題型2滑塊一木板模型動力學解決板塊模型的思路例題2如圖所示，質量M＝1kg的木板靜置于傾角為θ＝37°的足夠長的固定斜面上，質量m＝1kg的可視為質點的小物塊以初速度v0＝5m/s從木板下端沖上木板，同時在木板上端施加一個沿斜面向上的外力F＝14N，使木板從靜止開始運動，當小物塊與木板共速時，撤去該外力，最終小物塊從木板的下端滑下。已知小物塊與木板間的動摩擦因數為0.25，木板與斜面間的動摩擦因數為0.5，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)物塊與木板共速前，物塊和木板的加速度分別是多少；(2)木板的最小長度Lmin；(3)物塊在長度為Lmin的木板上運動的總時間。【審題指導】(1)看到“小物塊以初速度v0＝5m/s從木板下端沖上木板”想到“物塊相對于木板向上運動，物塊所受摩擦力沿斜面向下”。(2)看到“小物塊與木板共速”，想到“共速前小物塊做減速運動，木板做加速運動”。(3)看到“撤去該外力”，想到“此后兩物體的加速度分別是多少，兩物體分別做什么運動”。【答案】(1)8m/s2，方向沿斜面向下2m/s2，方向沿斜面向上(2)eq\f(61,48)m(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)＋\r(\f(61,96))))s【解析】(1)設物塊與木板之間的動摩擦因數為μ1，物塊與木板共速前，物塊的加速度大小為a1，對物塊受力分析可得mgsinθ＋μ1mgcosθ＝ma1，代入數據解得a1＝8m/s2，方向沿斜面向下。設木板與斜面間的動摩擦因數為μ2，木板的加速度大小為a2，對木板受力分析可得F＋μ1mgcosθ－Mgsinθ－μ2(M＋m)gcosθ＝Ma2，代入數據解得a2＝2m/s2，方向沿斜面向上。(2)設物塊與木板達到共速所用時間為t1，則有v0－a1t1＝a2t1，代入數據解得t1＝0.5s，共同速度大小為v＝a2t1＝1m/s。共速前物塊與木板的相對位移為Δx1＝v0t1－eq\f(1,2)a1teq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)a2teq\o\al(2,1)，代入數據解得Δx1＝1.25m。撤掉F后，物塊相對木板上滑，加速度大小仍為a1＝8m/s2，對木板分析有Mgsinθ＋μ2(M＋m)gcosθ－μ1mgcosθ＝Ma2′，解得木板的加速度大小為a2′＝12m/s2，方向沿斜面向下，木板減速上滑。共速后過t2＝eq\f(v,a2′)＝eq\f(1,12)s木板減速到零，過t2′＝eq\f(v,a1)＝eq\f(1,8)s物塊減速到零。由于Mgsinθ－μ1mgcosθ<μ2(M＋m)gcosθ，所以木板減速到零后，物塊在木板上滑動時，木板就不再運動。此過程中物塊與木板的相對位移為Δx2＝eq\f(v,2)t2′－eq\f(v,2)t2＝eq\f(1,48)m，故木板的長度至少為Lmin＝Δx1＋Δx2＝eq\f(61,48)m。(3)物塊在木板上向下滑動時，木板不動，設此時物塊的加速度大小為a1′，由牛頓第二定律可得a1′＝g(sinθ－μ1cosθ)＝4m/s2，設物塊運動到斜面底端所用時間為t3，則有Lmin＝eq\f(1,2)a1′teq\o\al(2,3)，解得t3＝eq\r(\f(61,96))s，故物塊在木板上運動的總時間為t＝t1＋t2′＋t3，代入數據得t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)＋\r(\f(61,96))))s。〔對點訓練〕1.(2023·山東省實驗中學一模)如圖所示，一長木板a在光滑水平地面上運動，某時刻將一個相對于地面靜止的物塊b輕放在木板上，此時a的速度為v0，同時對b施加一個水平向右的恒力F，已知物塊與木板的質量相等，物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且物塊始終在木板上，則物塊放到木板上后，下列圖中關于a、b運動的速度時間圖像可能正確的是(D)【解析】長木板a和滑塊b速度達到相等之前，b相對a向左運動，b受到a向右的摩擦力和恒力F，a受到b向左的摩擦力，a做減速運動，b做加速運動，a、b共速后，若在F作用下，a、b間的摩擦力沒有達到最大靜摩擦力，對a、b整體由牛頓第二定律可知，a、b一起做加速運動，若在F作用下，a、b間的摩擦力達到最大靜摩擦力后，則a、b加速度大小不相等，均做加速運動。故選D。2.(2023·廣東佛山模擬)如圖，光滑水平桌面右端固定有一個定滑輪和擋板P，長木板c質量為mc＝2kg，物塊a靜止放在長木板c左端，并通過與桌面平行的輕繩與重物b相連。重物b由靜止釋放后t＝2s時，長木板c與擋板P發生碰撞(碰撞時間極短)，同時輕繩立即斷裂，碰后長木板c以碰前速率的0.8倍反彈，已知物塊a和重物b的質量均為ma＝mb＝1kg，物塊a與長木板c間的動摩擦因數為μ＝0.75，光滑水平桌面足夠長，重物b離地面的高度足夠高，g＝10m/s2。求：(1)重物b剛開始下落時輕繩的拉力及長木板c與擋板P碰前的速率為多少？(2)長木板c至少需要多長，物塊a才不會從c上滑出？【答案】(1)7.5N5m/s(2)3.6m【解析】(1)重物b釋放后假設a、b、c一起運動，根據牛頓第二定律有mbg＝(ma＋mb＋mc)a解得a＝2.5m/s2則長木板c應受到的摩擦力為fc＝mca＝5N<μmag＝7.5N，故重物b釋放后，a、b、c一起運動，根據牛頓第二定律有mbg－T＝mba解得T＝7.5N長木板c與擋板P碰前的速率為vc＝at＝5m/s。(2)長木板c與擋板P碰后，a、c均做減速運動，a、c的加速度大小分別為aa＝μg＝7.5m/s2，ac＝eq\f(1,2)μg＝3.75m/s2物塊a減速為零的時間為t1＝eq\f(vc,aa)＝eq\f(2,3)s長木板c減速為零的時間為t2＝eq\f(0.8vc,ac)＝eq\f(16,15)s則物塊先減速為零，物塊a減速為零的位移為xa1＝eq\f(v\o\al(2,c),2aa)＝eq\f(5,3)m此時長木板c的速度為vc′＝0.8vc－act1＝1.5m/s長木板的位移為xc1＝eq\f(0.8vc＋vc′,2)t1＝eq\f(5.5,3)m長木板和物塊共速時有aat′＝vc′－act′解得t′＝eq\f(2,15)s此時長木板和物塊的速度為v＝aat′＝1