第三章：勾股定理的應(yīng)用問題一

勾股定理的內(nèi)容是什么?

ACB勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．a(chǎn)bca2+b2=c2二、勾股定理的證明ccaabbccaabbＣａｂccaabb（一）（二）（三）再回首問題二如果已知三角形的三邊長a、b、c，怎樣判定這個三角形是否為直角三角形？如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這、個三角形是直角三角形．一圓柱體的底面周長為２4cm,高AB為5cm,BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程．想一想ABDCACBD解在Rt△ACD中，AD=12CD=5由勾股定理得AC2=AD2+CD2=122+52=169∴AC=13例3、如圖，邊長為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（）.

（A）3（B）√5

（C）2（D）1AB分析：由于螞蟻是沿正方體的外表面爬行的，故需把正方體展開成平面圖形（如圖）.CABC21分析：螞蟻由A爬到B過程中較短的路線有多少種情況？(1)經(jīng)過前面和上底面;(2)經(jīng)過前面和右面;(3)經(jīng)過左面和上底面.AB58AB4C854BCA854BCA長方體中的最短路徑(1)當(dāng)螞蟻經(jīng)過前面和上底面時，如圖，最短路程為解:AB58AB4C(2)當(dāng)螞蟻經(jīng)過前面和右面時，如圖，最短路程為AB854BCAAB＝＝＝(3)當(dāng)螞蟻經(jīng)過左面和上底面時，如圖，最短路程為AB854BCA一輛高３米，寬米的卡車要通過一個半徑為3.6米的半圓形隧道，它能順利通過嗎？能否過橋問題DOA１.２米C3.6米BAB222∵11.52＞32∴能通過

一輛裝滿貨物的卡車,其外形高米,寬米,要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠,問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?米2米ABCOD練一練HCD2=OC2-OD2=122∵2.9＞2.5∴能通過EF探究訓(xùn)練一個圓柱形的封閉易拉罐，它的底面直徑為5cm,高為１2cm,問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒（直線型）最長可為多長？BAA1A2C最短路徑問題如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為________cm．易錯點(diǎn)1、直角三角形中的分類討論問題例、一直角三角形的兩邊長分別是3和4，則第三邊的長為（）例2、在邊長都為正整數(shù)的三角形ABC中，如果AC=4cm，BC=3cm，求AB的長。易錯點(diǎn)2、勾股定理的使用條件已知三角形ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高是12，求三角形的面積。易錯點(diǎn)3、高可能在三角型外整體思想求面積已知直角三角形的斜邊是10，兩直角邊的和為14，求這個直角三角形的面積。小結(jié)１、立體圖形中路線最短的問題，往往是把立體圖形展開，得到平面圖形．根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定行走路線，根據(jù)勾股定理計(jì)算出最短距離．２、在解決實(shí)際問題時，首先要畫出適當(dāng)?shù)氖疽鈭D，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并構(gòu)建直角三角形模型，再運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題．應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題的一般思路：假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走3千米，再折向北走到6千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？AB82361C2、已知：等邊△ABC的邊長是6cm(1)求高AD的長.

(2)求S△ABC.ABDC∟

解：（1）∵△ABC是等邊三角形∴AB=AC又∵AD是高

ABDC∟

在Rt△ABD中，AB=6，BD=3，根據(jù)勾股定理，∵AD2=AB2-BD2∴（三線合一）(2)S△ABC＝

=

(cm2)=×6×

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四邊形ABCD的面積?ABCDS四邊形ABCD=363412135∟解在直角三角形ABC中AC2=32+42=25∴AC=5∵AC2+CD2=52+122=169AD2=132=169∴AC2+BC2=AD2∴△ACD是直角三角形

如圖，有一塊地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求這塊地的面積。ABC341312D24平方米探究1如圖，以Rt△的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，請同學(xué)們想一想之間有何關(guān)系呢？ABCabc+=a2+b2=c2∵a2+b2=c2+=cabS3S2S1∵a2+b2=c2∴S3=S2+S12、探究下面三個圓面積之間的關(guān)系A(chǔ)BCABCABCabc探究S1、S2、S3之間的關(guān)系S1=由勾股定理得a2+b2=c2∴S1+S2=S3如圖6，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個半圓，那么陰影部分的面積為

S影陰=SAC+SBC+S△ABC-SAB1、下圖中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列圖中字母所表示的正方形的面積.=625225400A22581B=144想一想1．等腰△ABC的腰長為10cm，底邊長為16cm，則底邊上的高為＿＿＿＿，面積為__________．2．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，那么它的斜邊上的高為＿＿＿．6cm課堂檢測：cm16cm10cmDABCCAB2cm1如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是8厘米，則正方形A，B，C，D的面積之和是________平方厘米美麗的勾股樹5、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積。8X16-XDABC解：作?ABC的高AD，設(shè)BD為X，則AB為（16-X），由勾股定理得：即X2+64=256-32X+X2∴X=6∴

S?ABC=BC?AD÷2=2?6?8÷2=48X2+82=(16-X)2１、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8,BC=10,求:(1)CF(2)EC.ABCDEF810106X8-X48-X折疊中的計(jì)算問題在RtΔABF中

BF=∴FC=4cm

設(shè)EC=xcm則DE=EF=（8-x）cm

∵EF2=EC2+FC2

∴（8-x）2=x2+42

解得x=33已知，如圖，長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為多少？ABEFDCAEDCBAbca如圖大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，求（a+b）2的值a2+b2=13（a+b）2=a2+b2+2ab問題解決問題情境：某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來米長的云梯,如果梯子的底部離墻基的距離是米,請問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火?1．三角形三邊長分別為6、8、10，那么它最短邊上的高為______．2．測得一個三角形花壇的三邊長分別為5cm，12cm，13cm，則這個花壇的面積是________．3．直角三角形三邊是連續(xù)整數(shù)，則這三角形的各邊分別為＿＿＿4．一個三角形的三邊的比為5∶12∶13，它的周長為60cm，則它的面積是＿＿＿．⑴在Rt△ABC中，斜邊AB＝2，則AB2+BC2+CA2＝＿＿＿．⑵在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，則另一邊BC=________，面積為______AB邊上的高為________；⑶等腰△ABC的面積為12cm2，底上的高AD＝3cm，則它的周長為＿＿＿應(yīng)用拓展：如圖：邊長為4的正方形ABCD中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，且CE=BC，則AF⊥EF，試說明理由解：連接AE∵ABCD是正方形，邊長是4，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，EC=1/4BC∴根據(jù)勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，F(xiàn)C=2，EC=1∴AE2=EF