線型拱橋C1側面示意圖．水面寬AB與橋面長CD均為24m，點E在CD上，DE=6m，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為(1)求橋拱頂部O離水面的距離；(2)如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜是形狀相同的拋物線C2，C3，其最低點與橋面CD的距離均為1m．求拱橋拋物線C1【答案】(1)6(2)2【分析】（1）設y1=a1x2，由題意得F(6,?1.5)，求出拋物線圖像解析式，求當x（2）由題意得右邊的拋物線頂點為(6,1)，設y2=a2(x?6)2+1，將點H代入求值即可；設拱橋拋物線C（1）解：設拱橋C1為y將F(6，?1.5)求得a1∴y當x=12時，y1∴橋拱頂部離水面高度為6?m（2）解：右邊鋼纜所在拋物線C2的頂點坐標為設其表達式為y2將H(0?，4)代入其表達式得解得a∴右邊鋼纜所在拋物線C2表達式為y注：同理可得左邊鋼纜所在拋物線C3的頂點坐標為(?6，設拱橋拋物線C1與拱橋拋物線C2則L=y=1∴當x=4時，L即拱橋拋物線C1與拱橋拋物線C2【點睛】本題主要考查待定系數法求二次函數的解析式，以及二次函數最值得求解方法，結合題意根據數形結合的思想設出二次函數的頂點式方程是解題的關鍵．14．（2022·河北唐山·統考二模）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬OA=8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移mm>0個單位長度，平移后的函數圖象在8≤x≤9時，y【答案】（1）y=?14x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤【分析】（1）設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，根據待定系數法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=?14x2+2x，得到對應的（3）根據題意得到新函數解析式，并畫出函數圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=?1∴二次函數的解析式為：y=?14(x-8)x=?14x2+2（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=?14x2+2x，得y=?14×1答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數表達式為：y=14x2-2x當x＜0或x＞8時，新函數表達式為：y=-14x2+2x∴新函數表達式為：y=1∵將新函數圖象向右平移mm>0∴O′（m，0），A′（m+8，0），B′根據圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小．【點睛】本題主要考查二次函數的實際應用，掌握二次函數的待定系數法，二次函數的圖像和性質，二次函數圖像平移和軸對稱變換規律，是解題的關鍵．15．（2022·河南·模擬預測）如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是12m，寬是4m．按照圖中所示的直角坐標系，拋物線可以用y=?16x2+bx+c表示，且拋物線上的點C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為（1）求拋物線的函數關系式，并計算出拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m，寬為4m，如果隧道內設雙向車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3）在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度不超過8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？【答案】（1）拋物線的函數關系式為y=?16x2+2x+4，拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）可以通過，理由見解析（3）兩排燈的水平距離最小是【分析】（1）根據點B和點C在函數圖象上，利用待定系數法求出b和c的值，從而得出函數解析式，根據解析式求出頂點坐標；（2）根據題意得出車最外側與地面OA的交點為（2，0）（或（10，0）），然后求出當x=2或x=10時y的值，與6進行比較大小，比6大就可以通過，比6小就不能通過；（3）將y=8代入函數，得出x的值，然后進行做差得出最小值．【詳解】解：（1）由題知點B(0,4),C3,所以c=417解得b=2c=4∴y=?1∴當x=?b2a∴拋物線解析式為y=?16x2+2x+4（2）由題知車最外側與地面OA的交點為（2，0）（或（10，0））當x=2或x=10時，y=22所以可以通過；（3）令y=8，即?16x2x答：兩排燈的水平距離最小是4【題型4銷售問題】 16.（2022·遼寧錦州·統考中考真題）某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，且當x=15時，y=50；當x=17時，y=30．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】(1)y與x之間的函數關系式為y=?10x+200(2)這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元．【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，然后代值求解即可；（2）設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得w=x?12【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，由題意得：15k+b=5017k+b=30，解得：k=?10∴y與x之間的函數關系式為y=?10x+200；（2）解：設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得：w=x?12∵12≤x≤18，且-10＜0，∴當x=16時，w有最大值，最大值為160；答：這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元．【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的應用，熟練掌握一次函數與二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．17．（2022·遼寧·統考中考真題）某蔬菜批發商以每千克18元的價格購進一批山野菜，市場監督部門規定其售價每千克不高于28元．經市場調查發現，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表：每千克售價x（元）……202224……日銷售量y（千克）……666054……(1)求y與x之間的函數關系式；(2)當每千克山野菜的售價定為多少元時，批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？【答案】(1)y與x之間的函數關系式為y＝﹣3x+126(2)當每千克山野菜的售價定為28元時，批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【分析】（1）運用待定系數法求解即可；（2）設批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，然后根據總利潤等于每千克的利潤×銷售量，然后根據二次函數的性質解答即可．【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為y＝kx+b（k≠0），由表中數據得：20k+b=6622k+b=60解得：k=?3b=126∴y與x之間的函數關系式為y＝﹣3x+126；（2）設批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為w元，由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，∵市場監督部門規定其售價每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵﹣3＜0，∴當x＜30時，w隨x的增大而增大，∴當x＝28時，w最大，最大值為420，∴當每千克山野菜的售價定為28元時，批發商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大，最大利潤為420元．【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式以及二次函數的性質．18．（2022·遼寧營口·統考中考真題）某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷，該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發現：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數關系，其部分對應數據如下表所示：售價（元/本）…22232425…每天銷售量