12.2全等三角形的判定1．如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△AOC≌△BOC的是（）

A．∠3=∠4 B．∠A=∠B C．AO=BO D．AC=BC【答案】D【分析】根據三角形全等的判定方法即可求解．【詳解】解：A、若加上∠3=∠4，在△AOC和△BOC中，∠1=∠2，OC=OC，∠3=∠4，∴△AOC≌△BOC，故選項A能判定；B、若加上∠A=∠B，在△AOC和△BOC中，∠1=∠2，∠A=∠B，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，故選項B能判定；C、若加上AO=BO，在△AOC和△BOC中，AO=BO，∠1=∠2，OC=OC，∴△AOC≌△BOC，故選項C能判定；D、若加上AC=BC，則已有的條件為兩邊及其中一邊的對角對應相等，不滿足全等的判定方法，∴不能判定出△AOC和△BOC全等，故選項D不能判定．故選：D．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．2．如圖，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，且PD＝PE，則△APD與△APE全等的理由是（

A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【分析】根據題中的條件可得△APD和△APE是直角三角形，再根據條件DP=EP，AP=AP可根據HL定理判定△APD≌△APE．【詳解】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△APD和PD=PEAP=AP∴Rt△APD≌Rt△APEHL故選：D．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解題的關鍵是結合已知條件在圖形上的位置選擇恰當的判定方法．3．已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE,∠B=∠E，下列條件中不能判定△ABC≌A．∠A=∠D B．∠C=∠F C．BC=EF D．AC=DF【答案】D【分析】根據三角形全等的判定條件可直接排除選項．【詳解】如圖所示，

解：A．若∠A=∠D，則根據“ASA”可判定△ABC≌△DEF，故不符合題意；B．若∠C=∠F，則根據“AAS”可判定△ABC≌△DEF，故不符合題意；C．若BC=EF，則根據“SAS”可判定△ABC≌△DEF，故不符合題意；D．若AC=DF，則不能判定△ABC≌△DEF，故符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的條件是解題的關鍵．4．如圖，小明把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（

）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去【答案】A【分析】根據全等三角形的判定可進行求解【詳解】解：第①塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據ASA來配一塊一樣的玻璃．故選：A．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學生將所學的知識運用于實際生活中，要認真觀察圖形，根據已知選擇方法．5．下列說法中，正確的是（

）A．三角形任意兩邊之差小于第三邊 B．三角形的一條角平分線將三角形分成兩個面積相等的三角形C．兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等 D．三角形的三條高都在三角形內部【答案】A【分析】利用三角形三邊關系、三角形中線的性質、全等三角形的判定、三角形的高等知識分別判斷即可．【詳解】解：A．三角形任意兩邊之差小于第三邊，故選項正確，符合題意；B．三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形，故選項錯誤，不符合題意；C．兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等，故選項錯誤，不符合題意；D．三角形的三條高不一定都在三角形內部，如鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了三角形三邊關系、三角形中線的性質、全等三角形的判定、三角形的高等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．6．如圖，BD是△ABD和△CBD的公共邊，下列條件不能判定△ABD≌△CBD的是（

）A．AB=CB，∠ABD=∠CBD B．AB=CB，∠ADB=∠CDBC．AB=CB，AD=CD D．∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB【答案】B【分析】由全等三角形的判定方法：SAS，ASA，SSS，即可判斷．【詳解】解A、由SAS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合題意；B、∠ADB=∠CDB，這兩個角分別是AB，BC的對角，不能判定△ABD≌△CBD，故符合題意；C、由SSS可以判定△ABD≌△CBD，故不符合題意；D、由ASA可以判定△ABD≌△CBD，故不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法．7．如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=30°，∠2=40°，則∠3的度數為（

）

A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】先證出△ABD≌△ACE，根據三角形全等的性質可得∠ABD=∠2=40°，再根據三角形的外角性質即可得．【詳解】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴∠ABD=∠2=40°，∵∠1=30°，∴∠3=∠ABD+∠1=70°，故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、三角形的外角性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵．8．如圖，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，則圖中全等三角形共有（

A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】由AB=CD，AE=CF，證明Rt△ABE≌Rt△CDFHL，則BE=DF，∠ABE=∠CDF，由AE=CF，∠AED=∠CFB=90°，DE=BF，證明△AED≌△CFBSAS，則AD=BC，由【詳解】解：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠AED=90°，∠CFD=∠CFB=90°，∵AB=CD，AE=CF，∴Rt△∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，∴BD-BE=BD-DF，即DE=BF，∵AE=CF，∠AED=∠CFB=90°，DE=BF，∴△AED≌△CFBSAS∴AD=BC，∵AB=CD，AD=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CDBSSS∴圖中全等三角形共有3對，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．9．如圖，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=8，BF=6，EF=5，則AD的長為（

）

A．13 B．11 C．7 D．9【答案】D【分析】只要證明△ABF≌△CDEAAS，可得AF=CE=8，BF=ED=6，推出AD=AF+DF=AF+【詳解】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB=∠CED=90°，∴∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠C，∵AB=CD，∴△ABF≌△CDEAAS∴AF=CE=8，BF=ED=6，∵EF=5，∴AD=AF+DF=AF+ED-EF故選：D．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．10．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分線AD，BE相交于點P，過P作PF⊥AD交BC的延長線于點F，交AC于點H，則下列結論：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④連接CP，CP平分∠ACB．其中正確的是（

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據三角形內角和定理以及角平分線定義判斷①；根據全等三角形的判定和性質判斷②③；根據角平分線的判定與性質判斷④．【詳解】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=1∴∠APB=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBPAAS∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正確；在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPDAAS∴PH=PD，故③正確；∵ΔABC的角平分線AD、BE相交于點P，∴點P到AB、AC的距離相等，點P到AB、BC的距離相等，∴點P到BC、AC的距離相等，∴點P在∠ACB的平分線上，∴CP平分∠ACB，故④正確；綜上，正確的有①②③④，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質，三角形全等的判定和性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握相關性質．二、填空題11．如圖，AB=DC，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據“HL”證明Rt△ABE≌Rt

【答案】AE=DF或BE=CF【分析】根據垂直求出∠CFD=∠AEB=90°，在根據三角形全等的判定定理即可解答．【詳解】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD=∠AEB=90°，在Rt△ABE和AB=DCAE=DF或AB=DC∴Rt△故答案為：AE=DF或BE=CF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，解題的關鍵是靈活運用全等三角形的判定定理進行推理并運用數學結合思想．12．如圖，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加的一個條件是【答案】AB=CD（答案不唯一）【分析】根據AE∥DF可得∠A=∠D，添加AB=CD可證明AC=BD，利用SAS證明△EAC≌△FDB即可，或添加∠E=∠F，利用ASA證明△EAC≌△FDB即可，或添加∠ECA=∠FBD，利用AAS證明△EAC≌△FDB即可．【詳解】解：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，添加AB=CD，理由如下：∵AB=CD，∴AC=BD，在△EAC和△FDB中，AE=DF∠A=∠D∴△EAC≌△FDBSAS添加∠E=∠F，理由如下：在△EAC和△FDB中，∠E=∠FAE=DF∴△EAC≌△FDBASA添加∠ECA=∠FBD，理由如下：在△EAC和△FDB中，∠ECA=∠FBD∠A=∠D∴△EAC≌△FDBAAS故答案為：AB=CD（答案不唯一）．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．掌握三角形全等判定的方法是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，則△ABD≌△ACD的根據是

【答案】ASA【分析】由AD⊥BC、AD平分∠BAC、AD=AD可得出兩個三角形對應的兩個角及其夾邊相等，于是可以利用ASA判定這兩個三角形全等．【詳解】∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠CDA=90∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD與△ACD中，∠BDA=∠CDA∴△ABD≌△ACDASA故答案為：ASA【點睛】本題考查了三角形全等的判定條件，解題的關鍵是找到兩個三角形對應的邊角相等．14．如圖，AD⊥AB，BE⊥AB，點C在AB上，連接CD，CE，若CD⊥CE，CD=CE，AD=3cm，BE=5cm，則AB長為

【答案】8cm【分析】首先證明出△ACD≌△BEC，然后利用全等三角形的性質求解即可．【詳解】∵AD⊥AB,BE⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∴∠D+∠ACD=90°，∵CD⊥CE，∴∠ACD+∠BCE=180°-90°=90°，∴∠D=∠BCE，在△ACD和△BEC中，∠A=∠B=90°∠D=∠BCE∴△ACD≌△BECAAS∴AC=BE=5cm，BC=AD=3cm，∴AB=AC+BC=8cm．故答案為：8cm．【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質和判定方法．15．如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于E，若BD=12，則CE為．

【答案】6【分析】延長BA，CE交于點F，證△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF=EC，EC=12CF，及BD=CF【詳解】解：延長BA，CE交于點F，

∵∠A=90°=∠BEC=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+∠ACF=90°，∵∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠BAD=∠CAFAB=AC∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中，∠ABE=∠CBEBE=BE∴△BEF≌△BEC(ASA)，∴EF=EC，∴EC=1∴CE=1∵BD=12，∴CE=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的性質及判定是解題的關鍵．16．如圖，在△ABC中，BE，CF分別是AC，AB邊上的高，在BE上取一點D，使DB=AC，在射線CF上取一點G，使GC=AB，連結AD，AG．若∠DAE=38°，∠ABE=20°，則∠G的度數為．

【答案】32度/32°【分析】證明△ABD≌△GCA得到∠BAD=∠G，根據三角形的內角和定理求得∠BAD即可．【詳解】解：∵BE，CF分別是AC，AB邊上的高，∴∠BEA=∠CFA=90°.∴∠ABD+∠BAC=90°，∠GCA+∠BAC=90°.∴∠ABD=∠GCA.在△ABD和△GCA中，∵DB=AC，∠ABD=∠GCA，AB=GC，∴△ABD≌△GCASAS∴∠BAD=∠G.∵∠BAD=180°-90°-∠ABE-∠DAE=90°-20°-38°=32°，∴∠G=32°.【點睛】本題考查三角形的高、全等三角形得判定與性質、三角形的內角和定理，證明△ABD≌△GCA是解答的關鍵．17．如圖，點D在BC上，DE⊥AB于點E，DF⊥BC交AC于點F，BD=CF，BE=CD．若∠AFD=145°，則∠EDF=．【答案】55°/55度【分析】利用HL證明Rt△BED≌Rt△【詳解】解：∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠BED=∠CDF，在Rt△BED和BD=CFBE=CD∴Rt△∴∠B=∠C，∠BDE=∠CFD，∵∠AFD=145°=∠C+∠CDF，∴∠C=∠AFD-∠CDF=55°，∴∠B=∠C=55°，∵∠BDE+∠EDF=∠FDB=∠C+∠DFC，∴∠EDF=∠C=55°；故答案為：55°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形外角的性質，證明Rt△BED≌Rt△18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B、C作經過點A的直線的垂線段BD、CE，若BD=5厘米，CE=8厘米，則DE的長為【答案】13厘米【分析】利用垂直的定義得到∠BDA=∠AEC，由平角的定義及同角的余角相等得到∠ABD=∠CAE，利用AAS證得△ABD≌△CAE，再由全等三角形對應邊相等得到DB=AE=5，AD=CE=8，由DE=AD+AE即可求出DE長．【詳解】解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴DB=AE=5，CE=AD=8，則DE=AD+AE=8+5=13(厘米)，故答案為：13厘米．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，根據平角的定義及同角的余角相等證得∠ABD=∠CAE是解決問題的關鍵．三、解答題19．如圖，AB∥DE，【答案】見解析【分析】由全等三角形的判定定理即可求證．【詳解】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS【點睛】本題考查利用“SAS”證明三角形全等．掌握相關定理進行推導是解題關鍵．20．已知∠ABC，O為射線BA上一點，在∠ABC內部，求作∠AOD，使∠AOD=∠ABC．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見解析【分析】根據作角等于已知角的方法，進行作圖即可．【詳解】解：如圖所示，∠AOD即為所求；【點睛】本題考查作角等于已知角．熟練掌握尺規作圖方法，是解題的關鍵．21．如圖，已知點B，E，C，F在同一條直線上，∠B=∠DEF，AB=DE，BE=CF．

(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若∠B=50°，∠F=70°，求∠A的度數．【答案】(1)證明過程見解析.(2)60°【分析】（1）先證明BC=EF，再利用SAS證明△ABC≌△DEF即可；（2）先根據全等三角形對應角相等證明∠ACB=∠F，再根據三角形內角和定理求出∠A的值．【詳解】（1）證明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS（2）解：由△ABC≌△DEF得∠ACB=∠F．∵∠B=50°，∠F=70°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=180°-∠F-∠B=60°，【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，熟知全等三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．22．如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°．過點A作AE⊥BC，垂足為E，延長EA至點D．使AD=AC．在邊AC上截取AF=AB，連接DF．求證：DF=CB．

【答案】見解析【分析】利用三角形內角和定理得∠CAB的度數，再根據全等三角形的判定與性質可得結論．【詳解】證明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC=90°．∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，∴∠DAF=∠CAB．在△DAF和△CAB中，AD=AC∠DAF=∠CAB∴△DAF?△CABSAS∴DF=CB．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．23．已知∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥NM，BE⊥NM，垂足分別為點D，E．

(1)如圖①，求證：AD=BE+DE(2)如圖②，（1）中的結論還成立嗎？如果不成立，請寫出線段AD，【答案】(1)見解析(2)（1）中的結論不成立．結論：DE=AD+BE，理由見解析【分析】（1）證明△ADC≌△CEBAAS，推出CD=BE，AD=CE（2）證明△ADC≌△CEBAAS，推出CD=BE，AD=CE【詳解】（1）證明：∵AD⊥NM，BE⊥NM，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEBAAS∴CD=BE，AD=CE，∴CE=CD+DE=BE+DE，∴AD=BE+DE；

（2）（1）中的結論不成立．結論：DE=AD+BE；理由如下：∵AD⊥NM，BE⊥NM，∴∠ADC=∠CEB=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，屬于常考題型，證明三角形全等是解題的關鍵．24．如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，在BD上載取BF=AC，延長CE至點G使CG=AB，連接AF，AG．

(1)求證：AG=AF；(2)求∠GAF的度數；【答案】(1)證明見解析(2)90°【分析】（1）根據高的定義得到∠AEC=∠ADB=90°，進而得到∠ABD=∠ACG，由此證明△AGC≌△FAB即可證明AG=AF；（2）由全等三角形的性質得到∠BAF=∠CGA，再由三角形內角和定理得到∠AGE+∠EAG=90°，即可得到∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【詳解】（1）證明：∵BD、CE分別是AC、AB兩條邊上的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠ACG，在△AGC與△FAB中，CA=BF∠GCA=∠ABF∴△AGC≌△FABSAS∴AG=AF；（2）解：∵△AGC≌△FAB，∴∠BAF=∠CGA，∵CE是AB邊上的高，即CE⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠AGE+∠EAG=90°，∴∠BAF+∠EAG=90°，即∠FAG=90°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，高的定義，證明△AGC≌△FAB是解題的關鍵．25．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=45°，點D為AC中點，AE⊥BD交BC于點E，交BD于點F．求證：

(1)∠CAE=∠ABD；(2)BD=AE+ED．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據三角形的內角和定理得出∠BAC=90°，再根據直角三角形兩銳角互余得出∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，即可求證；（2）過點C作CA的垂線交AE延長線于點M，先證明△ACM≌△BADASA，得出AD=CM，BD=AM，則CM=CD，再證明△MCE≌△DCESAS，得出【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∠C=45°，∴∠CBA=45°，∴∠BAC=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°∴∠CAE+∠BAF=∠ABD+∠BAF=90°，∴∠CAE=∠ABD．（2）證明：過點C作CA的垂線交AE延長線于點M

∵CM⊥CA，∴∠MCA=90°即∠MCA=∠CAB，在△ACM和△BAD中，∠CAE=∠ABD∴△ACM≌△BADASA∴AD=CM，∵D為AC中點，∴AD=CD，∴CM=CD∵∠MCA=90°，∠ACB=45°，∴∠ACB=∠MCB，在△MCE和△DCE中，CM=CD∠ACB=∠MCB∴△MCE≌△DCE∴EM=ED，∴AM=AE+EM=AE+ED，∴BD=AE+ED．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握三角形的內角和為180°，直角