2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在AABC中，。為8C邊上的中點，且I4月|=1,衣|=2,/區4。=120。，貝!||而|=（）

2.已知拋物線y2=2px（p>0）上的點"到其焦點廠的距離比點"到y軸的距離大;，則拋物線的標準方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

3.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發現三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

4.如圖是國家統計局于2020年1月9日發布的2018年12月到2019年12月全國居民消費價格的漲跌幅情況折線圖.

（注：同比是指本期與同期作對比；環比是指本期與上期作對比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱同比，2019

年2月與2019年1月相比較稱環比）根據該折線圖，下列結論錯誤的是（）

A.2019年12月份，全國居民消費價格環比持平

B.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格環比均上漲

C.2018年12月至2019年12月全國居民消費價格同比均上漲

D.2018年11月的全國居民消費價格高于2017年12月的全國居民消費價格

5.已知i為虛數單位，若復數々=2+i,z-z,=5,貝lj|z|=

A.1B.后

C.5D.5y/5

Z]

6.已知復數馬=l+ai（aeR）,Z2=l+2i（i為虛數單位），若,為純虛數，則。=（)

11

A.-2B.2c.——D.-

22

a+i-,

7.a為正實數，i為虛數單位，——=2,則a=()

i

A.2B.yjjc.V2D.1

8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.2出B.4C.2D.2&

9.已知復數2=(l+2i)(1+ai)(Q￡R),若Z￡R,則實數。=()

11

A.—B?------C>2D.-2

22

10.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為（）

Q-Q

正視圖側視圖

O

倍視00

5.

A.—B.27rC.-7iD.3兀

32

11.已知函數/Cv)=sin(s+-j+cossG>0）在[0,兀]上的值域為匕耳則實數3的取值范圍為（）

721“2'1\12'

A.二一B.--C.~+coD.~,~

[d3\[33\[d1/3]

12.已知。=55力=Iog4V5,c=logs2，則4，仇。的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在某批次的某種燈泡中，隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下:

壽命（天）頻數頻率

[200,3(H))40a

[300,400)600.3

[400,500)b0.4

[500,600)200.1

合計2001

某人從燈泡樣品中隨機地購買了〃（"GN*）個，如果這n個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結果相

同，則〃的最小值為.

2

14.已知點尸為雙曲線E：/—方=is＞（））的右焦點，M,N兩點在雙曲線上，且M,N關于原點對稱，若

MF1NF,設ZMNF=6,且,則該雙曲線￡的焦距的取值范圍是_______.

126_

15.從集合｛1,2,3｝中隨機取一個元素，記為。，從集合｛2,3,4｝中隨機取一個元素，記為b,則aWb的概率為.

16.已知函數/（力=/-4%-4.若/口）＜1在區間（根一1,一2〃?）上恒成立.則實數加的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設數列｛為｝滿足4+3g+324+1+3"%“=；,rteN*.

（1）求數列｛《,｝的通項公式；

〃，〃為奇數

⑵設“?〃為偶數，求數列也｝的前〃項和s..

x=3cos（p

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數方程為｛.*（（p為參數），在以O為極點，x軸的正

y=sin（p

半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心為（2,半徑為1的圓.

2

（1）求曲線G的普通方程和C2的直角坐標方程；

（2）設M為曲線Ci上的點，N為曲線C2上的點，求|MN|的取值范圍.

19.（12分）據《人民網》報道，美國國家航空航天局（NASA）發文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛星資料

顯示中國和印度的行動主導了地球變綠.據統計，中國新增綠化面積的42%來自于植樹造林，下表是中國十個地區在

去年植樹造林的相關數據.(造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復、人工更新的面積之和)

單位：公頃

造林方式

造林總面

地區

新封山育退化林修

積

人工造林飛播造林人工更新

林復

內蒙6184843H05274094136006903826950

河北5833613456253333313507656533643

河南14900297647134292241715376133

重慶2263331006006240063333

陜西297642184108336026386516067

甘肅325580260144574387998

新疆2639031181056264126647107962091

青海178414160511597342629

寧夏91531589602293882981335

北京1906410012400039991053

(1)請根據上述數據分別寫出在這十個地區中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區；

(2)在這十個地區中，任選一個地區，求該地區新封山育林面積占造林總面積的比值超過50%的概率；

(3)在這十個地區中，從退化林修復面積超過一萬公頃的地區中，任選兩個地區，記X為這兩個地區中退化林修復

面積超過六萬公頃的地區的個數，求X的分布列及數學期望.

20.(12分)在AABC中，內角的對邊分別是滿足條件c=2%-=工.

4

(1)求角A；

(2)若AABC邊A3上的高為G，求的長.

21.(12分)在△ABC中，a、b、c分別為三個內角A、B、C的對邊，且〃？一2叵8csinA+c?=4.

3

⑴求角A；

(2)若4sinBsinC=3,且。=2,求^ABC的面積.

22.（10分）已知橢圓C:5+y2=i的左、右焦點分別為耳，鳥，直線/垂直于x軸，垂足為T,與拋物線丁=4方交于

不同的兩點P,Q,且及=—5，過工的直線團與橢圓C交于A8兩點，設￡其=；1月萬，且2,-1].

（1）求點T的坐標；

（2）求僻+研的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由。為邊上的中點，表示出A75=5（A與+麻），然后用向量模的計算公式求模.

【詳解】

12+22+2X1X2XCOS120

=2

故選：A

【點睛】

在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.

2.B

【解析】

由拋物線的定義轉化，列出方程求出P,即可得到拋物線方程.

【詳解】

由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y軸的距離大;，根據拋物線的定義可得日=；,

??.p=l,所以拋物線的標準方程為：y2=2x.

故選B.

【點睛】

本題考查了拋物線的簡單性質的應用，拋物線方程的求法，屬于基礎題.

3.D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路''正確，故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤，“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路''錯誤，"丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內容進行分類討論，屬于基礎題型.

4.D

【解析】

先對圖表數據的分析處理，再結簡單的合情推理一一檢驗即可

【詳解】

由折線圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國居民消費價格環比是負的，所以5錯誤；設2018年12月份,

2018年11月份，2017年12月份的全國居民消費價格分別為。，4c,由題意可知，b=a,-=1.9%,則有

C

c=--------<a=b,所以￡)正確.

1+1.9%

故選：D

【點睛】

此題考查了對圖表數據的分析處理能力及進行簡單的合情推理，屬于中檔題.

5.B

【解析】

由z巧=5可得z=￡，所以0*=島=方?故選B.

6.C

【解析】

把Z1=1+出(。€/?),Z2=l+2i代入二，利用復數代數形式的除法運算化簡，由實部為0且虛部不為0求解即可.

Z2

【詳解】

Vz{=\+ai{cieR),z2=1+2z,

Zj_1+m_(1+ai)(l-2i)_\+2aa-2.

，，Z-l+2z-(l+2z)(l-2/)-5~5~1,

z,

為純虛數，

Z2

1+2a=Q1

Scc，解得“=一二.

a—2w02

故選C.

【點睛】

本題考查復數代數形式的除法運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

7.B

【解析】

,/|a+，|=2+1=2:.a=±G'：a>0,.'.a=下),選B.

i

8.D

【解析】

先根據三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據三視圖的數據，計算各棱的長度.

【詳解】

根據三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：

B.

SED

由三視圖知：卜2,\CE\=73,\SI)\=2,

所以Wq=陽|=2,

所叫陷=，倒2+隔2=2應倒=+時=2次，

所以該幾何體的最長棱的長為2&

故選：D

【點睛】

本題主要考查三視圖的應用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.

9.D

【解析】

化簡Z=(l+2i)(1+ai)=(l-2fl)+(fl+2)z,再根據zWK求解.

【詳解】

因為z=(l+2i)(1+ai)=(1—2a)+(a+2)z',

又因為ZGR,

所以a+2=0,

解得a=2

故選：D

【點睛】

本題主要考查復數的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

10.A

【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1,圓柱的底面

半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，

半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.

貝II幾何體的體積為^=工乂3%*13+%乂12*1=2.

233

故選：A.

【點睛】

本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

11.A

【解析】

將/G）整理為了sinox+泉根據.、的范圍可求得ox+gd根據自）/,結合心）的值域和snu?的圖象，可知

-<^+-<-?解不等式求得結果.

2~3~3

【詳解】

研7r.兀乖.31兀、

f{x)=sinIcox+-1+coscox=sinct)xcos-+cos(yxsin-+coscox=+3cos①x=,3sin(cwx+

當；v€[0,乃]時，cox+二E~,7CC0+二

j3J

又/(0)=由sin二=j，yfSsin-=y,sin；=#

兀兀2兀

由/G）在［o,?d上的值域為

1r

解得：0^

本題正確選項：A

【點睛】

本題考查利用正弦型函數的值域求解參數范圍的問題，關鍵是能夠結合正弦型函數的圖象求得角的范圍的上下限，從

而得到關于參數的不等式.

12.A

【解析】

根據指數函數的單調性，可得〃再利用對數函數的單調性，將4C與1,1對比，即可求出結論.

ci—Jx>19

【詳解】

1L1

(,

由題知a=55>5=l,l>/?=log4V5>log42=-,

c=log52<log5>75=,則a>b>c.

故選:A.

【點睛】

本題考查利用函數性質比較大小，注意與特殊數的對比，屬于基礎題..

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.10

【解析】

先求出a,b,根據分層抽樣的比例引入正整數"表示〃，從而得出〃的最小值.

【詳解】

由題意得，a=0.2,b=S0,由表可知，燈泡樣品第一組有40個，第二組有60個，第三組有80個，第四組有20個，所

以四個組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法，購買的燈泡數為"=2A+3A+4A+A=10A(ZeN*),所以〃的最小值為10.

【點睛】

本題考查分層抽樣基本原理的應用，涉及抽樣比、總體數量、每層樣本數量的計算，屬于基礎題.

14.[272,273+2]

【解析】

設雙曲線的左焦點為連接由于所以四邊形UNRW為矩形，故|MN|=|"]=2c,由雙

曲線定義INF|—|N尸|=|NF|-|月01=2a可得'=拒二$仿+乃]，再求y=3cos[。+?)的值域即可.

【詳解】

如圖,

設雙曲線的左焦點為廣，連接ME',NL,由于r?所以四邊形F'NFM為矩形，

故|MN|=|"]=2c.

在RtAATM中IFN|=2ccos0,\FM|=2csin0,

由雙曲線的定義可得

2=2。=|N尸|一|NF'HNF\-\FM\=2ccos6—2csin0=20ccos(9+f]

1

/.c=----------彳-------

yp2cos1：

1263

..-----W，2cos0H—W—

2I4J2

：.y[2<C<y[3+l,2忘<2c<2百+2.

故答案為：[2A/2,2>/3+2]

【點睛】

本題考查雙曲線定義及其性質，涉及到求余弦型函數的值域，考查學生的運算能力，是一道中檔題.

8

5.9-

【解析】

先求出隨機抽取a力的所有事件數，再求出滿足aWb的事件數，根據古典概型公式求出結果.

【詳解】

解：從集合｛1,2,3｝中隨機取一個元素，記為明從集合｛2,3,4｝中隨機取一個元素，記為b,

則(。,6)的事件數為9個，即為(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),

其中滿足的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),共有8個，

Q

故的概率為

【點睛】

本題考查了古典概型的計算，解題的關鍵是準確列舉出所有事件數.

i6-H)

【解析】

首先解不等式再由/")<1在區間(加一1,一2加)上恒成立，即(帆-1,一2〃?)口一1,5)得到不等組，解得即

可.

【詳解】

解：—4x—4且即f一4萬—4<1解得一l<x<5,即xe(-l,5)

因為〃x)<l在區間(加一1,一2㈤上恒成立，1,—2加)工(—1,5)

-1<m-1

加一1<一2，"解得04尤<1即xe0,-j

-2m<5L,

故答案為：0,()

【點睛】

本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n+2/7+1+-（3"-'T）,〃為奇數

17.(1)勺="；(2)5“=<48、/

d+2（3"-1）,〃為偶數

48V'

【解析】

(1)令〃=1可求得卬的值，令〃22時，由q+34+3-%+1+3"-4=§可得出

q+34+32%+…+3"24T=?,兩式相減可得an的表達式，然后對為是否滿足在〃22時的表達式進行檢

驗，由此可得出數列｛4｝的通項公式；

(2)求出數列｛4｝的通項公式，對〃分奇數和偶數兩種情況討論，利用奇偶分組求和法結合等差數列和等比數列的

求和公式可求得結果.

【詳解】

=

(1)Qq+3%+3~%+L+3"—9

當〃=1時，%=；；

當/722時，由q+3a2+3-%+L+3"%”=—得q+3a?+3-/+?,,+3"~

兩式相減得3"T?%=g,，氏=g.

q=(滿足勺=3.

因此，數列｛4｝的通項公式為4,=*；

,仇〃為奇數

(2).."13","為偶數.

①當〃為奇數時,

T

巴斗^±1_]|91—9S+卯J)；

S=l+32+3+34+---+3n~1+H=lx^+22——<x2+-^------<

"221-9

(

91-92

②當〃為偶數時,一.「1+(“-])]

S?=l+32+3+34+---+(n-l)+3n——---------1

1-9

?-+2?+1+9/3?,,_]),〃為奇數

48、'

綜上所述，S,尸

d+2(3"-1),〃為偶數

[48、)

【點睛】

本題考查數列通項的求解，同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力，屬于中等題.

2

18.(1)Ci：—+y2=l,C：x2+(y-2)2=1；(2)[0,—1]

922+

【解析】

(I)消去參數(P可得C1的直角坐標方程，易得曲線C1的圓心的直角坐標為(0,2),可得C1的直角坐標方程；(II)

設M(3cos<p,simp),由三角函數和二次函數可得IMC2I的取值范圍，結合圓的知識可得答案.

【詳解】

(1)消去參數(P可得Ci的普通方程為±+y2=L

9

:曲線C2是圓心為(2,-),半徑為1的圓，曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),

2

AC2的直角坐標方程為x2+(y-2)2=1；

(2)設M(3co§(p,sin(p)>則IMC2I=J(3cos(p，+(sirup-2)?

=9cos2(p4-sin2(p-4sin(p+4=-8sin2(p-4sin(p+13

3%

V-l<sin(p<l,A1<|MC2|<二歸，

2

由題意結合圖象可得|MN|的最小值為1-1=0,最大值為亞+1,

2

的取值范圍為[0,偵+1].

2

【點睛】

本題考查橢圓的參數方程，涉及圓的知識和極坐標方程，屬中檔題.

19.(1)人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省；(2)2；(3)

分布列見詳解，數學期望為1

【解析】

(1)通過數據的觀察以及計算人工造林面積與造林總面積比值，可得結果.

(2)通過數據的觀察以及計算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過50%的地區個數，然后可得結果.

(3)計算退化林修復面積超過一萬公頃的地區中選兩個地區總數C：,退化林修復面積超過六萬公頃的地區的個數為

3,列出X所有取值并計算相應概率，然后可得結果.

【詳解】

(1)人工造林面積與總面積比最大的地區為甘肅省，

人工造林面積與總面積比最小的地區為青海省.

(2)記事件A：在這十個地區中，任選一個地區，該地區

新封山育林面積占總面積的比值超過50%

根據數據可知：青海地區人工造林面積占總面積比超過50%,

則尸伊)=七

(3)退化林修復面積超過一萬公頃有6個地區:

內蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆,

其中退化林修復面積超過六萬公頃有3個地區:

內蒙、河北、重慶,

所以X的取值為0,1,2

2

所以p(x=o)=CT=上3，p(x=i)=一C'C'=2Q

17Cl15I7Cj15

2

唳=2)=與C=上3

I1C；15

隨機變量X的分布列如下:

X012

393

P

151515

393

￡(X)=0x—+lx二+2x3=1

''151515

【點睛】

本題考查數據的處理以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，審清題意，細心計算，屬基礎題.

20.(1)y.(2)273-2

【解析】

(1)利用正弦定理的邊角互化可得sinC=2sin8-0sinA，再根據8=7一4一。=萬一(4+?,利用兩角和的

正弦公式即可求解.

(2)已知CD=6，由A=?知AD=1,在AfiOC中，解出即可.

【詳解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-夜sinA

由己知C=￡,而8=7r-A-C=;r-(A+?)

?^=2sin(A+一&sin4

=2^^-cosA+與t-立sinA

=y/2COSA

17T

?*?cosA=-9A4=—

23

(2)已知CO=J5，

71

則由A=<知AZ>=1

3

5CD

B=7r-A-C=—7r.DB=——

12tanB

人4.5.(兀71兀冗=1(V2+V6)

先求sin—7t-sin——I——

124，.34

57171

COS—71=-COS-----1-----=-(V6-V2)

12434

5(V6+V2)-R

：.tan—兀=J=——j=^=2+J3

12(V6-V2)

:.DB=^^==2y^-3

2+V3

；?AB=40+06=1+20—3=26—2

【點睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性質、兩角和的正弦公式，需熟記定理與公式，屬于基礎題.

21.(1)A=一；(2)百.

3

【解析】

222

(1)整理〃—氈Asi迅+。2=/得：b+c-a^^-bcsinA,再由余弦定理可得cosA=^sinA,問題得

333

解.

(2)由正弦定理得