第6章魯棒控制系統的計算機

輔助設計與仿真

6」魯棒控制工具箱介紹

6.2魯棒控制系統概述

6.3魯棒控制系統的設計方法

，一J

1==.

6.4魯1=1棒控制系統設計實例

<Back

6.1魯棒控制工具箱介紹

6.1.1魯棒控制工具箱簡介

魯棒控制理論是近年來現代控制理論研究的熱點

和前沿課題。我們知道,在對控制系統進行分析和設計

前一般首先需要對被研究的對象進行建模，系統控制器

的設計一般是在理想模型的情況下完成的。

MATLAB提供的魯棒控制系統工具箱(Robost

ControlToolbox)提供了多變量線性魯棒控制系統分析

和設計的函數和工具。研究對象包括存在建模誤差、

系統參數不確定或動態特性不能完全確定的系統。工

具箱提供的功能強大的算法函數可以幫助用戶快速完

成魯棒控制系統(主要是線性系統)的復雜計算和設

計工作。

借助魯棒控制系統工具箱,我們可以完成的工作包括：

1)魯棒多變量控制系統設計

魯棒控制系統工具箱(RobostControlToolbox)是

建立在控制系統工具箱(ControlSystemToolbox)的基

礎上的，為用戶提供了更為先進的控制算法。它在現代

控制理論與實際控制工程之間建立了一座橋梁。該工具

箱包括一系列有關魯棒多變量控制設計方法的實現算法,

其研究的重點為多變量頻率響應的奇異值和多變量Bode

圖的分析和繪制。

2）魯棒性分析

系統的不確定性因素具體有外界噪聲/干擾信號、

傳遞函數的建模誤差以及未建模的非線性動態特性。

魯棒控制系統工具箱可以讓用戶找到系統在這些不確

定性條件下的多變量穩定裕度的度量。使用的方法包

括：最優對角縮放、Perron特征向量對角縮放和奇異

值方法等。

3)魯棒性系統綜合

經典或現代魯棒控制系統的設計人員通常采用回

路設計(LoopShaping)的系統設計方法來滿足系統

的設計要求。多變量系統的回路設計方法是通過奇異

值Bode圖實現的。魯棒控制系統工具箱提供了各種

SISO或MIMO回路設計的方法，諸如LQR、LQG、

LQG/LTR、H2和Hoo等等。

4）魯棒模型簡化

有時根據魯棒控制理論設計出來的魯棒控制器的階

數很高以至于難于實現，這時通常需要進行控制器的簡

化。其它模型簡化的場合還包括系統模型簡化以及大

規模系統仿真等等。一個良好的模型簡化算法應該同

時具有數值魯棒性和保持閉環系統魯棒性的能力。魯

棒控制系統工具箱提供的模型簡化算法可以滿足這些

要求。

6.1.2系統的分層數據結構表示

在MATLAB的魯棒控制工具箱中使用了一種特殊

的數據結構,即分層數據結構(HierarchicalData

Structure),來表示所描述的系統對象。這使得用

戶可以用一個簡單的變量來代表所要研究的系統并進

行相關的運算,從而很大程度上方便了用戶訪問魯棒控

制工具箱中函數的過程。這個變量稱為tree類型的變量。

下面的M文件函數可以用來創建系統的tree變量：

1)mksys

該函數可以將代表系統對象的矩陣封裝到單個

MATLAB變量中。例如ssg=mksys(ag,bg,eg,dg);

TSS=mksys(A,Bl,B2,Cl,C2,Dll,D12,D21,D22,

勺ss');

第一行程序將代表系統狀態方程的4個矩陣ag、bg、

eg和dg統一用ssg來描述；第二行將二輸入輸出系統

(A,Bl,B2...)的狀態方程封裝到變量TSS中。也可

以在mksys的最后參數中指定所要描述系統的類型。

2)branch

該函數的基本功能是獲取封裝在系統或tree變量中

的矩陣信息。如

[D11,C2]=branch(TSS,'dll,c2');

從系統TSS中得到矩陣DI1和C2；

ag=branch(ssg,R);

從系統狀態方程ssg中獲取矩陣ago如果想一次得

至Ussg中所有的矩陣，可以輸入

[ag,bg,eg,dg]=branch(ssg);

表6.1mksys命令的常見參數

類型V],V2,V3,…，vn說明

rss'(a,b,c,d,ty)標準的狀態方程（缺省）

'des'(a,b,c,d,e,ty)描述符系統

'tss'(a,bl,b2,cl,c2,dll,dl2,d21,d22,e,ty)二輸入輸出系統

'tdes，(a,bl,b2,cl,c2,dll,dl2,d21,d22,e,ty)二輸入輸出描述符系統

'gssv'(sm,dimx,dimu,dimy,ty)一般的狀態方程

'gdes'(e,sim,dimx,dimu,dimy,ty)一般的描述符系統

'gpsm'(psm?deg,dimx,dimu,dimy,ty)一般的多項式系統矩陣

ztf(num.den,ty)傳遞函數形式

，tfm，(num,den,m,n,ty)傳遞函數矩陣形式

'imp'(y,ts,nu,ny)脈沖響應形式

3)tree

為用戶提供了一個創建分層數據結構包括矩陣、

字符串甚至其它tree類型的一般工具。

例如，如果希望同時保存二輸入輸出系統(A,B1,

B2,…)、控制器(af,bf,cf,df)、頻率響應［w;sv］以及

這個系統的名稱AircraftDesignData,就可以輸入

fr=tree('w,sv\w,sv);

DesignData=treeCplant,controller,freq,name',

TSS,ssf,fr,'Aircraft...DesignData");

圖6.1顯示了tree變量DesignData的層次結構。

a,bl,b2af,bf,cf,dfW,SVAircraftDesignData

DesignData

圖6.1DesignData的層次結構

為了得到tree變量DesignData第一層中的name的變

量值，可以輸入

name=branch(DesignData,'name')

ans二

AircraftDesignData

在RobustControlToolbox的函數中，如果輸入參數

包含一個tree變量，該函數能夠自動檢查該變量是否代

表某個系統。

如果是，那么該函數將自動將該輸入變量展開，用

它代表的實際系統矩陣來替代原來的系統變量作為函

數的輸入參數。例如，下面的兩行程序實際上完成相同

的計算功能：

hinf(TSS);

hinf(A,Bl,B2,Cl,C2,Dll,D12,D21,D22);

<Back

—

6.2魯棒控制系統概述

621奇異值、BP和H00范數

假設矩陣4￡。^「的秩為「，將A*A的非負方根oi稱

為矩陣A的特征值，其排列次序為必決2二之。0P=min(m,

n)o如果r<p,則矩陣A具有p-r個零奇異值，即

07+]=ar+20

對于任何矩陣A,有

0*

A=u￡V*=uV(6.1)

00

其中,S=diag(o19o2,or)o式(6.1)稱為矩陣A

的奇異值分解(SVD),其中A的最大奇異值定義為

6/)=/

如果矩陣A是nXn的方陣,則它的第n個奇異值,也就

是最小的奇異值，定義為

2(4)二%

奇異值通常具有以下的性質

^Ax

(1)。(4)=maxveC00(6.2)

(2)g(4)=minxes(6.3)

(3應(，)94(4)區44)

這里的兒代表矩陣A的第i個特征值。

1

(4)如果/t存在石(4)

黃才1)

1

(5)如果4T存在乜(力)=

8(》)

(6)b(a4)=\acr(A)

(7)a(A+5)<a(A)+a(B)

n

(8)Z=TracedA)

i=\

其中屬性1在魯棒控制系統的分析和設計中很重要。

因為該屬性反映了矩陣A的最大特征值與輸入向量x在

所有可能方向上的矩陣增益的最大值之間的關系。對

11

于穩定的1印尉9變換矩陣6($)￡0*",p=min(m,n)o

定義G(j3)的與頻率相關的H2和Hs范數如下：

H2范數

—-----------------------------------------

SOO2

G2口3(於))評必萬(6.4)

/J—00

甲范數

G□

00(j①))(6.5)

CD

6.2.2標準的魯棒控制問題

魯棒多變量反饋控制系統的設計問題可以簡單地

描述為：為系統設計的控制規律使得系統在環境或系

統本身的不確定性影響下仍然具有指定容許誤差范圍

內的系統響應和系統誤差。這里的不確定性包括很多

方面，但其中最重要的是指系統的外界干擾（噪聲）信

號和系統傳遞函數的建模誤差。魯棒控制系統設計將

采用Hoo范數作為這類不確定性因素的度量。

魯棒控制系統設計問題的一般描述如下：

假定一個多變量系統尸（S）,尋找某個穩定的控制器

F（s）,使得閉環系統的傳遞函數T）滿足下面的關系：

1<1

K.（W。））<（66）

KM（1）=inf{『（△）Idet（7-TQ?=0}

A=diagSc…

這個過程可以用圖6.2來說明。

式（6.6）稱為魯棒條件。KM稱為最小不確定性△

的大小，由每個頻率對應的奇異值來度量。函數KM又

稱為對角擾動的多變量穩定裕度（MSM）,它的倒數

用以表示,即

KM=~（6.7）

—

控制器

圖6.2標準魯棒控制問題的方框圖

如果4不存在,該問題又被稱為魯棒鎮定問題

(Robuststabilityproblem)。上述問題的求解涉及到△

的非凸優化問題,它不能通過標準的非線性梯度下降方

法計算得到,因為此時的算法收斂性無法保證。然而由

于H存在上界，可以通過下式計算

——1——=u(T)=infDTD-x=DTD-x

K(T)產'y/"y'u-oop%%poo

其中,Dp￡D為Perron最優增益矩陣。

Jr

D={diag|（d/…，痣7）%>0},顯然IITyjUi||8也是1/KM

的上界。如果這些上界都滿足魯棒條A約束，那么可以

充分保證〃和KM也滿足魯棒條件約束。

6.2.3結構與非結構不確定性

實際上每一個4（戶1,…,n）自身都是矩陣并且代表不

同種類的物理不確定性因素。在魯棒控制中，這些不確

定因素分為結構不確定性和非結構不確定性。非結構

不確定性代表與系統頻率無關的項。例如，驅動器的飽

和特性、高頻段的非建模誤差或者低頻段的系統擾動

等等。它們與正常系統模型的關系可以表示為

G=G+AA(6.8)

或者寫成相乘的形式

G=(/+A〃)G(6.9)

實際系統對象G

M(s)

圖6.3非結構不確定性的加法與乘法表示

結構不確定性代表系統模型中的參數變化，例如系

統傳遞函數中零極點位置的變化，系統狀態矩陣中系

統矩陣的變化，以及指定回路增益的變化等等。

MATLAB的魯棒控制系統工具箱允許用戶對結構

和非結構不確定性進行建模，并將它們考慮進控制器的

設計過程中。提供的各種函數和工具可以完成系統的

魯棒分析和魯棒控制器的設計。

624魯棒控制分析

魯棒分析的目的是通過某種適當的非保守分析算法

來“觀察”MSM矩陣。換句話說，我們將找出系統保

持穩定狀態下不確定性的上界。其基本步驟包括：

(1)定義不確定性模型。

(2)將不確定輸入(包括結構和非結構不確定性因

素)寫成圖6.4所示的M-A形式。

A

具有驅動器、傳

感器和控制器的

控制系統模型

圖6.4

_______________________________________

例6.1對非結構不確定性進行建模。

下面的傳遞函數代表某架飛機的動態特性。

1

G⑶=7^)

如果正常的模型為不(s)=1/$2,則

d+]—

—A7j1—G—G—M(UF5

S2+1一—

△M=G-G)H=---M(s)=GF(I+GF)

s+2

10-210-J10°101102

Rad/Sec

圖6.5加法和乘法表示的不確定性的Bode圖

例6.2結構不確定性的建模。

下面將討論如何從狀態空間的A和B矩陣中提取系

統的結構不確定。假定飛機的狀態空間模型表示為：

其中,(p,r,p,ba，g的初始導數定義為

Lf二(￡+廣

系統狀態矩陣包括

--1.99530.7513-0.02990.09060.0298

A=-1.0093-0.15180.0060B=-0.0024-0.0204

39.8500-331.90-0.16730.02040.2284

「00-0.171100

=

aA二

156.89276.7840000

圖6.6對參數不確定性的表示

—

由模塊框圖得到的狀態方程為

□

x-Ax+用%+B2y2

yl=Cxx+。必

J8乙=AC乙?x+AZ)/幽1

從而得到干擾情況下的狀態方程為

□

%=(/+52AC2)X+(B、+52Ao2)%

0-0I。。。IIo—

ioooooo一

oooo

OooooT-IO

o一oo。Ioo

?oooOoo

o一oooo

oooo

Oo一oooo

Oo一oooo

III___

IIIIII

w5r

-

整個系統模型可以寫成

(AB］始

尸(s)=GDx0

30)

使用線性分數轉換函數出f,可以獲得系統U1到y

的閉環控制反饋回路F(s)。從系統％到丫2的傳遞函數

是M(s)。

6.2.5系統魯棒分析

基于SandbergZames的小增益定理可以推出下面

的標準奇異值穩定魯棒性定理：

對于一個M-A表示的系統，如果對于任意的穩定A(s)

滿足

CT(A(7^))<---------(6.10)

加)]

其中,8為滿足SWR,或者||叱(和島的任

意數,則可以斷定該M-△系統是穩定的。

下面來介紹多變量穩定裕度(Multivariable

StabilityMargin,簡稱MSM)的概念：

1

=inf{『(A)|det(/-MA)O=0}

A

其中,A=diag(Ai，An)o

KM與A具有以下的性質：

(1)KM是使得系統(/-〃△)不穩定的最小黃△)

(2)如果不存在△滿足det(I-MA)=0,貝1」下=8。

(3)均是M和結構A的函數。

(4)對于任意的標量％有|i(aM尸|a||i(M)。

(5)設p為譜半徑，則p(M)Si(M)S(Mg

(6)如果△=?,b￡C,則pi(M尸(明。

⑺如果AczCmxn為滿秩矩陣則4(〃)=3(〃)。

(8)推廣的小增益定理：如果M(s)是穩定的，并且

對于所有穩定的Ai滿足IIII小1,則受擾系統

(1-MA)」穩定的充分必要條件為對于任意的co￡R,滿足

KM(MOCO))>1O

1981年，Safonov提出一種對角縮放的方法來計算

MSM的上界，如圖6.7所示。其基本思想是：如果A和

D是對角矩陣，IIAII00=||DiAZ*如而

IIDMD-iII0c可能比IIML小得多,那么可以得到下面表

示的KM的上界

二-=認M)<infDMD-<DMD^(6.11)

KDfDsPPs''

八wP

-

同類不確定性

M^DMD-X

圖6.7對角縮放的概念

其中的Dp￡D代表Perron最優縮放矩陣，

D={diag(d]/,…,dQdj〉。}。很明顯,無縮放的奇

異值穩定魯棒性定理使用KM最保守的上界來預測

MSM,而經過縮放的奇異值可能比前者準確得多。

魯棒控制工具箱為用戶提供了許多函數，以用于計算

多變量系統的結構奇異值(SSV)1/廝(T.)的各種上

界值："

(1)奇異值：sigma和dsigma。

(2)Perron對角縮放：psv和ssv。

(3)Osborne對角縮放：osbome和ssv。

(4)乘法縮放：muopt和ssv。

(5)特征增益曲線：cgloci和dcgloci。

下面通過具體的例子來說明，當我們知道更多關于

A的信息后，仍然采用奇異值進行魯棒性分析可能會過

于保守。

例6.3假定某個系統具有下面的傳遞函數

1(4s+320、

G(s)=

s2+12s+32112s2+64s8s+32,

在其輸入端具有相乘形式描述的不確定性△,試確

定傳遞函數G(I+G尸的SSV。

解：具體的計算程序為：

num=[0432;12640;000;08321;

den=[11232];m=2;n=2;

—

tfm=mksys(num,den,m,n,'tfin');

%用分層的數據結構表示該系統

ssg=tfm2ss(tfm);

%轉換成狀態空間形式

w=logspace(-3,3);

perron=20*logl0(ssv(ssg,w));

%使用Perron特征值方法計算SSV

svmax=10*log10(max(sigma(ssg,w)));

%直接計算最大的奇異值

—

semilogx(w,svmax,'k:',w,perron,k，)

%繪制二者的比較曲線

ylabel(rDBr);xlabelCRad/Secr)；

legendCSingularValue',"Perron',3)

最后得到如圖6.8所示的計算結果。

20

Rad/Sec

圖6.8Perron上界與奇異值的比較

<Bdck<

6.3魯棒控制系統的設計方法

6.3.1概述

目前發展起來的Hoo理論、頻率加權LQG方法、

LQG回路傳遞恢復（LQG/LTR）和p綜合理論可以用

來進行魯棒控制器設計。其中，Hoo理論為魯棒控制器

提供了直觀、可靠的設計過程，它能最優地滿足奇異值

回路的要求；

頻率加權LQG最優綜合理論（又稱為H2理論或

WienerHopf理論）和LQG/LTR的設計方法雖然不是

很直觀，但提供了一種迭代方法來調整奇異值Bode圖曲

線以滿足奇異值回路的整定要求；而N綜合理論在整

定函數N（或KM）時同時考慮魯棒分析和魯棒綜合問

題，作為魯棒控制系統設計工具為用戶提供了最大的靈

活性。表6.2列舉了以上所列方法各自的優缺點。

RobustControlToolbox中包含了多種設計魯棒穩

定反饋控制規律的方法，使系統滿足魯棒約束的要

求鼠1<1：

(1)LQG回路傳遞恢復(相關命令Iqr、Itru和Itry)。

(2)H2最優控制綜合(相關命令h21qg)。

(3)Hoo最優控制綜合(相關命令hinf、hinfopt和

linf)o

圖6.9是滿足求解過程的示意圖，該問題也

被稱為小增益問題：

up⑸

U2y?

圖6.9小增益問題

表6.2各種魯棒控制設計方法的比較

方法命令優點缺點

1.需要全狀態反饋

1.保證穩定裕度

LQRIqr2.需要精確的模型；

2.純增益控制器

3.可能需要進行多次的迭代過程

1.不能保證穩定裕度

LQGiqg’可以利用噪聲數據2.需要精確的模型

3.可能需要進行多次的迭代過程

1.高增益控制器

1.保證穩定裕度

LQG/LTRItru,Itry2.設計集中在一點上

2.系統的設計過程

3.可能需要進行多次的迭代過程

1.幾乎完全實現回路的整定要求

H2h21qg可能需要進行多次的迭代過程

2.閉環系統總是穩定的

1.完全實現回路的整定要求需要特別注意系統參數的魯

2.一步設計過程棒性

在設計過程中同時結合結構和1.問題是非凸的

日綜合musyn

非結構不確定性2.控制器規模可能很大（2n或3n）

6.3.2H2和H8設計方法

H2和H00綜合方法是專門用于滿足奇異值設計要求

的魯棒多變量反饋控制系統設計的強有力的工具。

MATLAB的魯棒控制工具箱函數h21qg、hinf和hinfdpt

用來計算連續系統H2和Hoo控制規律，對于離散系統情

況則可以使用dh21qg>dhinf和dhinfbpt函數。

壓或H?設計問題可以簡單地描述為：給定系統對

象P(s)的狀態空間實現

AB、層

P(s)=GDn。12

02D?\口22

尋找一個穩定的反饋控制規律

u2(s)=F(s)y2(s)

使得閉環傳遞函數矩陣的范數最小

"場=4(S)+《2(S)(/—尸(S)￡2(S)T尸(S)￡](S)

上述三個問題在RobustControlToolbox中體現為

(1)H2最優控制:向川7￡42o

(2)Hoo最優控制：minT。

i00

(3)標準的Hoo控制：min(Tyu21)°

其中,標準的H00控制問題也被稱為H叼、增益問題。

在實際運用中,力和H00綜合方法常常是結合起來使用的。

首先使用H2綜合理論進行系統的初步設計，然后根據初

步設計得出的結果選擇合適的H00準則，最后運用H00綜

合理論完成最后的系統設計。整個過程可以通過所謂

的單參數Y迭代方法來具體實現。

H00控制器具有以下重要的特性：

(DIF最優控制中的代價函數滿足

\zy\ll\

3(&)=1,VG￡H。

(2)由hinf計算得到的H8次最優控制器與增廣系統

(n個狀態)具有相同數目的狀態變量。而由諸如

hinfopt命令產生的H00最優控制器最多只有n-1個狀態。

6.3.3奇異值回路設計：混合靈敏方法

下面我們考慮圖6.10所示的多變量反饋系統。為

了度量該系統的多變量穩定裕度和系統動態屬性，可以

使用從r分別到系統三個輸出e、u和y的閉環傳遞函數

矩陣的奇異值,即

def

S(S)=(/+￡(S))7(6.12)

def

R(s)=尸(s)(/+￡(s))T(6.13)

def

T(S)=￡(S)(/+L(S))T=/—S(s)(6.14)

其中,L(s戶G(s)F⑸。

圖6.10多變量反饋控制系統示意圖

其中的矩陣S(s)和T(s)分別稱為靈敏函數和輔助靈

敏函數。上述三個傳遞函數矩陣R(s)、S(s)和T(s)在魯

棒多變量控制系統設計中具有重要的作用。回路傳遞

函數矩陣L(s)的奇異值也很重要，因為它決定了矩陣S(s)

和T⑸。

實際上S(s)是從干擾d到系統輸出y的閉環傳遞函數

(參考圖6.10),因此S(jco)的奇異值決定了擾動的衰減

動態特性

b(S(9))<kOa)(6.15)

其中，|W3(j3)|是期望的擾動衰減因子。將擾動衰

減因子定義為頻率3的函數，是希望在系統不同頻段定

義不同的擾動衰減因子。

在分別存在可加性系統擾動AA和可乘性擾動AM的

情況下，R(s)和T(s)的奇異值Bode圖可以用來度量多變

量反饋設計中的穩定裕度,如圖6.11所示。

「踴法-----------------------------------------------------

圖6.11可加性和可乘性不確定性干擾

魯棒定理I：假定如圖6.11所示的系統是穩定的,

不確定性AA和AM的初始狀態為零，定義AA=0,則系統

失去穩定前最小穩定甌⑻的大小為

-1

。（金（汝））二一（口..（6.16）

我們可以對可加性不確定性AA作同樣的分析,并

且得到AA（s）與R⑸的類似結果。

魯棒定理2：假定如圖6.11所示的系統是穩定的,

不確定性AA和AM的初始狀態為零，定義與項則系統

失去穩定前最小穩定AA（s）的大小為

-1

。(△式加))==-------(6.17)

o(R(j①))

門面可以通過如下的奇異值不等式定義穩定裕度:

黃R0M）〈國（M

其中,|W2（jC0）|和|W3（jC0）|分別是系統最大可加性

和可乘性擾動的預期大小。

通常我們將系統所有不確定性因素的影響都寫成

系統虛擬的可乘性擾動AM的形式。這樣，魯棒控制器

的設計要求可以寫成(如圖6.12所示)

1一

—T-->(加)①(7(%))<咚七司

0(S(JG))11

有趣的現象是圖6.12的上半部分(OdB線以上)滿足

~-----

~。(7(%))

而圖下半部分(OdB線以下)滿足

6(L(j①))=o(T(j①))

這是因為

def

S(s)=(/+￡(s))r=￡(s)，b(￡(s))□

def_

T(s)=￡(s)(/+￡(s))T=￡(s),cr(L(s))□

圖6.12顯示可以將?L(jco))的約束邊界所代表的擾動

衰減和可乘性穩定裕度作為奇異值回路的設計要求。

在選擇權重W1和W2時需注意,0dB線與Wi的Bode

圖頻率的交叉點必須位于OdB線與W2的Bode圖頻率的交叉

點以下。也就是說，必須滿足

/(％-13))+黃叼七3))>1

—

一a(L)

7⑸

0(L)-

圖6.12S和T的奇異值

魯棒控制系統的混合靈敏設計方法是一種進行多

變量回路設計的直接有效的方法，盡管它只是標準魯棒

控制問題中的一種特殊情況。在混合靈敏問題中，擾動

衰減的期望特性和穩定裕度期望值可以寫成下面的統

一形式：

<1(6.18)

(6.19)

—

混合靈敏的代價函數還具有其它特殊的性質。就

魯棒靈敏問題（參考圖6.14）而言，混合靈敏的代價函

數為標準的魯棒控制問題提供了簡化得多并且幾乎完

全等同的描述方法。可以證明,如果式（6.18）的條件

稍微加強一點，即

*1

增廣系統P(s)

%

圖6.13混合靈敏設計問題

—

準魯棒控制問題中的Ty,可以簡化為下面的形式

y\u\

%S

用3T

對于任意的S(s)和T(s),可以有

取1S/S/S

<u[

印3T%T%T

0000

圖6.14魯棒靈敏性問題

6.3.4綜合問題

系統N綜合問題的目標是尋找穩定的控制器F(s)和

對角矩陣D(s),使得

II。"尸L<1(620)

一個系統H綜合問題可以描述為如圖6.15所示的迭代

過程。

(1)假設D(s)=I,使用Hoo控制設計方法(hinf.m)

將找到一個使代價函數DTDx最小的F(s)。

兇u100

圖6.15pi綜合問題的D-K迭代過程

(2)固定F(s)不變，使用ssv命令尋找使代價函數最

小的對角矩陣D⑸。

(3)使用曲線擬合方法找到第(2)步得到

的最優矩陣D⑸的低階有理近似描述。

(4)如果代價函數小于1,則迭代過程停止,否則回

到第(1)步重新執行。

N綜合問題從本質上可以分解為兩個不同的優化問

題。對于固定的D矩陣，該問題變成標準的H8設計問題

(通過hinfopt函數計算)。而對于固定F(s)的情況，該

問題就變成尋找一個穩定的D(s)來滿足代價函數在每

一頻率處的最小性要求(相關的函數包括ssv、psv>

perron和muopt等)。下面的一段程序將對一個簡單的

系統采用pi綜合方法進行魯棒控制器的設計。

%被研究對象的系統參數

a=2;bl=[.1,-1];b2=-l;

cl=;dll=[.l?.2;.01,.01];dl2=[l;0];

c2=l;d21=[0,1];d22=3;

tss=mksys(a9bl,b2,cl,c2,dll,dl2,d21,d22/tss');

w=logspace(-2,1);

%進行Hoo最優設計

[gamO,sscpO,ssclO]=hinfbpt(tss);

[muO,logdO]=ssv(ssclO,w);

%日綜合的第一次迭代計算(D為常值矩陣)

[ssd1,logd1]=fitd(logdO,w);

[gaml,sscpl,sscll]=hinfdpt(augd(tss,ssdl));

[mul,deltalogd]=ssv(sscll,w);

%日綜合的第一次迭代計算(D為一階矩陣)

[ssd2,logd2]=fitd(logdl+deltalogd,w,1);

[gam2,sscp2,sscl2]=hinfdpt(augd(tss,ssd2));

%顯示計算的結果

loglog(w,max(sigma(sscl2,w))/gam2,w,ssv(sscl2,w)/gam2);

6.3.5雙線性變換與魯棒控制系統設計

在進行系統魯棒控制器設計的過程中，雙線性變換

bilin.M有時會很有用。使用該命令，可以消除某些增廣

系統中內在的病態性，利用閉環系統的主導極點進行

控制系統設計。

在H00混合靈敏問題中，如果增廣系統有虛軸上的極

點或零點，如果可以設計有效的魯棒控制器，則該控制

器在相應的虛軸位置具有臨界穩定的閉環極點。對于

更為一般的情形，如果Pi2(s)和P2i(s)具有虛軸零點，包括

由于P(s)的狀態空間實現的矩陣Di2或D21不滿秩而導致

的8處的零點，

也會發生類似的問題。實際上，上述問題將會導致決

定Hoo控制器的方程奇異點。這時，魯棒控制箱函數hinf和

dhinf將會產生警告消息。

使用雙線性變換可以有效地解決以上問題。虛軸上

的零極點可以通過對系統進行雙線性變換加以消除，待控

制器設計完成后，再通過逆變換，就可以得到原來系統的

魯棒控制器。當然，這時得到的Hs控制規律可能是次最

優解。通過雙線性變換，H00理論也可以用來控制系統的

暫態行為，如上升時間、阻尼比和穩定時間等等。這點

在了解雙線性變換的原理后自然可以明白。

_雙線性變換通過下面的方程將s平面上的點映射到

S平面：-

s+p\

s二-=-----(6.21)

二十1

P2

其中,Pl和P2分別是S左半平面圓周的直徑上的兩

個端點，它被映射到5平面的虛軸。而相應的逆

變換為

(6.22)

工-1

P2

圖6.16顯示了雙線性變換條件下A、B和C在兩個不

同平面上的對應區域。從圖中可以看出，雙線性變換具有

如下的特點：

(l)s平面上的圓周邊界映射到s平面的虛軸上。

(2)s平面上的虛軸映射到［右半平面上的圓周上。

(3)A、B和C區域的點映射到］平面所對應的區域。

圖6.16虛軸極點的雙線性變換

az+5

雙線性多變量前向和逆變換是變換5二97的特

殊情況,它可以通過下面的狀態空間形式來實現

44]-〃)T(4-2)(。/-〃)TB、

1l

ChC{al-/A)-D+/C(a-/A)-B)

(6.23)

現在如果系統在s平面具有虛軸極點，雙線性變換將

這些點映射到［平面上以-(pl+p2)/2為中心的圓周上。

可以證明，雙線性變換中的pl參數決定了在s平面上閉環

系統的主導極點的配置。使用雙線性變換設計魯棒控制

器的過程可以歸納如下：

(1)從系統模型框圖中獨立出系統的不確定性模

塊,建立Hoc魯棒控制系統框圖。

(2)通過雙線性變換將s平面上的系統映射到s

平面上。

(3)針對轉換后的系統設計H8魯棒最優控制

器(即求解o

min~_7(%)<1)

“S)II00

(4)通過雙線性逆變換將設計好的控制器廠(s)

映射回s平面。

(5)返回步驟⑴迭代計算雙線性變換的pl參數,

直到系統的動態屬性滿足設計要求。

<Back

6.4魯棒控制系統設計實例

6.4.1二階系統的經典回路設計與Hoo綜合

設一個二階系統G(s)在20rad/s處具有0.05的阻尼。

為該系統設計控制器使系統的頻率響應Bode圖如圖

6.17所示。在50rad/s以下，我們希望補償器的回路傳

遞函數奇異值位于實線以上，以使系統具有良好的干

擾收斂性。在200rad/s以下，我們則希望補償器的回

路傳遞函數奇異值位于實線以下，以使系統具有較大

的穩定裕度。

—oi^o--------------------------------------------------------------------------------------------------

圖6.17

系統的經典控制設計可以分解成以下幾個步驟(如

圖6.18所示)：

(1)加入速率反饋以提高系統阻尼比。

(2)為滿足系統高頻特性設計控制器或調整控制器

參數(頻率裕度等)。

(3)為滿足系統低頻特性設計控制器或調整控制器

參數(擾動衰減、DC增益等)。

經典控制設計的結果如圖6.19所示。

-

超前滯后校正器系統對象

圖6.18經典回路設計框圖

ClassicalLoop-Shaping

60

40

20

o

S

-20

—40

—60

-80

10°101102103

Rad/Sec

圖6.19經典回路設計結果的頻率響應Bode圖

下面介紹使用H00方法來為系統設計控制器。首先

利用數值魯棒的描述符二階Riccati公式計算所謂H8小

增益問題。在這個例子中，系統的頻率設計要求可以用

兩個權重描述：

甲--尸(0.2s+廳用「40000

1100(0.0053+1)23s1

圖6.20顯示了尸1的情況，而圖6.21顯示了其它不同

丫值的結果。很明顯，尸3.16將達到最優值。W1的修

數將是唯一需要迭代計算的參數。我們可以利用魯棒

控制工具箱中的hinfopt完成這一迭代計算的工作。

以下是具體的程序代碼：

nug=400;dng=[12400];

[ag,bg,eg,dg]=tf2ss(nug,dng);

%將系統傳遞函數轉換成狀態空間形式

ssg=mksys(ag,bg,eg,dg);

%建立系統的分層數據結構描述

wl=[2.5e-5l.e-2l;0.01*[4.e-24.e-l1]];

w2=[];w3=[100;0040000];

TSS=augtf(ssg,wl,w2,w3);%創建增廣系統

[ssf,sscl]=hinf(TSS);%設計Hoo控制器

圖6.20二階系統設計的H00加權方法

-

DESIGN#]DESIGN#2

10010l102IO3

Rad/Sec

圖6.21二階系統的H00結果

下面顯示的是程序執行后MATLAB命令窗口的輸

出信息,它對應于k1時的H8控制規律的計算。

?H一infOptimalControlSynthesis?

Computingthe4-blockH一infoptimalcontroller

usingtheS-L一Cloop一shifting/descriptorformulae

SolvingfortheH一infcontrollerF(s)usingU(s)=0(default)

SolvingRiccatiequationsandperformingH一infinity

existencetests:

—

1.IsDI1smallenough?OK

2.Solvingstate一feedback(P)Riccati...

a.NoHamiltonianjw一axisroots?OK

b.A—B2*Fstable(P>=0)?OK

3.Solvingoutput一injection(S)Riccati...

a.NoHamiltonianjw一axisroots?OK

b.A—G*C2stable(S>=0)?OK

4.maxeig(P*S)<l?OK

alltestspassed-----computingH一infcontroller...

DONE!!!

如果要設計最優Hoo控制規律，則可以將上述程序的最后

一行替換成

[rhoopt,ssf,sscl]=hinfbpt(TSS,1);

下面顯示的是y迭代的輸出結果：

?H一InfinityOptimalControlSynthesis?

NoGammaDI1<=1P-ExistP>=0S-ExistS>=0lam(PS)<l

C.L.

11.OOOOe+OOOOKOKOKOKOKOKSTAB

22.OOOOe+OOOOKOKOKOKOKOKSTAB

34.OOOOe+OOOOKOKFAILOKOKOKUNST

43.OOOOe+OOOOKOKOKOKOKOKSTAB

53.5000e+000OKOKFAILOKOKOKUNST

63.2500e+000OKOKFAILOKOKOKUNST

73.1250e+000OKOKOKOKOKOKSTAB

83.1875e+000OKOKFAILOKOKOKUNST

93.1563e+000OKOKOKOKOKOKSTAB

6.4.2雙積分系統的Hoo魯棒設計

在實際工程中經常會遇到包含雙積分器環節的系統,

該系統可以通過魯棒混合靈敏控制器加以鎮定。然而,

由于雙積分會給系統帶來虛軸極點，因此在設計過程中

需要結合雙線性變換。設計步驟如下：

(1)對雙積分器系統對象G(s)=(ag,bg,eg,dg)進行

式(6.11)的雙線性變換，其中p2=oo,pl<0。

(2)對轉換后的系統設計標準的混合靈敏H00控制

器廠(s)。

(3)通過雙線性逆變換將控制器廠(s)映射回F(s)。

例如,某個慣性系統的傳遞函數為

GG)=幺

其中,J=5700表示系統的轉動慣量。系統設計的要求

是尋找一個具有10rad/s帶寬的穩定控制器F(s)。該混合

靈敏問題可以描述為

%(1+GF)T

min<1(6.24)

尸(s)WGF(/+GF)-1

300

虛軸極點的缺陷可以通過雙線性變換加以解決，但

在系統無窮遠處仍然具有兩個零點，該零點也位于虛軸

±o我們可以通過巧妙設計權重以避免這個問題

匕⑸二——

3100

該雙微分器使得系統在無窮遠處仍然是滿秩的，而

且作為輔助靈敏加權函數將系統帶寬約束到10rad/s處。

我們將如下的二階W1的權重作為系統設計的調節參

數:

二尸（4』+2gge而+式

1（為2+242M^S+總

相關的參數設置如下：

3=100：過濾器的DC增益(控制擾動的衰減過程)。

a=2/3：高頻增益(控制系統的最大超調量)。

coc=3：過濾器的穿越頻率。

[1工2=0.7：拐角頻率處的阻尼比。

具體設計程序代碼如下：

[ag,bg,eg,dg]=tf2ss(l/5700,[100]);

%進行雙線性變換

agO=ag+0.1*eye(size(ag));

w2=[];w3=[100;00100];

beta=100;alfa=2/3;wlc=3;

zeta1=0.7;zeta2=0.7;

wl=[beta*[alfa2*zeta1*w1c*sqrt(alfa)w1c*w1c];

[beta2*zeta2*w1c*sqrt(beta)w1c*w1c]];

ssg=mksys(agO,bg,eg,dg);

TSS=augtf(ssg,wl,w2,w3);

[ssep,sscl,hinfb]=hinf(TSS);

[acp,bep,ccp,dep]=branch(sscp);

[acl,bcl,eel,del]=branch(sscl);

—

%進行雙線性逆變換

acp=acp-0.1*eye(size(acp));

dinteva%計算時域和頻域響應

dintpit%繪制相關圖形

最終的計算結果如圖6.22所示。

0

—1

打一2

—3

-4

10-51001O5

Rad/Sec

1/W3&TStepResponse

Sec

圖6.22雙積分系統的Hoo控制器設通果

-

6.4.3彈簧振動系統的雙線性變換與HR魯棒控制

假設圖6.23所示為彈簧振動系統,下面為該系統設計

H00魯棒控制控制器。

測量信號

控制信號■々

U.W

系統干擾

圖6.23彈簧振動系統的示意圖

無阻尼彈簧振動系統的傳遞函數可以寫成

z_k

22

“m{s[m2s+(1+-)k]

其中，質量m1、m2和彈性系數k的正常值設為1.0,

存在不確定性因素，同時由于測量信號與控制信號分別

位于兩個不同的彈簧振子上，使得該系統存在很大的時

間延遲,這些因素的存在使得該系統不大容易被控制。

系統設計的目標是尋找控制器滿足：

(1)當彈性系數在0.5與2之間變化時保持系統的穩定。

(2)第二個彈簧振子的脈沖響應的穩定時間大約為15So

⑶滿足合理的控制能量要求。

整個系統的設計框圖可以用圖6.24表示。彈性系數的

正常值設為1.25,不確定性(IIAII/1)通過參數y進行縮

放。同時,通過另一個加權參數p限制控制信號的大小。形

成的H00小土曾益問題為：

<1

Py\u\

00

該問題的求解目標是使控制能量1/p最小并使系統

魯棒性y最大。當通過減小1/p使控制能量增大時，可實

現的最大魯棒性丫將增加。這一平衡關系可以通過圖

6.25來說明。

圖6.24彈簧振動系統的Hs魯棒控制問題框圖

■

系統的穩定時間自然