初始彎曲樁基的穩定性和過屈曲問題

樁基是最常見的深層基礎形式之一。現在，它被用作高層建筑、道路橋梁、港口碼頭、海洋勘探平臺和其他結構材料的基礎設施。樁基的穩定性是一個相當復雜但具有實質性意義的科學研究問題。a.r.t.20世紀60年代，r.a.gaber等人深入研究了不同樁端邊界條件和地基系數下的樁基彎曲穩定性。在此基礎上，楊維佳等人使用最小勢能原理分析了端部固定樁的穩定性。彭錫定等人考慮到樁側土壤的抗應力，建立了樁基的平衡方程，并采用加遼金法獲得了兩端固定樁基的臨界負荷。通常,樁基都是直的,但是由于地震等地質災害的影響(如土層的液化等),樁基結構將發生彎曲,從而使樁基承載能力降低,這將給結構的安全帶來極大的威脅,因此研究彎曲樁基的力學性態將對防震抗災具有重大的實用意義.H.Izumi研究了因地震液化導致的橫向地面移動對樁基礎及其靜動力學行為的影響,并發展了一種高柔韌性抗震接頭樁——HighDuctilityAseismaticJointSplicedPile(HDAJ拼接頭樁),可以用來抵抗由于地震引起的破壞.這種樁基的變形是比較大的,應用小變形理論進行分析和設計將導致比較大的偏差.F.Miura、朱媛媛等研究了這種樁基的臨界載荷和穩定性.朱媛媛等對具有初始缺陷的樁基的力學行為進行了非線性、大變形分析,并考察初始缺陷對樁基的力學行為的影響.鄒新軍等討論了初始彎曲對樁身屈曲穩定的影響.當樁基的垂直載荷超過臨界值時,樁基的平凡解支將失去穩定性,對臨界值的討論以及失穩后樁基構形的分析(即樁基的穩定性和過屈曲分析)是本研究的主要內容.1樁基抗力qs的數學模型考察一根彎曲的等截面樁基,其抗彎剛度為EI,假定樁基軸線的初始構形所占有區域為Γ0:{(x,y)|x=s+u0(s),y=w0(s),0≤s≤l}(見圖1).圖1中的θ0(s)表示初始構形在任意點C處的切線和x軸的夾角,s是弧長參數,l是樁基的長度,x軸鉛直向上,y軸為水平方向.因為s是弧長參數,所以dxds=1+u′0(s)=cosθ0?dyds=w′0(s)=sinθ0?式中,()′表示對弧坐標s的導數.設樁基在s=l處受到豎向力P作用,并設平衡時初始構形Γ0中任意一點C(s+u0,w0)移動到點C′(s+u0+u,w0+w),因此變形后的樁基的構形所占有區域為Γ:{(x,y)|x=s+u0+u,y=w0+w,0≤s≤l}?式中,u(s)和w(s)分別為x和y方向的位移.假定在變形過程中樁基不伸長,由cosθ=1+u′0+u′,sinθ=w′0+w′,得到如下的幾何關系:u′=cosθ-cosθ0,w′=sinθ-sinθ0,(1)式中,θ(s)是變形后的樁基的構形上點C′處的切線和x軸的夾角(見圖2).在本研究中,樁基受到的土的抗力q(s)將采用Winkeler模型,假定:q(s)=k{-u(s)sinθ(s)+w(s)cosθ(s)},(2)式中,k是土抗系數.假定樁基的材料是彈性的,則有如下本構關系:Q=EΙ(θ″-θ″0)?(3)式中,Q為剪力,EI為抗彎剛度.在變形后的構形上,考察剪力的平衡得到平衡微分方程為Q+Ρsinθ-k∫ls{-u(τ)sinθ(τ)+w(τ)?cosθ(τ)}cos(θ(s)-θ(τ))dτ=0.(4)將式(3)代入方程(4)中,得到EΙ(θ″-θ″0)+Ρsinθ-k∫ls{-u(τ)sinθ(τ)+w(τ)cosθ(τ)}cos(θ(s)-θ(τ))dτ=0.(5)假定樁基底部固定,樁頭自由,則有如下邊界條件:u(0)=0,w(0)=0,θ(0)=0,θ′(l)=0.(6)從而,方程(1),(5)及邊界條件(6)就組成了要討論的題的數學模型.此外,還假定θ0(s)滿足θ0(0)=0,θ′0(l)=0.(7)于是,當p=0時,式(1),(5),(6),(7)有解為u(s)≡0,w(s)≡0,θ(s)=θ0(s).在以下討論中,將取θ0(s)=ωsinπ2sl,其中ω是一個刻畫樁基初始彎曲程度的參數.現在引進一些新的未知函數,把方程(5)轉化成一組等價的一階常微分方程組.令h=θ′?f1=∫lsu(τ)sinθ(τ)cos(θ(s)-θ(τ))dτ?f2=∫lsu(τ)sinθ(τ)sin(θ(s)-θ(τ))dτ,(8)g1=∫lsw(τ)cosθ(τ)cos(θ(s)-θ(τ))dτ?g2=∫lsw(τ)cosθ(τ)sin(θ(s)-θ(τ))dτ.對式(8)不難求導,于是方程(5)等價于如下一階微分方程組:θ′=h?EΙh′-EΙθ″0+Ρsinθ+kf1-kg1=0?f′1=-usinθ-f2h?f′2=f1h?g′1=-wcosθ-g2h?g′2=g1h,(9)并且滿足如下邊值條件:f1(l)=f2(l)=g1(l)=g2(l)=0.(10)引入無量綱參數,令t=sl,y1(t)=θ(s),y2(t)=lh(s),y3(t)=l-2f1(s),y4(t)=l-2f2(s),λ=l2pEΙ?α=l4kEΙ.則式(1),(9)及邊界條件(6),(10)可簡寫為y′=f(t,y,λ),0≤t≤1,(11)y1(0)=y7(0)=y8(0)=0?y2(1)=y3(1)=y4(1)=y5(1)=y6(1)=0,(12)式中,y(t)=(y1(t),y2(t),…,y8(t))T,f(t,y,λ)=(f1,f2,…,f8)T.{f1=y2(t),f2=θ″0(t)-λsiny1(t)-αy3(t)+αy5(t),f3=-y7(t)siny1(t)-y4(t)y2(t),f4=y3(t)y2(t),f5=-y8(t)cosy1(t)-y6(t)y2(s),f6-y5(t)y2(t),f7=cosy1(t)-cosθ0(t),f8=siny1(t)-sinθ0(t).這樣,常微分方程的邊值問題(11),(12)就是本研究所要討論的樁基的控制方程.2正常解和迭代求解本研究將采用打靶法和牛頓迭代法對邊值問題(11),(12)進行數值計算,為此考察如下初值問題:{y′=f(t,y,λ),0≤t≤1,y1(0)=y7(0)=y8(0)=0?(y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0))Τ=β,(13)式中,β=(β1,β2,β3,β4,β5)T是參數.對固定的λ和β,記式(11),(13)的解為y(t,λ,β).顯然邊值問題(11),(12)的解的充要條件是β滿足方程G(β,λ)≡(y2(1,λ,β),y3(1,λ,β),y4(1,λ,β),y5(1,λ,β),y6(1,λ,β))Τ=0.(14)盡管不能求得G(β,λ)的解析表達式,但是從理論上講,邊值問題(11),(12)的討論等價于有限維方程(14)的討論.設λ=λ*,y(t)是邊值問題(11),(12)的解,令β*=(y2(0),y3(0),y4(0),y5(0),y6(0))T,則y(t,λ*,β*)=y(t),并且G(β*,λ*)=0.這時如果Jacobi矩陣Gβ(β*,λ*)非奇異,則稱邊值問題(11),(12)的解(y(t),λ*)是正常解.若Jacobi矩陣Gβ(β*,λ*)奇異,則稱邊值問題(11),(12)的解(y(t),λ*)是奇異解.對于邊值問題(11),(12)正常解的計算,可對式(14)采用牛頓迭代法來實現,其迭代步驟是:選取適當的初值β(0),若第k次迭代值β(k)已知,則k+1次迭代值β(k+1)可由下式確定:β(k+1)=β(k)-G-1β(β(k),λ*)?G(β(k),λ*)?k=0,1,2,?(15)在式(15)的具體計算中,為了求得G(β(k),λ*)≡(y2(1,λ*,β(k)),y3(1,λ*,β(k)),y4(1,λ*,β(k)),y5(1,λ*,β(k)),y6(1,λ*,β(k)))Τ?需要計算y(1,λ*,β(k)).它可以通過求解常微初值問題(11),(13)來完成,其中λ=λ*,β=β(k).通過恒等式{y′(t,β,λ)=f(t,y(t,β,λ),λ),0≤t≤1?y1(0,β,λ)=y7(0,β,λ)=y8(0,β,λ)=0,y2(0,β,λ)=β1,y3(0,β,λ)=β2,y4(0,β,λ)=β3,y5(0,β,λ)=β4,y6(0,β,λ)=β5,兩邊對βj(j=1,2,3,4,5)求導,可求得是線性初值問題{z′=fy(t,y(t,β(k),λ*),λ*)?z,z1(0)=z7(0)=z8(0)=0?(z2(0),z3(0),z4(0),z5(0),z6(0))Τ=ei,i=1,2,3,4,5(16)的解,式中,ei=(0,?,1i,?,0)Τ?i=2,3,4,5,6,j=1,2,3,4,5.記式(16)的解為Ζi(t,β(k),λ*)=(Ζ1i(t,β(k),λ*),Ζ2i(t,β(k),λ*),?,Ζ8i(t,β(k),λ*))Τ?i=1,2,3,4,5.則由式(16)可知因此,迭代式(15)中的G(β(k),λ*)和JacobiG-1β(β(k),λ*)可以利用求解常微初值問題的數值方法(如Runge-Kutta方法),聯立式(11),(13),(16)得到.(1)小波群中樁基的t,,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-k-k-k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k-1,k因為當λ=0時,u(s)=0,w(s)=0,θ(s)=θ0(s)是樁基的一個解,所以習慣上把通過這個解的光滑解支(y(t,λ),λ)(其中λ≥0),稱為是樁基的平凡解支.如果平凡解支上的解(y(t,Λ),Λ)是奇異解,則稱Λ是平凡解支上的特征值.因為平凡解支上除了一些孤立的特征值以外都是正常解,所以平凡解支的數值計算可采用如下方法實現:給定步長h,令λk=kh,如果當λ=λk-1,λ=λk時,樁基的控制方程(11),(12)的正常解y(t,λk-1),y(t,λk)已經求出,則當λ=λk+1時,要求解正常解y(t,λk+1)可首先令初值β(0)=y(0,λk-1)+λk+1-λk-1λk-1-λk(y(0,λk-1)-y(0,λk));然后按照牛頓迭代式(15)計算,直到滿足條件|β(k+1)-β(k)|<ε時,y(t,β(k+1),λk+1)就是要求的解y(t,λk+1).(2)處理t,kk的迭代求解為了確定平凡解支上特征值的位置,可以通過計算平凡解支(y(t,λ),λ)的同時,求解Δ(λ)=detGβ(y(t,λ),λ)=0來實現.本研究采用二分法來求解這一方程.為此在計算平凡解支(y(t,λk),λk)的同時,監控Δ(λk)=detGβ(y(t,λk),λk)的正負號(這個Δ(λk)的值可由迭代式(15)計算(y(t,λk),λk)時順便求得).當發現有2個相鄰的平凡解(y(t,λs),λs)和(y(t,λs+1),λs+1),使得Δ(λs)·Δ(λs+1)<0,那么在區間[λs,λs+1]上必有一個特征值.這時對區間[λs,λs+1]采用二分法迭代計算,直到求得Λ,使得Δ(Λ)～0,這時Λ就是所要求的特征值.(3)正常解支的延拓算法雖然對有限維分支方程的分叉解支計算有很多成熟的數值方法,但是由于不能得到有限維方程(14)的解析表達式,故并不適用.我們仍將采用牛頓迭代法計算分叉解支,這時關鍵就在于獲得一個接近分叉解支上某個正常解的迭代初值.為了獲得這樣一個初值,對邊值問題(11),(12)給一個小攝動.設(?y(t),?λ)是平凡解支上一個已知解,其中?λ接近于特征值Λ,且?λ<Λ,作邊值問題如下:{y′=f(t,y,λ)+?y(t)′-f(t,?y(t)+θδ,?λ),0≤t≤1,(y1(0),y2(1),y3(1),y4(1),y5(1),y6(1),y7(0),y8(0))Τ=θδ,(18)式中,δ是一個給定的非零向量,θ是一個小參數.顯然當θ=0時,式(18)退化成(11),(12).所以當θ很小時,邊值問題(18)是(11),(12)的一個攝動問題.因為按照奇點理論,經過攝動后的邊值問題在原問題的奇點附近將沒有奇點,并且攝動后的方程的解支是原問題解支的一個近似.所以在|θ|很小時,方程(18)在Λ處附近沒有奇異解.從而可以從方程(18)的正常解(?y(t)+θδ,—λ)出發,按正常解支的延拓方法延拓方程(18)的解支,直到求出方程(18)的解(ˉy(t,—λ),—λ),其中—λ>Λ.因為當θ很小時,這個解是式(11),(12)的一個近似值,所以可以認為(ˉy(t,—λ),—λ)是當λ=—λ時,求解邊值問題式(11),(12)的一個好的初值.對于這樣的初值,采用牛頓迭代法(15),就可求得式(11),(12)分支解支上的一個解(z(t,—λ),—λ),其中z(t,—λ)≠y(t,—λ).3計算結果和解釋3.1反應值判定的優化在具體計算中,先取α=10,w=0.001,h=1.0,利用第二節中所述方法進行數值計算求得邊值問題(11),(12)的平凡解支(y(t,λk),λk),其中λk=kh(k=1,2,3,…),并在計算過程中監控Δ(λk)=detGβ(y(t,λk),λk),首先發現Δ(λ4)·Δ(λ5)<0,因此判定在區間[λ4,λ5]上存在一個特征值Λ1,通過二分法解Δ(λ)=0,最終求得Λ1的準確位置是4.200683594.繼續增大k值,接著可發現Δ(λ24)·Δ(λ25)<0,從而判定在區間[λ24,λ25]上存在另外一個特征值Λ2,通過二分法解Δ(λ)=0,求得Λ2的準確位置是24.07910156.重復以上的步驟,進而可以得到第三個特征值Λ3的準確位置是62.1204834.圖3中對若干λi,分別畫出了平凡解支y8(t,λi)的草圖.表1列出了當ω=0.005時,不同抗力α對應的平凡解支上前3個特征值Λ1,Λ2,Λ3的準確位置.可以看出特征值Λi的值是隨α的增大而增大的.3.2雙階段全時段樁基枝條解的模擬仍取α=10,w=0