2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角〃條形碼粘貼處〃o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和“（注：如果一個(gè)大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)），在不

超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)“、b,則|。一4<3的概率是（）

1412

A.-B.——C.-D.-

51535

x+2y-5<0

2x+.y-4<0

2,若實(shí)數(shù)x,y滿足條件,目標(biāo)函數(shù)z=2x—y,則z的最大值為（）

尤20

.”1

5

A.-C.2D.0

2

（171\[17T]

3.關(guān)于函數(shù)/（x）=4sin不X+5+4cos-x+-,有下述三個(gè)結(jié)論:

7T

①函數(shù)/（X）的一個(gè)周期為二；

2

TT

②函數(shù)/（X）在上單調(diào)遞增；

24

③函數(shù)/*)的值域?yàn)閇4,4&].

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②B.②C.②③D.③

4.已知向量汗=(1,2),5=(2,—2),c=(2,-l),若到2萬+5),則4=()

1I

A.-2B.-1C.——D.-

22

5.拋物線。：丁2=2內(nèi)5>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A（6,%）是。上一點(diǎn)，\AF\^2p,貝（）

A.8B.4C.2D.1

6.對兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：(0.675,-0.989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),

(9.101,2.978),下列函數(shù)模型中擬合較好的是()

2

A.y=3xB.y-3'C.y=-(x-l)D.y=log3x

7.已知函數(shù)〃x)=gsinx+更c(diǎn)osx，將函數(shù)的圖象向左平移皿機(jī)＞。)個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于)'軸

對稱，則加的最小值是()

71兀…冗71

A.—B.—C.—D.一

6432

8.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個(gè)正整數(shù)，如果

它是奇數(shù)，則將它乘以3再加1：如果它是偶數(shù)，則將它除以2；如此循環(huán)，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個(gè)程序框圖.若輸入〃的值為1(),則輸出i的值為()

A.5B.6C.7D.8

9.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“.?“和陰

爻，，------，，.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是()

7

64

10.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)P（2血，-痣），漸近線方程為〉=±衣:的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22222222

Ar尸1R廣1「X>1nV廠1

A.------=1B.-------=1C.-------=1D.-------=1

4271436147

11.設(shè)集合佳=卜*一“一2>01B={x|log2x<2},則集合（金4加3=

A.{x|-l〈xW2}B.{x［0<x<2}C.{x［0<x〈4}D.{%j-l<x<4}

12.已知函數(shù)f（x）=膽若關(guān)于x的方程/（x）-〃/+1=0恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃？的取值范

圍為（

。?哆+D

C.(1,—+1)

e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知關(guān)于x的方程a|sinx|+J=sinx在區(qū)間［0,2%］上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

14.已知/；/公=〃，則2（X+D"展開式/的系數(shù)為.

15.已知數(shù)列{4}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a3a6a9=27，則aiaw+。6a2+的最小值為.

16.函數(shù)/"）=4cosssin（5-f）+應(yīng)3>0）的最大值與最小正周期相同，則./'（%）在［—1,1］上的單調(diào)遞增區(qū)間為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知平行于x軸的動直線/交拋物線C：;/=4x于點(diǎn)P,點(diǎn)尸為C的焦點(diǎn).圓

心不在y軸上的圓M與直線/,PF,x軸都相切，設(shè)M的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若直線（與曲線E相切于點(diǎn)Q（s"）,過。且垂直于4的直線為乙，直線4，4分別與y軸相交于點(diǎn)A,A當(dāng)線

段A5的長度最小時(shí)，求s的值.

—+ax—3

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-----------

(1)求f(x)的最小值；

(2)對任意不￡(0,+8),/(%)2g(x)都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

12

(3)證明：對一切xe(0,+oo),都有l(wèi)nx>二一—成立.

eex

19.(12分)如圖，點(diǎn)T為圓。：/+y2=i上一動點(diǎn)，過點(diǎn)T分別作X軸，y軸的垂線，垂足分別為A,B,連接

84延長至點(diǎn)P,使得麗=而，點(diǎn)。的軌跡記為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若點(diǎn)A，B分別位于x軸與)'軸的正半軸上，直線與曲線C相交于M，N兩點(diǎn),且|A8|=1,試問在曲線

C上是否存在點(diǎn)Q,使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線/方程；若不存在，說明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=2|x-l|+，nr,meR.

(1)當(dāng)加=—3時(shí)，求不等式/(x)+4<0的解集；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象與x軸恰好圍成一個(gè)直角三角形，求”的值.

21.(12分)在AABC中，ZB=-,cosC=—.

43

(1)求cosA的值；

(2)點(diǎn)。為邊8C上的動點(diǎn)(不與。點(diǎn)重合)，設(shè)A0=；IDC,求2的取值范圍.

22.(10分)已知｛a,,｝是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45,a2+a6=l.

(I)求｛a,J的通項(xiàng)公式；

bbb

(U)若數(shù)列｛bn｝滿足：寸+…+0=a“+15wN*),求｛bn｝的前n項(xiàng)和.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

先列舉出不超過15的素?cái)?shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)。、b,

滿足k一4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

不超過15的素?cái)?shù)有：2、3、5、7、11、13,

在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（%,）-/（%2）,（2,13）,

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15種情況，

其中，事件“在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取2個(gè)不同的素?cái)?shù)b,且|。一目<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4種情況，

4

因此，所求事件的概率為P=百.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率的計(jì)算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.

【詳解】

x+2y—540

2x+y-4<0

若實(shí)數(shù)x,y滿足條件八，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y

x>0

.”1

如圖:

當(dāng)X=。,y=1時(shí)函數(shù)取最大值為2

故答案選C

【點(diǎn)睛】

求線性目標(biāo)函數(shù)z=?x+切（。。00）的最值:

當(dāng)〃>o時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí),z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小;

當(dāng)〃<o時(shí)，直線過可行域且在》軸上截距最大時(shí),二值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

3.C

【解析】

JT34171言，箸'/（x）=40s喂x+圖,再利用單調(diào)性

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)xe時(shí),—x+—e

23

判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)/（幻=；1R

4sinx+5+4cos—X4--的值域等價(jià)于函數(shù)

23

的值域，而當(dāng)萬]時(shí)，171

g(x)=4sin+4cosgxg(x+?)=g(x),xw[0,g(x)=40ssiin-X-\——再求值域.

223

【詳解】

因?yàn)?s住x+=74卜4cos（品+雪、1、

Hi=4cos-x+—+4sin|：x+￡f(x),故①錯(cuò)誤;

221212J212

?n37r,171In17兀/；b,171\AI\171t171

當(dāng)代2U時(shí)'—X+——￡，所以/(x)=4sin[5x+§J—4cos+§=4V2sin|—x+—

23122423212

\TT711\\71T7C134萬

--V+—e所以f（x）在上單調(diào)遞增，故②正確

32424

171fl71的值域等價(jià)于函數(shù)g（x）=4singx+4COS11A-的值域，易知

函數(shù)/(x)=4sin—x+—+4cos—X4--

23(232

g(x+i)=g(x),故當(dāng)xe[0,4]時(shí)，g(x)=40sin[4,4及],故③正確.

[32+35J

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.

4.A

【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得2a+b＞由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.

【詳解】

?.也=（1,2）,6=（2,-2）.-.25+^=（4,2）

?.?工〃（2萬+5）2A=-4,解得：A=-2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則

不%一馬弘=0?

5.B

【解析】

根據(jù)拋物線定義得|4尸|=6+5，即可解得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閨AF|=2〃=6+5,所以p=4.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

作出四個(gè)函數(shù)的圖象及給出的四個(gè)點(diǎn)，觀察這四個(gè)點(diǎn)在靠近哪個(gè)曲線.

【詳解】

如圖，作出A,B,C,D中四個(gè)函數(shù)圖象，同時(shí)描出題中的四個(gè)點(diǎn)，它們在曲線y=log3》的兩側(cè)，與其他三個(gè)曲線

都離得很遠(yuǎn)，因此D是正確選項(xiàng)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多，說明擬合效果好.

7.A

【解析】

化簡〃x）=gsiiu+￥cosx為/（X）=sin[x+。],求出它的圖象向左平移，必〃>0）個(gè)單位長度后的圖象的函數(shù)表

達(dá)式y(tǒng)=sin[x+m+g],利用所得到的圖象關(guān)于N軸對稱列方程即可求得加=看+版"僅Gz）,問題得解。

【詳解】

函數(shù)"X）=；siar+^^cosx可化為：f（x）=sin]x+qj,

將函數(shù)/（x）的圖象向左平移0）個(gè)單位長度后，

得到函數(shù)y=sin（x+優(yōu)+yj的圖象，又所得到的圖象關(guān)于）'軸對稱，

所以sin（0+"2+?）=±1,解得:〃2+m=]+2萬（女wz）,即：m=

—+k7V（kGz）,

71

又加>0,所以加min=—.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。

8.B

【解析】

根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.

【詳解】

輸入〃=10,〃=1不成立，〃是偶數(shù)成立，貝!]〃=—=5,Z=0+l=1；

2

”=1不成立，〃是偶數(shù)不成立，貝!|〃=3x5+l=16,i=l+l=2；

1A

”=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=8,i=2+1=3；

2

8

"=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=4,z=3+1=4；

2

4

“=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=—=2,i=4+l=5；

2

2

“=1不成立，〃是偶數(shù)成立，則〃=二=1,i=5+l=6；

2

〃=1成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件，即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率，再根據(jù)兩對立事件的概率和為1

求解即可.

【詳解】

設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件A.所有“重卦”共有26種；“該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對立事件X是“該重卦沒有陽

爻或只有1個(gè)陽爻”,其中，沒有陽爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種，只有1個(gè)陽爻的情況有C：=6種，故

_1+67757

P(A)=-=—，所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是P(A)=1-P(A)=1--=—

26646464

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為y=±&x,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.再把點(diǎn)（2&,-血）代入,

求得k的值，可得要求的雙曲線的方程.

【詳解】

?.?雙曲線的漸近線方程為y=±0x,.?.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x?-y2=k.又（2夜,-&）在雙曲線上，則

22

k=16-2=14,即雙曲線的方程為2x2-y2=以.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二―E=1

714

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.

【解析】

先求出集合A和它的補(bǔ)集，然后求得集合8的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.

【詳解】

對于集合A,(x-2)(x+l)>0,解得x<T或x>2,故CRA=[T,2].對于集合%叫2842=噢24,解得0<%<4.

故（。4）八3=（0,2卜故選B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對于有兩個(gè)根的一元

二次不等式的解法是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號的另一邊化為0,然后通過因式分解，求得對應(yīng)的一元二

次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.

12.D

【解析】

討論x>0,x=0,尤<（）三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)x>。時(shí),/⑴邛，故八幻=公,函數(shù)在（o,；）上單調(diào)遞增，在g,+8|上單調(diào)遞減，且了:上

2

當(dāng)x=0時(shí)，/（0）=0；

/l—2x

當(dāng)x<0時(shí)，/（用=丫9，/'U）=-^=^<0,函數(shù)單調(diào)遞減;

（1，故m€(],?立

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則1</'一

\22e

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

22

【解析】

先換元，令。=豆11%,將原方程轉(zhuǎn)化為。卜|+；=乙利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可

求出.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于X的方程a|sinXI+；=sinX在區(qū)間［0,2洲上恰有兩個(gè)解，令f=sinx,所以方程a+g=，在

「1

,12

I---------0<r<l

/G(-I,O)U(O,I)上只有一解，即有。=邛/=,'9

-l<z<0

.-/

直線y=gy=1在1€(-1,0)11(0,1)的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，

綜上實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-工3」1).

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式.

14.-8

【解析】

先根據(jù)定積分求出〃的值，再用二項(xiàng)展開式公式即可求解.

【詳解】

-X24=4

4

所以〃=4

(x+1)4的通項(xiàng)公式為=Qx1?.父=

4rr22

當(dāng)r=2時(shí)，T3=C；xl--x=C^x=6x

33

當(dāng)r=3時(shí)，T4=C^X=4X

故—2](x+1)M展開式中x2的系數(shù)為4+(-2)x6=-8

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】

此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開式公式等知識點(diǎn)，屬于簡單題目.

15.27

【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得4,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.

【詳解】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知。6=3,則師0=9,

里

Wio+a+。6%0=9+34+3a(o>9+6A/o2a10=9+6a6=27.

當(dāng)且僅當(dāng)外=4。=3時(shí)取得最小值.

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.

r131

16.——

44

【解析】

利用三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

V/(%)=4cossincox-coscox')+\［2

=2&sinCDXCOScox-2夜cos2cox+^l

=V2sin2cox-V2cos2CDX

jr

=2sin(269X--),

則函數(shù)的最大值為2,周期7=棄=出，

???/(X)的最大值與最小正周期相同，

.?--=2,得“=

CD2

7T

則/(x)=2sin(萬x),

4

當(dāng)-1融1時(shí)，-射制TX-2—,

444

則當(dāng)—2領(lǐng)巳工時(shí)，得-",

24244

即函數(shù)/(x)在［T,11上的單調(diào)遞增區(qū)間為一,三，

44

13

故答案為：［-■.

44

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、單調(diào)區(qū)間，利用輔助角公式求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意單調(diào)區(qū)間為

定義域的一個(gè)子區(qū)間.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y2=i,(y/O)(2)19；產(chǎn).

【解析】

(1)根據(jù)題意設(shè)"(〃?,")，可得PF的方程2〃(x-l)—y(/-1)=0,根據(jù)距離即可求出；

⑵點(diǎn)。處的切線4的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)/>(),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式，求并構(gòu)造函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值.

【詳解】

(1)因?yàn)閽佄锞€C的方程為V=4x,所以尸的坐標(biāo)為(1,0),

設(shè)M(〃z,〃)，因?yàn)閳AM與x軸、直線/都相切，/平行于x軸，

所以圓M的半徑為同，點(diǎn)P(/,2〃)，

2

則直線PF的方程為上=與1，即2n(x-l)-y(n-1)=0,

\2n(m—l)—n(n2-1)1

所以?)二|〃|,又如力0,

J(2〃)2+(“2—1)211

所以12AM-〃2_1=〃2+L即以-m+l=0,

所以E的方程為y2=x—i,(y/0),

(2)設(shè)+A(O,y),8((),必)，

由(1)知，點(diǎn)。處的切線4的斜率存在，由對稱性不妨設(shè)/>0,

由力/T'所以—1=動：1.1$“=m=-2叼^7,

t1.

所以X=5—五，%=2r+3/,

所以|AB|=2/+3/-：+；=2尸+/+；,r>o.

令/(，)=2/+,/+3，/>0,

51_12?+5?-1

則/《)=6/

+2一系二一曠

由.尸(。>0得

24

/、

所以在區(qū)間0,、廠5；尸單調(diào)遞減，在

,+8單調(diào)遞增,

77

二5+/時(shí),/⑺取得極小值也是最小值，即AB取得最小值

所以當(dāng)/=

24

山葉2,19+歷

此時(shí)S=f+1=-------.

24

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

18.(1)--(2)(-℃,4](3)見證明

e

【解析】

(D先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最小

值取法；(2)先分離不等式，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值即得結(jié)果；(3)構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，再

利用兩函數(shù)最值關(guān)系進(jìn)行證明.

【詳解】

(1)f'(x)=\nx+l=0x=—

e

當(dāng)xw(0」)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)大€(」,+8)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的最小值

ee

牝1、1

為f(—)=—;

ee

(2)因?yàn)閤>0,所以問題等價(jià)于a<2"3+七+3=01K+x+3在xe(0,+。。)上恒成立，

XX

3

記f(x)=21nx+x+二，則々<口(％)]“2，

因?yàn)?x)=：+l—:①羋口，

令/'（X）=0得％=iWlx=—3舍,

???尤￡(0,1)時(shí)?尤)<0,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;

?.子€（1,”）時(shí)，（力＞0,函數(shù)1^）在（1,+oo）上單調(diào)遞增;

???上（力]血='（1）=4?即a”,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,4].

v*2

(3)問題等價(jià)于證明xlnx——,xe(0,+oo).

ee

由（1）知道/（x）=xln出最小值/[/=一丁

設(shè)族（力=二7-2,XW（0,+oO）則“（X）=L^,令“（x）=0得x=l,

門?0,1）時(shí)“（力＞0,函數(shù)0（力在（0,1）上單調(diào)遞增；

%?1,400）時(shí)“（力＜0,函數(shù)0（%）在（1,+00）上單調(diào)遞減；

所以｛0（x）Lax=。⑴=-1，

1x22

因此xlnxN--之彳-一，因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)取得，所以jdiu＞xW—-,

eeeee

I2

即對一切xe（O,4w）,都有欣＞三一一成立.

【點(diǎn)睛】

對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端

是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離

參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

19.（1）三+：/=1（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）設(shè)T（Xo，%）,P（x,y）,通過麗=衣，即A為的中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解，點(diǎn)P的軌跡C的方程.

（2）設(shè)直線/的方程為y=先根據(jù)|AB|=1,可得%+/=],①，再根據(jù)韋達(dá)定理，點(diǎn)在橢圓上可得

4/=4公+1,②，將①代入②可得4K+42+1=0,該方程無解，問題得以解決

【詳解】

⑴設(shè)P（x,y）,T則4（%,0）,3（0,%）,

由題意知麗=而，所以A為心中點(diǎn),

X

Xo=2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

o=A±Z

2

又點(diǎn)T在圓O：f+>2=]上，故滿足％2+為2=1,得工+y2=l.

4

2

二曲線C的方程r工+9=1.

4

（2）由題意知直線/的斜率存在且不為零，設(shè)直線/的方程為了=丘+乙

因?yàn)閨/3|=|0刀=1,故+*=1,即％+『=i①,

y-kx+t

2

聯(lián)立x2,，消去丁得：（4公+1)x+8to+4(r-l)=0,

一+y=1

14

設(shè)、（不乂）,N（W，M）,

8kt4,T)

玉+工2=

4氏2+1'k24公+1

1（\c/曲）c2，

因?yàn)樗倪呅蜲MQN為平行四邊形，故。（-*二