安徽省淮北市相山區師范大學附屬實驗中學2024屆數學高二第二學期期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點與拋物線的焦點的距離是，則的值是（）A． B． C． D．2．設有一個回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個單位時（）A．y平均增加2.5個單位 B．y平均增加2個單位C．y平均減少2.5個單位 D．y平均減少2個單位3．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．34．已知中，,則滿足此條件的三角形的個數是()A．0 B．1 C．2 D．無數個5．（）A．2 B．1 C．0 D．6．如圖，已知函數的圖象關于坐標原點對稱，則函數的解析式可能是（）A． B．C． D．7．若角的終邊上有一點，則的值是（）A． B． C． D．8．從不同品牌的4臺“快譯通”和不同品牌的5臺錄音機中任意抽取3臺,其中至少有“快譯通”和錄音機各1臺,則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種9．某校為了解本校高三學生學習的心理狀態，采用系統抽樣方法從人中抽取人參加某種測試，為此將他們隨機編號為，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為，抽到的人中，編號落在區間的人做試卷，編號落在的人做試卷，其余的人做試卷，則做試卷的人數為()A． B． C． D．10．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網，若規定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．2511．函數的定義域為，導函數在內的圖象如圖所示．則函數在內有幾個極小值點（）A．1 B．2 C．3 D．412．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立.則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某保險公司新開設了一項保險業務.規定該份保單任一年內如果事件發生，則該公司要賠償元，假若在一年內發生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為____________元.14．設為數列的前項和，，，則______.15．已知函數在上是減函數，則實數的取值范圍是______.16．已知復數對應復平面上的點，復數滿足，則復數的共軛復數為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點,設1)證明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．18．（12分）某種農作物可以生長在灘涂和鹽堿地，它的灌溉是將海水稀釋后進行灌溉.某實驗基地為了研究海水濃度對畝產量(噸)的影響,通過在試驗田的種植實驗,測得了該農作物的畝產量與海水濃度的數據如下表：海水濃度畝產量（噸）殘差繪制散點圖發現,可以用線性回歸模型擬合畝產量(噸)與海水濃度之間的相關關系，用最小二乘法計算得與之間的線性回歸方程為.（1）求的值；（2）統計學中常用相關指數來刻畫回歸效果，越大，回歸效果越好，如假設，就說明預報變量的差異有是解釋變量引起的.請計算相關指數(精確到),并指出畝產量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的？（附：殘差，相關指數，其中）19．（12分）已知函數，；.（1）求的最大值；（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.20．（12分）已知的角、、所對的邊分別是、、，設向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積.21．（12分）在四棱錐中,底面ABCD是邊長為1的正方形,平面ABCD,PA=AB,M,N分別為PB,AC的中點,（１）求證:MN//平面PAD（２）求點B到平面AMN的距離22．（10分）如圖，多面體中，兩兩垂直，且，，，.(Ⅰ)若點在線段上，且，求證:平面；(Ⅱ)求直線與平面所成的角的正弦值；(Ⅲ)求銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用拋物線的焦點坐標和兩點間的距離公式，求解即可得出的值.【題目詳解】由題意可得拋物線的焦點為，因為點到拋物線的焦點的距離是5.所以解得.故選:B.【題目點撥】本題主要考查拋物線的標準方程和性質，還結合兩點間距離公式求解.2、C【解題分析】試題分析：根據題意，對于回歸方程為，當增加一個單位時，則的平均變化為，故可知平均減少個單位，故選C.考點：線性回歸方程的應用.3、C【解題分析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【題目詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【題目點撥】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．4、C【解題分析】由正弦定理得即即，所以符合條件的A有兩個，故三角形有2個故選C點睛：此題考查學生靈活運用正弦定理化簡求值，掌握正弦函數的圖象與性質，會根據三角函數值求對應的角.5、C【解題分析】

用微積分基本定理計算．【題目詳解】．故選：C.【題目點撥】本題考查微積分基本定理求定積分．解題時可求出原函數，再計算．6、C【解題分析】

根據函數圖像的對稱性，單調性，利用排除法求解.【題目詳解】由圖象知，函數是奇函數，排除，；當時，顯然大于0，與圖象不符，排除D，故選C.【題目點撥】本題主要考查了函數的圖象及函數的奇偶性，屬于中檔題.7、A【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數的定義，求出的值.【題目詳解】解：若角的終邊上有一點，則

，

∴.

故選：A.【題目點撥】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題.8、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，有兩種方法，一是2臺和1臺；二是1臺和2臺，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數.詳解：由題意知本題是一個計數原理的應用，從中任意取出三臺，其中至少要有“快譯通”和錄音機各1臺，快譯通2臺和錄音機1臺，取法有種；快譯通1臺和錄音機2臺，取法有種，根據分類計數原理知共有種.故選：C.點睛：本題考查計數原理的應用，考查分類和分步的綜合應用，本題解題的關鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個中檔題目.9、B【解題分析】，由題意可得抽到的號碼構成以為首項，以為公差的等差數列，且此等差數列的通項公式為，落入區間的人做問卷，由，即，解得，再由為正整數可得，做問卷的人數為，故選B.10、C【解題分析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果，根據分步計數原理計算得出答案【題目詳解】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果根據分步計數原理知共有種結果，選C【題目點撥】本題考查分步計數原理，本題的關鍵是把實際問題轉化成數學問題，看出完成一件事共有兩個環節，每一步各有幾種方法，屬于基礎題．11、A【解題分析】

直接利用極小值點兩側函數的單調性是先減后增，對應導函數值是先負后正，再結合圖像即可得出結論.【題目詳解】因為極小值點兩側函數的單調性是先減后增，對應導函數值是先負后正，由圖得：導函數值先負后正的點只有一個，故函數在內極小值點的個數是1.故選：A【題目點撥】本題考查了極小值點的概念，需熟記極小值點的定義，屬于基礎題.12、A【解題分析】

記事件甲獲得冠軍，事件比賽進行三局，計算出事件的概率和事件的概率，然后由條件概率公式可得所求事件的概率為.【題目詳解】記事件甲獲得冠軍，事件比賽進行三局，事件甲獲得冠軍，且比賽進行了三局，則第三局甲勝，前三局甲勝了兩局，由獨立事件的概率乘法公式得，對于事件，甲獲得冠軍，包含兩種情況：前兩局甲勝和事件，，，故選A.【題目點撥】本題考查利用條件概率公式計算事件的概率，解題時要理解所求事件的之間的關系，確定兩事件之間的相對關系，并利用條件概率公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

用表示收益額，設顧客繳納保險費為元，則的取值為和，由題意可計算出的期望．【題目詳解】設顧客繳納的保險金為元，用表示收益額，設顧客繳納保險費為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【題目點撥】本題考查利用離散型隨機變量的期望解決實際問題，解題關鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎題．14、4【解題分析】

由已知條件可判斷出數列為等比數列，再由可求出首項，再令即可求出的值.【題目詳解】，且，，即，則數列為等比數列且公比為，，，在中令得：故答案為：4【題目點撥】本題考查了已知的關系求數列通項，以及等比數列前項和公式，考查了學生的計算能力，屬于一般題.15、【解題分析】

在上是減函數的等價條件是在恒成立，然后分離參數求最值即可.【題目詳解】在上是減函數，在恒成立，即，在的最小值為，【題目點撥】本題主要考查利用導函數研究含參函數的單調性問題，把在上是減函數轉化為在恒成立是解決本題的關鍵.16、【解題分析】

先計算復數的模，再計算復數，最后得到共軛復數.【題目詳解】復數對應復平面上的點復數的共軛復數為故答案為【題目點撥】本題考查了復數的運算，復數的模，共軛復數，意在考查學生的計算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PE⊥BC；（2）求出平面PEH的法向量和＝(1,0，－1)，利用向量法能求出直線PA與平面PEH所成角的正弦值．詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因為·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則即因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點睛：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.18、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用殘差定義求m,n.(2)直接利用相關指數公式求相關指數，并指出畝產量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的.詳解：（1）因為,,所以，即,所以線性回歸方程為,所以,.（2）,所以相關指數,故畝產量的變化有是由海水濃度引起的.點睛：（1）本題主要考查回歸方程的性質和殘差，考查相關指數，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本點的中心.19、【解題分析】試題分析：（1）對函數求導，，時，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，也是最大值，所以的最大值為；（2）若對，總存在使得成立，則轉化為，由（1）知，問題轉化為求函數在區間上的最大值，對求導，，分類討論，當時，函數在上恒成立，在上單調遞增，只需滿足，，解得，所以；當時，時，（舍），當時，在上恒成立，只需滿足，，解得，當，即時，在遞減，遞增，而，在為正，在為負，∴，當，而時，，不合題意，可以求出的取值范圍。（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴，等號右端為等比數列求和。試題解析：（1）∵，∴，∴當時，，時，，∴，∴的最大值為.（2），使得成立，等價于由（1）知，，當時，在時恒為正，滿足題意.當時，，令，解得，∴在上單調遞減，在上單調遞增，若，即時，，∴，∴.若，即時，在遞減，遞增，而，在為正，在為負，∴，當，而時，，不合題意，綜上的取值范圍為.（3