5.2動能定理

必備知識清單

一、動能

1.定義：物體由于運動而具有的能.

2.公式：￡k—pwz?2.

3.單位：焦耳,1J=1N-m=1kg-m2/s2.

4.標矢性：動能是標量,動能與速度方向無關.

5.動能的變化：物體末動能與初動能之差,即憐22—5孫2.

二、動能定理

1.內容：在一個過程中合力對物體所做的功，等于物體在這個過程中動能的變化.

2.表達式：PT=AEk=Ek2—Eki=J?"錯誤！一錯誤!錯誤！.

3.物理意義：合力的功是物體動能變化的量度.

4.適用條件：

(1)動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動.

(2)動能定理既適用于恒力做功，也適用于變力做功.

(3)力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以分階段作用.

如圖1所示，物塊沿粗糙斜面下滑至水平面；小球由內壁粗糙的圓弧軌道底端運動至頂端(軌

道半徑為R).

圖1

對物塊有％+恤+IVn=^niv2~^mvo2

對小球有一2/wgR+W^=^mv2—；陽。o?

命題點精析(一)對動能定理的理解和應用

1.動能定理表明了“三個關系”

(1)數量關系：合外力做的功與物體動能的變化具有等量代換關系，但并不是說動能變化就

是合外力做的功.

(2)因果關系：合外力做功是引起物體動能變化的原因.

(3)量綱關系：單位相同，國際單位都是焦耳.

2.標量性

動能是標量，功也是標量，所以動能定理是一個標量式，不存在方向的選取問題.當然動能

定理也就不存在分量的表達式.

典型例題

I例12關于運動物體所受的合外力、合外力做的功及動能變化的關系，下列說

法正確的是()

A.合外力為零，則合外力做功一定為零

B.合外力做功為零，則合外力一定為零

C.合外力做功越多，則動能一定越大

D.動能不變，則物體合外力一定為零

【答案】A

【解析】由%=/7cosa可知，物體所受合外力為零，合外力做功一定為零，但合

外力做功為零，合外力不一定為零，可能是a=90。，A正確，B錯誤；由動能定

理％=M：k可知，合外力做功越多，動能變化量越大，但動能不一定越大，C錯

誤；動能不變，合外力做功為零，但合外力不一定為零，D錯誤。

1練11在籃球比賽中，某位同學獲得罰球機會，他站在罰球線處用力將籃球投出，籃球

約以1m/s的速度撞擊籃筐.已知籃球質量約為0.6kg,籃筐離地高度約為3m,忽略籃球受

到的空氣阻力，則該同學罰球時對籃球做的功大約為()

A.1JB.8J

C.50JD.100J

【答案】B

【解析】該同學將籃球投出時的高度約為/n=1.8m,根據動能定理有力—用鼠分一心）=%7。2,

解得少=7.5J,故選項B正確.

【練2】（多選）如圖所示，一塊長木板8放在光滑的水平面上，在B上放一物體4現以恒定

的外力拉8,由于/、8間摩擦力的作用，1將在3上滑動，以地面為參考系，A.B都向

前移動了一段距離.在此過程中（）

B-J

V//////////////////////////////////

A.外力下做的功等于N和8動能的增量

B.8對力的摩擦力所做的功等于Z的動能的增量

C.A對8的摩擦力所做的功等于8對4的摩擦力所做的功

D.外力廠對B做的功等于B的動能的增量與B克服摩擦力所做的功之和

【答案】BD

【解析】N物體所受的合外力等于8對4的摩擦力，對/物體運用動能定理，則有8對4

的摩擦力所做的功等于/的動能的增量，B正確；/對8的摩擦力與8對4的摩擦力是一

對作用力與反作用力，大小相等，方向相反，但是由于/在8上滑動，A.8相對地面的位

移不相等，故二者做功不相等，C錯誤：對8應用動能定理仍■一%則必二△&〃

+為?,即外力下對8做的功等于8的動能的增量與8克服摩擦力所做的功之和，D正確；

根據功能關系可知，外力尸做的功等于力和8動能的增量與產生的內能之和，故A錯誤.

命題點精析（二）動能定理的基本應用

1.應用流程

一

解

方

階

分

或

段

確定研究程

過

全

〔

對象和研得

列

程

出

程

究過程方

用

2.注意事項

（1）動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜止的

物體為參考系.

（2）應用動能定理的關鍵在于準確分析研究對象的受力情況及運動情況，可以畫出運動過程

的草圖，借助草圖理解物理過程之間的關系.

（3）當物體的運動包含多個不同過程時，可分段應用動能定理求解；也可以全過程應用動能

定理.

(4)列動能定理方程時，必須明確各力做功的正、負，確實難以判斷的先假定為正功，最后

根據結果加以檢驗.

【例2】如圖所示，飛機先在水平跑道上從靜止開始加速滑行，行駛距離x=600

m后達到功=216km/h的速度起飛，飛機滑行過程可視為勻加速直線運動，所

受阻力大小恒為自身重力的0.1。起飛后，飛機以離地時的功率爬升f=20min,

上升了A=8000m,速度增力口至ij。2=720km/h。已知飛機的質量〃?=1X10$kg,

重力加速度大小g取10m/s?。求：

8000m

二/_____,二二......-----

600m

(1)飛機在地面滑行時所受牽引力的大小G

(2)飛機在爬升過程中克服空氣阻力做的功有。

【答案】(1)4義1()5N(2)1.898X1O,OJ

【解析】(1)設飛機在地面滑行時加速度的大小為。，由運動學公式得講=2ar,設

滑行過程中所受阻力為廠血，由牛頓第二定律得/典

聯立解得尸=4X105N;

(2)設飛機離地時的功率為P,由功率的表達式得

P=Fs,由動能定理得

Pt—mgh—有=/〃。夕一；加。彳

解得1.898X10'°Jo

【練31(多選)如圖所示為一滑草場.某條滑道由上下兩段高均為h,與水平面傾角分別為45°

和37。的滑道組成，載人滑草車與草地之間的動摩擦因數為".質量為m的載人滑草車從坡頂

由靜止開始自由下滑，經過上、下兩段滑道后，最后恰好靜止于滑道的底端(不計載人滑草

車在兩段滑道交接處的能量損失，重力加速度為g,5出37。=0.6,cos37o=0.8).則()

A.動摩擦因數〃=

B.載人滑草車最大速度為錯誤！

C.載人滑草車克服摩擦力做功為〃陪〃

3

D.載人滑草車在下段滑道上的加速度大小為射

【答案】AB

【解析】對載人滑草車從坡頂由靜止開始滑到底端的全過程分析，由動能定理可知：mg-2h

一"〃?gcos45°-sjn^o—/zwgcos37。.s:；7G=0,解得"=*選項A正確：對經過上段滑道

的過程分析，根據動能定理有機g〃一〃加geos45。?不9a解得：Vm=\選項

B正確；載人滑草車克服摩擦力做功為2Mg/),選項C錯誤；載人滑草車在下段滑道上的加

mgsin37°—“mgeos37°33

速度為a故大小為選項D錯誤.

【練4】如圖所示，半徑為，?的半圓弧軌道48c固定在豎直平面內，直徑ZC水平，一個質量

為〃?的物塊從圓弧軌道N端正上方尸點由靜止釋放，物塊剛好從N點無碰撞地進入圓弧軌

道并做勻速圓周運動，到B點時對軌道的壓力大小等于物塊重力的2倍，重力加速度為g,

不計空氣阻力，不計物塊的大小，則：

(1)物塊到達/點時的速度大小和PA間的高度差分別為多少？

(2)物塊從Z運動到8所用時間和克服摩擦力做的功分別為多少？

【答案】(1而；(2)^J|mgr

■

【解析】⑴設物塊在8點時的速度為。，由牛頓第二定律得：FK-mg=m—,

因為FN=2mg,所以o=y[gi-,

因為物塊從工點進入圓弧軌道并做勻速圓周運動，所以物塊到達4點時速度大小為；

設我間的高度差為力，從P到/的過程由動能定理得：mgh—^nw1,所以/?=；.

2

(2)因為物塊從Z點進入圓弧軌道并做勻速圓周運動，所以物塊從/運動到8所用時間t=~

從4運動到8由動能定理有：mgi—Wu=0,解得：WiLf=mgr.

命題點精析(三)動能定理與圖像綜合問題

1.四類圖像所圍“面積”的意義

2.解決動能定理與圖像問題的基本步驟

(

第

一觀察題目給出的圖像,弄清縱坐標、橫坐標所對應

步

的物理及圖線所表示的物理意義

工St

第

二根據物理規律推導出縱坐標與橫坐標所對應的物

步

—}理量間的函數關系式

f根據函數關系式找出圖線的斜率、截距、圖線的交

lg[點、圖線下的面積所對應的物理意義，分析解答問

一題，或利用函數圖線上的特定值代入函數關系式

步)

求物理量

I例3】某星球半徑為R=6X106m,假設該星球表面上有一傾角為。=30。的固定斜面體,

一質量為m=lkg的小物塊在力尸作用下從靜止開始沿斜面向上運動，力尸始終與斜面平

行，如圖甲所示.已知小物塊和斜面間的動摩擦因數"=坐，力產隨位移x變化的規律如

圖乙所示(取沿斜面向上為正方向)，如果小物塊運動12m時速度恰好為零，已知萬有引力

常量G=6.67X10-*'N?m2/kg2.試求：(計算結果保留一位有效數字)

甲乙

(1)該星球表面上的重力加速度g的大小；

(2)該星球的平均密度.

2

［答案】(1)6m/s(2)4X1()3kg/m3

【解析】(1)設該星球表面的重力加速度為g,

物塊上滑過程中力F所做的功

^=(15X6-3X6)J=72J,

由動能定理得：%一/〃gsine?xigco§0?x=0,

解得：g=6m/§2.

(2)在星球表面重力與萬有引力相等，〃ig=G

可得星球的質量為：”啥

選

所以星球的密度〃=7===不急

____________3X6___________

4X3.14X6.67X10~"X6X106

■4XIO3kg/m\

【練5】如圖所示，一小物塊由靜止開始沿斜面向下滑動，最后停在水平地面上。

斜面和地面平滑連接，且物塊與斜面、物塊與地面間的動摩擦因數均為常數。該

過程中，物塊的動能屏與水平位移x關系的圖像是()

【答案】A

【解析】設斜面傾角為仇物塊滑到斜面底端時的動能為￡km，物塊在斜面上滑

行的長度對應的水平位移為配，應用動能定理，在斜面上有(加gsin夕一〃〃zgcos

。)［二-%=Ek，在水平面上有一47ng(x—xo)=Ek—Ekm，即Ek=—xo)+Ekm，

vOS(/

綜上所述可知：兩段Ek—x圖線為線性關系，故A正確，B、C、D錯誤。

【練6】如圖8甲所示，在傾角為30。的足夠長的光滑斜面N8的/處連接一粗糙水平面04,

0/長為4m.有一質量為，〃的滑塊，從O處由靜止開始受一水平向右的力尸作用.尸只在

水平面上按圖乙所示的規律變化.滑塊與OA間的動摩擦因數〃=0.25,g取10m/s2,試求:

(1)滑塊運動到Z處的速度大小；

(2)不計滑塊在N處的速率變化，滑塊沖上斜面N8的長度是多少？

【答案］⑴5啦m/s(2)5m

【解析】⑴由題圖乙知，在前2m內，F\=2mg,做正功,在第3m內，F2=-0.5nig,

做負功，在第4m內，/3=0.滑動摩擦力衣=一“"?g=-0.25zng,始終做負功，對于滑塊在

上運動的全過程，由動能定理得

廳加+/及+尸區=錯誤!"屋錯誤！-0

代入數據解得。”=5/m/s.

(2)對于滑塊沖上斜面的過程，由動能定理得

—mgLsin30°=。一

解得Z=5m

所以滑塊沖上斜面AB的長度Z,=5m.

核心素養大提升

動能定理在多過程問題中的應用

1.應用動能定理解題的基本步驟

〔

解

方

確定研

程

究對象、

討

和研究

幾個力？論

過程做功是否做功？結

恒力還是正功還是果

變力？負功？一

2.求解多過程問題抓好“兩狀態，一過程”

“兩狀態”即明確研究對象的始、末狀態的速度或動能情況；“一過程”即

明確研究過程，確定這一過程研究對象的受力情況和位置變化或位移信息。

【例4】如圖所示，不可伸長的輕質細線下方懸掛一可視為質點的小球，另一端

固定在豎直光滑墻面上的。點。開始時，小球靜止于Z點，現給小球一水平向

右的初速度，使其恰好能在豎直平面內繞。點做圓周運動。垂直于墻面的釘子N

位于過O點豎直線的左側，ON與0Z的夾角為。(0＜。＜兀)，且細線遇到釘子后，

小球繞釘子在豎直平面內做圓周運動，當小球運動到釘子正下方時，細線剛好被

拉斷。已知小球的質量為m,細線的長度為L,細線能夠承受的最大拉力為7mg,

g為重力加速度。

?0

人

(1)求小球初速度的大小。0；

(2)求小球繞釘子做圓周運動的半徑/?與e的關系式；

(3)在細線被拉斷后，小球繼續向前運動，試判斷它能否通過/點。若能，請

求出細線被拉斷時。的值；若不能，請通過計算說明理由。

【答案】見解析

【解析】(1)設在最高點速度為01,在最高點，重力恰好提供向心力，所以〃?g=

根據動能定理，對球從4點到最高點，有一房一；加比

解得00=錯誤！。

4色

(2)以N為圓心，設最低點為落到最低點速度為o,有

7〃ig—"?g=錯誤!

對A到M過程，根據動能定理有

若N點在。點以下，則

AA—L—r—（L—尸）cos6

若N點在。點以上，則

AA=￡+(￡—z-)cos(7i-^)—r=L—(￡—r)cos0-r

3+2cos8

解得r=Lo

4+2cos6

(3)假設小球能通過/點，則

豎直方向：△〃=錯誤!g/2

水平方向：(Z—r)sin0=vt

35

解得cos0=-2，與cos^e[-l,1]矛盾，所以假設不成立，小球不能通

過/點。

【練7】如圖所示，是一段位于豎直平面內的光滑軌道，高度為從末端8處的切線方向水

平.一個質量為機的小物體夕從軌道頂端/處由靜止釋放，滑到8端后飛出，落到地面上

的C點，軌跡如圖中虛線2c所示.已知它落地時相對于8點的水平位移0C=/.現在軌

道下方緊貼B點安裝一水平木板,木板的右端與B的距離班,讓P再次從N點由靜止釋放，

它離開軌道并在木板上滑行后從右端水平飛出，仍然落在地面的C點.求：(不計空氣阻力，

重力加速度為g)

(1)尸滑至8點時的速度大小；

(2)P與木板之間的動摩擦因數〃.

【答案】(2)券

【解析】

(1)物體P在AB軌道上滑動時，根據動能定理mgh=-^mv(i2

得物體P滑到B點時的速度大小為v0=y(2gh

(2)當沒有木板時，物體離開