第十五章分式（知識歸納+14題型突破）1.理解分式的定義，基本性質，混合運算．2.整數(shù)的指數(shù)冪運算．3.會解分式方程及含參數(shù)的有關問題和分式方程的應用．一、分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分數(shù)線是除號。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.二、分式的相關概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0三、分式的基本性質1）分數(shù)的性質（特點）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分數(shù)的拓展延伸，分式有與分數(shù)類似的性質（特點）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.四、分式的約分與通分1）分式的約分：與分數(shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉換才有公因式。2）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結果有時可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應擴大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數(shù).4）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．五、分式的混合運算分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．注：上述所有計算中，結果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式六、整數(shù)指數(shù)冪（冪的運算的擴大）1）前面已學習：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運算，當m<n時。如：a2÷a3=2）針對這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當n為正整數(shù)時，a?n=1a3）冪的運算性質擴大當a≠0時=1\*GB3①am?an=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=am4）利用負指數(shù)化除為乘，設m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷a5）科學記數(shù)法的擴大一般，一個小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點向前移動x位，則原數(shù)相應擴大了10x倍。故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．十、分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數(shù)；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．【題型一分式有意義的條件】例題：（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______．【變式訓練】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意義，則的取值范圍為______．2．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）要使分式有意義，則的取值范圍為____．3．（2023秋·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）當滿足條件___________時，分式沒有意義．4．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）要使分式無意義，則x的取值范圍是_________．【題型二分式值為零的條件】例題：（2023·廣東佛山·佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學校考三模）若分式的值為0，則x的值為(

)A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）若分式的值為零，則x的值為（

）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）若分式的值為0，則的取值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·七年級校聯(lián)考階段練習）已知分式的值為，則______．4．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）若分式的值為0，則________【題型三判斷分式變形是否正確】例題：（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·北京西城·八年級北京市第一六一中學校考開學考試）下列變形正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學校考階段練習）下列變形中，錯誤的是（）A． B．C． D．【題型四利用分式的基本性質判斷分式值的變化】例題：（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中x，y的值都擴大2倍，那么這個分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．擴大4倍 D．擴大2倍【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）當，時，若、都擴大為原來的10倍，則分式的值（

）A．縮小到原來的 B．擴大到原來的10倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的100倍2．（2023春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）若把分式中的和都擴大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大2倍 C．縮小為原來值 D．縮小為原來值的3．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）如果把中的與都擴大3倍，那么這個代數(shù)式的值（

）A．縮小到原來的 B．不變 C．擴大3倍 D．擴大9倍【題型五最簡分式】例題：（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期中）下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·全國·八年級專題練習）下列各分式中，是最簡分式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考開學考試）下列分式是最簡分式的個數(shù)為(

)①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型六最簡公分母】例題：（2023春·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學校考期中）分式與的最簡公分母是______．【變式訓練】1．（2023春·浙江·七年級專題練習）分式，，的最簡公分母是_______．2．（2023春·江蘇·八年級校考周測）的最簡公分母是_________3．（2023春·全國·八年級專題練習），，的最簡公分母是_____．【題型七含乘方的分式乘除混合運算】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）計算：【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【題型八零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪】例題：（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）計算：___________．【變式訓練】1．（2023春·浙江杭州·七年級期中）計算：________，________．2．（2023·廣東佛山·佛山市華英學校校考三模）計算：____________．3．（2023春·浙江杭州·七年級期中）已知，那么a，b，c之間的大小關系是__________（請用“<”表示）．【題型九用科學計數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)】例題：（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）2023年1月8日起，國家對新冠病毒感染實施“乙類乙管”，已經知新冠病毒的直徑是，這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法可表示為____________m．【變式訓練】1．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）維生素A是人體內不可缺少的微量元素，成年女性每天維生素A的攝入量約為．質量單位是微克的符號，單位轉換，，數(shù)據(jù)“”用科學記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考三模）近年來，我國研發(fā)的北斗芯片實現(xiàn)了22納米制程的突破，22納米等于0.000000022米．用科學記數(shù)法表示0.000000022是_________．3．（2023春·廣東清遠·七年級校聯(lián)考期中）某顆粒物的直徑是，把用科學記數(shù)法表示為______．【題型十整數(shù)指數(shù)冪的運算】例題：（2023春·七年級課時練習）計算：(1)(2)【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）計算：（1）；（2）.2．（2023春·山東泰安·六年級東平縣實驗中學校考階段練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【題型十一分式加減乘除混合運算】例題：（2023·河南漯河·統(tǒng)考二模）化簡：．【變式訓練】1．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考二模）化簡：2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）化簡：．3．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）計算：(1)；(2)．【題型十二分式化簡求值】例題：（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）先化簡，再求值：，其中．【變式訓練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考三模）先化簡，再求值：其中滿足方程．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）先化簡，再求值：，其中：3．（2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考階段練習）先化簡：，若，請選取一個合適的整數(shù)作為x的值代入求值．4．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從不等式中選擇一個適當?shù)恼麛?shù)，代入求值．5．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再從，0，1，2中選擇一個適當?shù)臄?shù)作為a的值代入求值．6．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）先化簡，再求值：，其中a滿足．【題型十三解分式方程】例題：（2023春·廣東清遠·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．【變式訓練】1．（2023春·河北保定·八年級保定十三中校考階段練習）解方程(1)；(2)．2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1);(2)．3．（2023春·浙江·七年級專題練習）解分式方程：(1)(2)4．（2023春·浙江·七年級專題練習）解方程(1)；(2)．5．（2023春·全國·八年級專題練習）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【題型十四分式方程的實際應用】例題：（2023·吉林白山·校聯(lián)考三模）第5代移動通信技術簡稱5G，某地已開通5G業(yè)務，經測試5G速度是4G速度的16倍，小明和小強分別用5G與4G一部960兆的公益片，小明比小強所用的時間快150秒，求該地4G與5G的速度分別是每秒多少兆？【變式訓練】1．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）水碧萬物生，岳陽龍蝦好．小龍蝦產業(yè)已經成為岳陽鄉(xiāng)村振興的“閃亮名片”．已知翠翠家去年龍蝦的總產量是，今年龍蝦的總產量是，且去年與今年的養(yǎng)殖面積相同，平均畝產量去年比今年少，求今年龍蝦的平均畝產量．2．（2023春·廣東佛山·八年級校考階段練習）2023年5月，江西省突發(fā)港澇災?，為響應政府救援號召，甲、乙兩公司組織全體員工參與“眾志成城，人間大愛”捐款活動，甲公司共?款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙兩公司員工的一段對話：(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱15000元，種防疫物資每箱12000元．若購買種防疫物資