閩侯實驗中學程文清函數動點問題專題探究八年（5）班2014.5.16

什么是函數動點問題？如何解決此類函數壓軸題？

函數動點問題是近年來中考的一個熱點問題，即在運動變化過程中建立函數模型解決實際問題。解決這類問題要“化動為靜”，即把動態問題，變為靜態問題來解，同時注意應用分類討論思想。

下面我們分點動、線動、面動三種情況展開學習：例1：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若動點P從A點出發，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發以每秒3cm的速度沿CB向B點運動，當P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設點P、Q同時出發，并運動了t秒，問：（1）BC=——————cm；（2）當t為多少時，四邊形PQCD成為平行四邊形？（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．

一、點動問題：（1）BC=——————cm；解：（1）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，∴EC=6cm，∴BC=BE+EC=18cm．（2）當t為多少時，四邊形PQCD成為平行四邊形？∵AD∥BC，即PD∥CQ，

∴當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，即12-2t=3t，解得t=2.4秒，∴當t=2.4秒時四邊形PQCD為平行四邊形；CABDPQ2t12-2t3t

還有其它解法嗎？E（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．

①當QC=DC時，即3t=10，

∴t=10/3

②當DQ=DC時，過點D作DE⊥BC于點E

則QE=CE，即3t/2=6，∴t=4③當QD=QC時，QE2+DE2=QD2

即(3t-6)2+82=(3t)2，∴t=25/9．綜上所述：當t=10/3秒或4秒或25/9秒時，△DQC是等腰三角形。E103t863t分析：因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應考慮三種情況分類討論．

勾股定理是列方程的重要依據2.線動問題：例2：如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方）．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數表達式；（1）求A、B兩點的坐標；解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點C的坐標是（4，0），∴OA=AB=BC=CO=4，過A作AD⊥OC于D，∵∠AOC=60°，

∴OD=2，AD=2∴A（2，2），B（6，2）D（2）設△OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數表達式；分析：直線l從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：（確定自變量取值范圍）①如圖1，當0≤t≤2時，直線l與OA、OC兩邊相交，

∵MN⊥OC，∠OMN=300

∴ON=t，OM=2t

∴MN=t，

∴S=1/2?ON?MN=t2；

②當2＜t≤4時，直線l與AB、OC兩邊相交，如圖2，

S=1/2?ON?MN=1/2×t×2=t；

l③當4＜t≤6時，直線l與AB、BC兩邊相交，如圖3，設直線l與x軸交于H，

MN=2-（t-4）=6-t，=-t2+3t；∴S=?MN?OH=1/2（6-t）t

分段函數綜合解析式例3：如圖、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的長和寬分別為8cm和2cm，C點和M點重合，BC和MN在一條直線上。令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線向右以每秒1cm的速度移動，直到C點與N點重合為止。設移動x秒后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為Scm2，求:S與x之間的關系式.ABCDMNP8283.面動問題：ABCDMNP828第一種情形：ABCD28解：(1)當0≤x≤2時，∵MC＝xcm，∠PMN＝450∴CE＝xcm，∴S重疊＝SΔCEM＝x2cm2GFEABCDMNP828ABCDGFHT解：(２)當２＜x≤６時，∵MC＝x，ＭＦ＝ＧＦ＝２,∴CF＝GD=x-2第二種情形：∴S重疊＝S梯形MCDG＝（x-2+x）2=2x-2ABCDMNP8ABCDGFHT解：(3)當6＜x≤8時，第三種情形：∴S重疊＝S五邊形GMCQH＝Ｓ梯形ＧＭＮＨ－ＳΔＱＣＮQ＝12－