湖南省長沙雅禮中學2024屆數學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數為奇函數的是（）A． B． C． D．2．用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A． B． C． D．3．若復數滿足，則在復數平面上對應的點()A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱4．完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會用第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種5．設等差數列{}的前項和為，若，則=A．20 B．35 C．45 D．906．正方體中，點在上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是（）A． B． C． D．7．觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（）A． B．C． D．8．復數的共軛復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．命題的否定是（）A． B．C． D．10．函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．函數在區間上的最大值是（）A． B． C． D．12．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”為假命題，則實數的取值范圍是.14．從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是____.15．已知，在函數與的圖象的交點中，距離最短的兩個交點的距離為，則值為__________．16．設隨機變量ξ服從二項分布，則等于__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設點為坐標原點，橢圓：的右頂點為，上頂點為，過點且斜率為的直線與直線相交于點，且.（1）求橢圓的離心率；（2）是圓：的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程.18．（12分）已知函數．（Ⅰ）當時，求在上的零點個數；（Ⅱ）當時，若有兩個零點，求證：19．（12分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點（1）證明：；（2）若為棱上一點，滿足，求銳二面角的余弦值.21．（12分）數列滿足.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想.22．（10分）總書記在十九大報告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念，某城市選用某種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數據圖如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數的散點圖如下(1)請根據散點圖判斷，與中哪一個更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型?(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程，并預測第144天這株幼苗的高度(結果保留1位小數).附：，參考數據：1402856283

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：由題意得，令，則，所以函數為奇函數，故選A．考點：函數奇偶性的判定．2、B【解題分析】

根據，第一步應驗證的情況，計算得到答案.【題目詳解】因為，故第一步應驗證的情況，即.故選：.【題目點撥】本題考查了數學歸納法，意在考查學生對于數學歸納法的理解和掌握.3、A【解題分析】

由題意可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數，故z1，z2在復數平面上對應的點Z1，Z2的關系即可得解．【題目詳解】復數滿足，可得z1，z2的實部相等，虛部互為相反數，故z1，z2在復數平面上對應的點關于軸對稱，故選A.【題目點撥】本題主要考查共軛復數的定義，復數與復平面內對應點間的關系，屬于基礎題．4、C【解題分析】

分成兩類方法相加.【題目詳解】會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇；會用第二種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇,故選C.【題目點撥】本題考查分類加法計數原理.5、C【解題分析】

利用等差數列的前n項和的性質得到S9=，直接求解．【題目詳解】∵等差數列{an}的前n項和為Sn，a4+a6=10，∴S9=故選：C．【題目點撥】這個題目考查的是數列求和的常用方法；數列通項的求法中有:直接根據等差等比數列公式求和；已知和的關系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。6、D【解題分析】以點D為原點，DA、DC、分別為建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，設點P坐標為，則設的夾角為，所以，所以當時，取最大值．當時，取最小值．因為．故選D．【題目點撥】因為，所以求夾角的取值范圍．建立坐標系，用空間向量求夾角余弦，再求最大、最小值．7、D【解題分析】

在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，即可得出結論．【題目詳解】在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，四個選項中，即等高的條形圖中x1，x2所占比例相差越大，則分類變量x，y關系越強，故選D．【題目點撥】本題考查獨立性檢驗內容，使用頻率等高條形圖，可以粗略的判斷兩個分類變量是否有關系，是基礎題8、A【解題分析】

復數的共軛復數為，共軛復數在復平面內對應的點為.【題目詳解】復數的共軛復數為，對應的點為，在第一象限.故選A.【題目點撥】本題考查共軛復數的概念，復數的幾何意義.9、B【解題分析】試題分析：全稱命題的否定是特稱命題，所以：，故選B.考點：1.全稱命題；2.特稱命題.10、D【解題分析】

求出函數的導數，由題意可得恒成立，轉化求解函數的最值即可．【題目詳解】由函數，得，故據題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數單調遞減，故而，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數的導數的應用，函數的單調性以及不等式的解法，函數恒成立的等價轉化，屬于中檔題.11、B【解題分析】

函數，，令，解得x．利用三角函數的單調性及其導數即可得出函數的單調性．【題目詳解】函數，，令，解得．∴函數在內單調遞增，在內單調遞減．∴時函數取得極大值即最大值．．故選B．【題目點撥】本題考查了三角函數的單調性，考查利用導數研究函數的單調性極值與最值、考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求三角函數的最值問題，一般是通過兩角和差的正余弦公式將函數表達式化為一次一角一函數，或者化為熟悉的二次函數形式的復合函數來解決.12、C【解題分析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【題目詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【題目點撥】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.14、【解題分析】

基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【題目詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案為：．【題目點撥】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．15、【解題分析】由題意，令，，則，所以，，即，當，；當，，如圖所示，由勾股定理得，解得.16、【解題分析】

利用獨立重復試驗的概率計算出、、、，再將這些相加可得出.【題目詳解】由于，所以，，，，，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查二項分布獨立重復試驗的概率，解這類問題要注意將基本事件列舉出來，關鍵在于靈活利用獨立重復試驗的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）運用向量的坐標運算，可得M的坐標，進而得到直線OM的斜率，進而得證；（2）由（1）知，橢圓方程設為，設PQ的方程，與橢圓聯立，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，解方程即可得到a，b的值，進而得到橢圓方程.詳解：（1）∵，，，所以.∴，解得，于是，∴橢圓的離心率為.（2）由（1）知，∴橢圓的方程為即①依題意，圓心是線段的中點，且.由對稱性可知，與軸不垂直，設其直線方程為，代入①得：，設，，則，，由得，解得.于是.于是.解得：，，∴橢圓的方程為.點睛：本題考查橢圓的方程和性質，考查向量共線的坐標表示，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理以及弦長公式，化簡整理的運算能力，屬于中檔題.18、(Ⅰ)有一個零點；(Ⅱ)見解析【解題分析】

(Ⅰ)對函數求導，將代入函數，根據函數在單調性討論它的零點個數．(Ⅱ)根據函數單調性構造新的函數，進而在各區間討論函數零點個數，證明題目要求．【題目詳解】因為，在上遞減，遞增(Ⅰ)當時，在上有一個零點(Ⅱ)因為有兩個零點，所以即.設則要證，因為又因為在上單調遞增，所以只要證設則所以在上單調遞減，，所以因為有兩個零點，所以方程即構造函數則記則在上單調遞增，在上單調遞減，所以設所以遞增，當時，當時，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，綜上：【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的零點、考查了構造函數證明不等式，意在考查計算能力、轉化思想的應用，是關于函數導數的綜合性題目，有一定的難度.19、（1）；（2）見解析；（3）.【解題分析】

（1）用賦值法可求解，令可求得，令可求得．（2）左邊用階乘展開可證．再由己證式結合裂項求和，可求解（3）法一：先證公式再用公式化簡可求值．法二：將兩邊求導，再賦值x=1和x=-1可求解．【題目詳解】（1）當時，（*）在（*）中，令得在（*）中，令得，所以（2）證明：因為，由二項式定理可得所以因為，所以（3）法一：由（2）知因為，所以+則，所以法二：將兩邊求導，得令得；①令得.②①②得解得，所以.【題目點撥】本題考查二項式定理中的賦值法求值問題，這是解決與二項式定理展開式中系數求和中的常用方法．20、（1）證明見詳解；（2）【解題分析】

（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明；

（2）設，由，求出，求出平面ABF的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【題目詳解】證明：（1）∵在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.

∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），

，，

，∴；

（2）∵F為棱PC上一點，滿足，

∴設，，

則，

，

∵，，解得，

，

設平面ABF的法向量，

則，取，得，

平面ABP的一個法向量，

設二面角的平面角為，

則，

∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.21、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據題設條件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通項公式．（2）利用數學歸納法的證明步驟對這個猜想加以證明．詳解：（1）根據數列滿足，當時，，即；當時，，即；同理，由此猜想；（2）當時，，結論成立；假設（為大于等于1的正整數）時，結論成立，即，那么當（大于等于1的正整數）時，∴，∴，即時，結論成立，則.點睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法22、(1)更適宜作為幼苗高度y關于時間x的回歸方程類型；(2)；預測第144天幼苗的高度大約為24.9cm.【解題分析】

（1）根據散點圖，可直接判斷出結果；（2）先令，根據題中數據，得到與的數據對，根據