2024屆云南省曲靖市宜良縣第八中學數學高二下期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平面向量與的夾角為，，，則()A． B． C．0 D．22．已知函數的定義域為，且函數的圖象關于軸對稱，函數的圖象關于原點對稱，則（）A． B． C． D．3．已知函數，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．劉徽是我國魏晉時期杰出的數學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內夾外逼的思想，創立了割圓術，即從半徑為1尺的圓內接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內接正六邊形，若向圓內隨機投擲一點，則該點落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．5．已知，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．6．如下圖所示的圖形中，每個三角形上各有一個數字，若六個三角形上的數字之和為36，則稱該圖形是“和諧圖形”，已知其中四個三角形上的數字之和為二項式的展開式的各項系數之和.現從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字標在另外兩個三角形上，則恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為（）A． B． C． D．7．設是定義在上的奇函數，且,當時，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪8．已知函數，其中為自然對數的底數，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．9．已知均為實數，若（為虛數單位），則（）A．0 B．1 C．2 D．-110．若90件產品中有5件次品，現從中任取3件產品，則至少有一件是次品的取法種數是（）.A． B． C． D．11．在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．12．設函數f（x），g（x）在[A，B]上均可導，且f′（x）＜g′（x），則當A＜x＜B時，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線C:上一點到其焦點的距離為3，則拋物線C的方程為_______.14．設函數的導數為，且，則．15．在平面直角坐標系中，己知直線與圓相切，則k的值為________.16．函數的定義域為__________（結果用區間表示）。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（Ⅰ）若，求實數的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關系并證明.18．（12分）已知函數，其中為自然對數的底數.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.19．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數學課外閱讀書籍，經過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設甲、乙同學購買2種書籍的人數為,求的概率分布列和數學期望.20．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）求函數的單調區間.21．（12分）以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）將直線：（為參數）化為極坐標方程；（2）設是（1）中的直線上的動點，定點，是曲線上的動點，求的最小值.22．（10分）某蔬菜加工廠加工一種蔬菜，并對該蔬菜產品進行質量評級，現對甲、乙兩臺機器所加工的蔬菜產品隨機抽取一部分進行評級，結果（單位：件）如表1：（1）若規定等級為合格等級，等級為優良等級，能否有的把握認為“蔬菜產品加工質量與機器有關”？（2）表2是用清水千克清洗該蔬菜千克后，該蔬菜上殘留的農藥微克的統計表，若用解析式作為與的回歸方程，求出與的回歸方程.（結果精確到）（參考數據：，，，.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先由，求出，再求出，進而可求出【題目詳解】因為，所以，所以，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查向量模的運算，熟記公式即可，屬于基礎題型.2、A【解題分析】分析：根據奇函數與偶函數的定義，可求得函數的解析式；根據解析式確定’的值。詳解：令，則，因為為偶函數所以（1），因為為奇函數所以（2）（1）-（2）得（3），令代入得（4）由（3）、（4）聯立得代入得所以所以所以選A點睛：本題考查了抽象函數解析式的求解，主要是利用方程組思想確定解析式。方法相對比較固定，需要掌握特定的技巧，屬于中檔題。3、B【解題分析】

先根據“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【題目詳解】由題得切線的斜率為2，所以因為,所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B4、D【解題分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案【題目詳解】由圖可知：，故選D.【題目點撥】本題考查幾何概型，屬于基礎題。5、A【解題分析】

利用等中間值區分各個數值的大小．【題目詳解】，，，故，所以．故選A．【題目點撥】本題考查大小比較問題，關鍵選擇中間量和函數的單調性進行比較．6、B【解題分析】

先求得二項式的展開式的各項系數之和為.然后利用列舉法求得在一共個數字中任選兩個，和為的概率，由此得出正確選項.【題目詳解】令代入得，即二項式的展開式的各項系數之和為.從0，1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字方法有：共種，其中和為的有共兩種，所以恰好使該圖形為“和諧圖形”的概率為，故選B.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式各項系數之和，考查列舉法求古典概型概率問題，屬于基礎題.7、B【解題分析】試題分析：因為當時，有恒成立，所以恒成立，所以在內單調遞減．因為,所以在內恒有；在內恒有．又因為是定義在上的奇函數，所以在內恒有；在內恒有．又因為不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故應選．考點：1、函數的基本性質；2、導數在研究函數的單調性中的應用．【思路點睛】本題主要考查了函數的基本性質和導數在研究函數的單調性中的應用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據商函數求導法則可知化為；然后利用導數的正負性可判斷函數在內的單調性；再由可得函數在內的正負性；最后結合奇函數的圖像特征可得，函數在內的正負性，即可得出所求的解集．8、A【解題分析】

，可得在上是偶函數.函數，利用導數研究函數的單調性即可得出結果.【題目詳解】解：，在上是偶函數.函數，，令，則，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞增.，，.故選：A.【題目點撥】本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性，不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

將已知等式整理為，根據復數相等可求得結果.【題目詳解】由題意得：，即：則：本題正確選項：【題目點撥】本題考查復數相等的定義，涉及簡單的復數運算，屬于基礎題.10、C【解題分析】

根據題意，用間接法分析：先計算從90件產品中任取3件的取法，再排除其中全部為正品的取法，分析可得答案．【題目詳解】解：根據題意，用間接法分析：從90件產品中任取3件，有種取法，其中沒有次品，即全部為正品的取法有種取法，則至少有一件是次品的取法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列、組合的應用，注意用間接法分析，避免分類討論，屬于基礎題．11、D【解題分析】

首先根據三角函數的定義求出，再求即可.【題目詳解】，.故選：D【題目點撥】本題主要考查正切二倍角的計算，同時考查三角函數的定義，屬于簡單題.12、B【解題分析】試題分析：設F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在給定的區間[A，B]上是減函數．∴當x＞A時，F（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考點：利用導數研究函數的單調性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；【題目詳解】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x，由拋物線的定義可知13，解得p＝4，∴C的方程為y2＝8x；故答案為【題目點撥】本題考查拋物線的定義與方程，熟記定義是關鍵，屬于基礎題．14、【解題分析】試題分析：，而，所以，，故填：.考點：導數15、【解題分析】

通過圓心到直線的距離等于半徑構建等式，于是得到答案.【題目詳解】根據題意，可知圓心為，半徑為2，于是圓心到直線的距離，而直線與圓相切，故，因此解得.【題目點撥】本題主要考查直線與圓的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力，難度不大.16、【解題分析】

根據函數的定義域需滿足，解不等式.【題目詳解】根據題意可得，，，即函數的定義域是故填：.【題目點撥】本題考查了函數多的定義域，屬于簡單題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）通過討論a的范圍，去掉絕對值，解不等式，確定的范圍即可；

（Ⅱ）根據絕對值不等式的性質判斷即可．【題目詳解】（I）因為，所以.①當時，得，解得，所以;②當時，得，解得，所以;③當時，得，解得，所以;綜上所述，實數的取值范圍是（II），因為,所以【題目點撥】本題考查了解絕對值不等式問題，考查不等式的證明，是一道中檔題．18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）先利用導數求函數的單調區間，再求的最小值.(2)先求的最小值為,再證明＞0.詳解：（1）若，,所以,設，則所以在上為增函數，又，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為.（2）由題意知當時，顯然成立.當時，由（1）知在上為增函數，因為,所以存在唯一的使得，即,所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以的最小值為,,,當且僅當，即時取等號.代入得，矛盾，所以等號不能成立.所以，所以.點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調區間和最值，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化能力.(2)解答本題有兩個難點，其一是求得的最小值為,其二是證明＞0，用到了基本不等式，同時要注意取等的問題.19、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數學期望為.【題目點撥】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復事件的概率的求法，解題的關鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）利用解析式求出切點坐標，再利用導數求出切線斜率，從而得到切線方程；（2）求導后可知導函數的正負由的符號決定；分別在，和三種情況下討論的正負，從而得到導函數的正負，進而確定的單調區間；在討論時要注意的定義域與的根的大小關系.【題目詳解】當時，，則又，所以在處的切線方程為，即（2）由函數，得：當時，又函數的定義域為所以的單調遞減區間為當時，令，即，解得：當時，所以變化情況如下表：極小值所以的單調遞減區間為，；單調遞增區間為當時，所以變化情況如下表：極大值所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為，【題目點撥】本題考查利用導數的幾何意義求解切線方程、討論含參數函數的單調性問題；解決含參函數單調性問題的關鍵是對于影響導函數符號的式子的討論；本題的易錯點是在討論過程中忽略最高次項系數為零的情況和函數的定義域的影響.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先將直線的參數方程化為普通方程，再由可將直線的普通方程化為極坐標方程；（2）將點的極坐標化為直角坐標，點所在曲線的方程化為普通方程，可知該曲線為圓，利用當、、與圓心四點共線且點為圓心與點連線線段與圓的交點時，取得最小值，可得出答案。【題目詳解】（1）消去參數得，即，∴直線的極坐標方程為．（答案也可以化為）（2）∵的直角坐標為，曲線是圓：（為圓心）．∴．∴的最小值為（這時是直