阿基米德三角形的性質切線方程：過拋物線上一點的切線方程為：過拋物線上一點的切線方程為：過拋物線上一點的切線方程為：過拋物線上一點的切線方程為：【概念】一、阿基米德三角形：拋物線（圓錐曲線）的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形（如圖一即為阿基米德三角形）.重要結論：拋物線與弦之間所圍成區域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二.圖（一）圖（二）阿基米德運用逼近的方法證明了這個結論.【證明】：如圖（三）是中邊上的中線，則平行于軸（下面的性質1證明會證到），過作拋物線的切線，分別交、于，則、也是阿基米德三角形，可知是中邊上的中線，且平行于軸，可得點是的中點，同理是的中點，故是的中點，則是的，由此可知：是的，是的，以此類推，圖（二）中藍色部分的面積是紅色部分而知的，累加至無窮盡處，便證得重要結論.【性質1】阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.【證明】：設，，為弦的中點，則過的切線方程為，過的切線方程為，聯立方程，，，解得兩切線交點【性質2】若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內的定點，則另一頂點的軌跡為一條直線；【證明】：設，，為拋物線內的定點，弦的過定點，則過的切線方程為，過的切線方程為，則設另一頂點，滿足且，故弦所在的直線方程為，又由于弦過拋物線內的定點，故，即點的軌跡方程為直線.【性質3】拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡；【證明】：由【性質2】的證明可知：點的軌跡方程為直線.因為點為弦的中點，故的軌跡方程為，斜率；而弦所在的直線方程為，由【性質1】的證明可知：，，故弦所在的直線方程為，斜率，又因為直線與的軌跡方程不重合，故可知兩者平行.【性質4】若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點（若直線方程為：，則定點的坐標為；【證明】：任取直線：上的一點，則有，即┅=1\*GB3①，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則又由【性質2】的證明可知：弦所在的直線方程為，把=1\*GB3①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直線過定點.【性質5】底邊為的阿基米德三角形的面積最大值為；【證明】：，設到的距離為，由性質1知：（直角邊與斜邊），設直線的方程為，則，所以.【性質6】若阿基米德三角形的底邊過焦點，頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小值為；【證明】：由性質2，若底邊過焦點，則，點的軌跡方程是，即為準線；易驗證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點。所以，而.【性質7】在阿基米德三角形中，；【證明】：作準線，準線，連接，則，顯然，所以，又因為，由三角形全等可得，所以同理可得所以【性質8】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，則的垂心在準線上；【證明】：設、、，可求得過的切線交點，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準線的交點的縱坐標為，同理可知：，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準線的交點的縱坐標為：，即交點坐標相同，即可得的垂心在準線上.【性質9】；【證明】：而.【性質10】的中點在拋物線上，且處的切線與平行；【證明】：由性質1知，可得點坐標為，此點顯然在拋物線上；過點的切線斜率為，結論得證.【性質11】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，連接，則的面積是面積的2倍.【證明】：如圖所示：由阿基米德重要結論：拋物線與弦之間所圍成區域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二可知：的面積是弦與拋物線圍成的面積減去弦和弦與拋物線圍成的面積，即（），而的面積則是（），故的面積是面積的2倍.二、特殊的阿基米德三角形：過拋物線焦點作拋物線的弦，與拋物線交于兩點，線段的中點為，分別過兩點做拋物線的切線相交于點，得到阿基米德三角形，過做準線的垂線，分別交準線于點，該圖形滿足以下特性：點必在拋物線的準線上（性質6）；平行于軸（性質1）且是線段的中點；為直角三角形，且角為直角；【證明】：如圖：由（中位線），可得：為直角.4、為直角三角形，且角為直角；【證明1】：如圖：，，且，可知，即：為直角.【證明2】：如圖：，（性質7的證明），且，可得：且，故有：，即：為直角.5、.【證明】：如圖：由（由上式得），可得：，即：.6、若弦的傾斜角為，則.【證明】：（這個結論證法很多）.【高考案例】1、（2005江西卷，理22題）如圖，設拋物線的焦點為，動點在直線上運動，過作拋物線的兩條切線,且與拋物線分別相切于兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB.OABPF解：（1）設切點AOABPF∴切線AP的方程為：切線BP的方程為：解得P點的坐標為：所以△APB的重心G的坐標為，所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：（2）方法1：因為由于P點在拋物線外，則∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：即所以P點到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②當時，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB2、(2006全國卷Ⅱ，理21題)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為Ｍ．（Ⅰ）證明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值；（Ⅱ）設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))將①式兩邊平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，拋物線方程為y＝EQ\f(1,4)x2，求導得y′＝EQ\f(1,2)x．所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出兩條切線的交點M的坐標為(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))為定值，其值為0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2．于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3，由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．3、（2007江蘇卷，理19題）如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線，分別與線段和直線交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若為線段的中點，求證：為此拋物線的切線；（5分）（3）試問（2）的逆命題是否成立？說明理由。（4分）解：（1）設過C點的直線為，所以，即，設A，=，，因為，所以，即，所以，即所以（2）設過Q的切線為，，所以，即，它與的交點為M，又，所以Q，因為,所以，所以M,所以點M和點Q重合，也就是QA為此拋物線的切線。（3）（2）的逆命題是成立，由（2）可知Q，因為PQ軸，所以因為，所以P為AB的中點。4、（2008山東卷，理22題）如圖，設拋物線方程為，為直線上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為．（Ⅰ）求證：三點的橫坐標成等差數列；（Ⅱ）已知當點的坐標為時，．求此時拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點，使得點關于直線的對稱點在拋物線上，其中，點滿足（為坐標原點）．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．yxBAOMyxBAOM由得，得，所以，．因此直線的方程為，直線的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即．所以三點的橫坐標成等差數列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當時，將其代入①、②并整理得：，，所以是方程的兩根，因此，，又，所以．由弦長公式得．又，所以或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設，由題意得，則的中點坐標為，設直線的方程為，由點在直線上，并注意到點也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或．即或．（1）當時，則，此時，點適合題意．（2）當，對于，此時，，又，，所以，即，矛盾．對于，因為，此時直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設矛盾，