專題2.4解含參數的一元二次不等式題型一按項的系數的符號分類題型二按判別式的符號分類題型三按方程的根的大小來分類題型四多種分類綜合題型一 按項的系數的符號分類1．（1）解關于的不等式；（2）若關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集.【答案】（1）答案見解析；（2）【分析】（1）原不等式化為，對分類討論求解即可；（2）根據不等式解集及根與系數的關系，可得，代入所求不等式化簡求解即可.【詳解】（1）原不等式化為，當時，可得，解得，當時，的根為且，解得或，當時，可得，解得；當時，的根為且，解得或；當時，由解得，故不等式解集為.綜上，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.（2）由題意得，且，解得，不等式可化為，即，解得或，故不等式解集為.2．不等式的解集為，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得恒成立，分別對，，討論，結合二次不等式、二次函數圖像與性質即可求出答案.【詳解】由不等式的解集為等價于恒成立，當時，成立，符合條件；當時，根據二次函數圖像開口向上，肯定會有函數值大于0，故不符合；當時，只需讓，解得，綜上所述，a的取值范圍為，故答案為：3．（多選）關于x的不等式的解集中恰有3個正整數解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2【答案】CD【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個正整數，分析的這3個正整數為,計算求解即可.【詳解】不等式化簡為的解集中恰有3個正整數，當時，不等式化為，則解集中有無數個整數.當時，不等式的解集中有無數個正整數，故A錯誤；所以，，，所以所以不等式的解集為：，根據0一定屬于此集合，則由不等式的解集中恰有3個正整數，則這3個整數中一定為：，則，解得故可取和2，故C,D正確，AB錯誤；故選：CD.4．解關于x的不等式:.【答案】答案見解析【分析】對，，進行分類討論進而解方程即可.【詳解】①當時，不等式化為，解得，此時不等式的解集為;②當時，原不等式化為，解得不等式的解集為:；③當時，原不等式化為:，解得不等式的解集為:.綜上所述，當時，解集為;當時，解集為;當時，解集為5．已知函數.(1)若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍；(2)求關于的不等式的解集.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）討論和，結合二次函數性質解不等式即可得出答案；（2）不等式等價于，對分類討論求不等式解集.【詳解】（1），恒成立，當時，成立，當時，則，即，即綜上所述.（2）當時，，則當時，令，則，或，此時，∴或當時，即時，當，即時，當時，即時，綜上所述:當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，；當時，解集為6．已知關于的不等式.(1)若關于的不等式的解集為，求的值(2)當時，解上述關于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由為方程的根，結合韋達定理得出的值；（2）分類討論的值，由一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以為方程的根，即，（2）若，關于的不等式，當時，代入不等式可得，解得；當時，化簡不等式可得，由解不等式可得，當時，化簡不等式可得，解不等式可得或，綜上可知，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為或.7．已知．(1)當時，求不等式的解集．(2)解關于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）當時，根據一元二次不等式的解法求出答案；（2）分類討論，根據含參一元二次不等式的解法得出答案.【詳解】（1）當時，，開口向下，即，解得：或，的解集為．（2）當時，不等式為，得；當時，令，得，．當時，則，對應二次函數開口向下，時，或；當時，則，對應二次函數開口向下，時，；當時，，，則無解；當時，則，對應二次函數開口向下，時，．綜上：當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為．題型二 按判別式的符號分類8．解決下列問題：(1)求解關于的不等式：；(2)設集合，若集合中有3個元素，求的范圍.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）討論判別式可解不等式；（2）由（1）可知時滿足題意，又集合中有3個元素，可得.【詳解】（1）注意到.①當，即時，此時不等式解集為空集；②，即時，此時不等式解集為；③，即時，此時不等式對應方程的解為：，又，則不等式解集為：.綜上，當時，解集為；時，解集為；時，解集為.（2）由（1）可知，時滿足題意，又注意到，結合中有3個元素，則，得.故的范圍是.9．解關于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】分別在、、、和的情況下，利用一元二次不等式的求法求得對應的解集.【詳解】當時，不等式為，解得：，則不等式解集為；當時，；①當時，且；令，解得：，；若，則，的解為，即不等式的解集為；若，則，的解為或，即不等式的解集為；②當，即時，不等式為，解得：，即不等式的解集為；③當，即時，恒成立，即不等式的解集為；綜上所述：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.10．已知.(1)若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(2)求解上述不等式：.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據二次項系數的正負性，結合一元二次不等式解集的性質分類討論進行求解即可；（2）根據二次項系數的正負性，結合一元二次不等式的解法分類討論進行求解即可.【詳解】（1）①當時，原不等式即：，符合題意；②當時，不等式恒成立，必有：且，解得：，綜上：實數的取值范圍為：；（2），當時，，由可得：，或；當時，，由可得：；當時，由（1）知：不等式的解為；當時，，由可得：，綜上所述：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為，11．已知，解關于的不等式：(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據題意，分，，，，五種情況討論求解即可；（2）根據判別式的符號，分，，三種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：當時，，解得，當時，由，得，由，得，或

當時，，則由，得，當時，，由，得或，當時，由，得，

當時，，由，得或，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為或，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為或.（2），當時，，方程的兩個根分別為或，則由，得，當時，，原不等式化為，得，當時，，不等式無解，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為題型三 按方程的根的大小來分類12．解關于x的不等式，其中.【答案】答案見解析.【分析】對進行分類討論，求出解集，討論的標準為當不等式是一元一次不等式時，當不等式是一元二次不等式時，再通過開口方向，根的判別式的大小，進行討論求出答案.【詳解】當時，，解得：，當時，①當即時，解集為，②當即時，此時不等式為，解集為；③當，即時，解集為；當時，④當，即時，解集為R，⑤當，即時，解集為或；綜上：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為R，當時，解集為或.13．解下列關于的不等式：(1)(2)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）分、、、、五種情況討論求解；（2）分、、、四種情況討論求解.（1）當時，原不等式的解當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或.（2）當時，不等式為，其解集為，當時，，所以當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，綜上：時，原不等式解集為；時，原不等式解集為；時，原不等式解集為；時，原不等式解集為；14．已知關于x的不等式．(1)當時，解上述不等式；(2)當時，解上述關于x的不等式．【答案】(1)不等式解集為：；(2)答案見解析.【分析】（1）由，，解不等式即可；（2），討論與1的大小即可.【詳解】（1）當時，..則不等式解集為：.（2）注意到，①當時，不等式解集為：；②當時，不等式解集為空集；③當時，不等式解集為：.15．解關于x的不等式，．【答案】分類討論，答案見解析.【分析】將不等式化為，分，和，求出不等式的解集即可.【詳解】由得，．因為，所以①當，即時，不等式的解集為：；②當，即時，，不等式無解；③當時，即時，不等式的解集為：．綜上所述，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為．16．解關于x的不等式【答案】答案見解析.【分析】對參數分類討論，結合一元二次不等式的求解，討論每種情況下不等式解集即可.【詳解】當時，原不等式等價于，解得，故不等式解集為；當時，原不等式等價于，其對應二次方程的兩根為，當，即時，不等式解集為；當，即時，不等式解集為；當，即時，不等式解集為.綜上所述：當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為.17．（1）求不等式的解集；（2）求關于的不等式的解集，其中.【答案】（1）或；（2）見解析【分析】（1）將分式不等式轉化為一元二次不等式，解不等式即可；（2）分類討論的范圍解不等式即可.【詳解】（1）可化為，即，解得或，所以不等式的解集為或.（2）當時，不等式的解集為，當時，不等式可化為，不等式的解集為，當時，不等式可化為，當即時，不等式的解集為，當即時，不等式的解集為或，當即時，不等式的解集為或.18．(1)當時，解關于的不等式；(2)已知，，當時，證明：，并指出取等號條件．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）先解出的兩個根，對根的大小分類討論，再結合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根據“1”的代換，結合基本不等式的解法，即可證明．然后列出等號成立的條件，求解即可.【詳解】（1）由已知，解可得或.當時，即時，不等式的解集為；當時，即時，不等式的解集為或；當時，即時，不等式的解集為或.綜上所述，當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為或.（2）因為，，，所以，當且僅當，即時，等號成立．19．解關于x的不等式(1)(2)【答案】(1)答案見解析(2)【分析】根據一元二次不等式的解法計算即可.【詳解】（1）方程，即，方程的解為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，當，即時，不等式的解集為，綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為；（2）方程，即，方程的解為，因為，所以，所以不等式的解集為.20．已知一元二次函數，．(1)若，求實數a的取值范圍；(2)求關于x的不等式的解集．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）直接解二次不等式即可；（2）變形得，分，，討論，通過確定的大小來解二次不等式.【詳解】（1）由已知得，解得或.實數a的取值范圍；（2），令，得，當，即時，的解集為，當，即時，的解集為，當，即時，的解集為，綜上所述：當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；題型四 多種分類綜合21．求解不等式【答案】答案見解析【分析】將不等式左邊因式分解可得，再分、、、、五種情況討論，分別求出不等式的解集.【詳解】解：因為，所以，當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為，當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為；當時，原不等式即，解得，所以不等式的解集為；當時，原不等式即，解得或，所以不等式的解集為或；當時，原不等式即，解得或，所以不等式的解集為或；綜上可得：當時不等式的解集為，當時不等式的解集為，當時不等式的解集為，當時不等式的解集為或，當時不等式的解集為或；22．解關于x的不等式：.【答案】答案見詳解【分析】對進行分類討論，結合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案．【詳解】當時，不等式的解集為；當時，分解因式，當時，原不等式整理得：，即，不等式的解集為或；當時，原不等式整理得：，即，當時，，不等式的解集為；當時，，不等式的解集為；當時，不等式的解集為，綜上所述，當時，不等式的解集為或；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為．23．（1）若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）討論和兩種情況，按開口方向和判別式列不等式組，解出實數的取值范圍；（2）按，和三種情況分類討論，當，比較和的大小，分情況寫出不等式的解集．【詳解】（1）由題意，恒成立，當時，不等式可化為，不滿足題意；當時，滿足，即，解得；故實數的取值范圍是．（2）不等式等價于．當時，不等式可化為，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，此時，所以不等式的解集為；當時，不等式可化為，①當時，，不等式的解集為；②當時，，不等式的解集為或；③當時，，不等式的解集為或.綜上：時，等式的解集為或時，不等式的解集為時，不等式的解集為或時，不等式的解集為時，不等式的解集為24．已知，解關于的不等式．【答案】答案見解析【分析】分類討論求解含參數的一元二次不等式作答即可.【詳解】當時，不等式為，解得；當時，不等式化為，當時，不等式為，解得；當時，不等式為，若，不等式為，解得；若，解得或；，解得或.綜上所述，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是或；當時，原不等式的解集是或．25．若，解關于的不等式：【答案】見解析【分析】討論、時，不等式的解集情況；當時解二次不等式，要討論開口方向及兩根的大小關系，求出不等式的解集即可.【詳解】(1)當時，原不等式為；(2)當時，原不等式為；①當時，解得②