2023年秋季河南省高二期中考試聯考數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若直線與直線垂直，則（）A． B． C．7 D．72．若拋物線的焦點坐標為，則（）A．10 B．20 C．10 D．203．直線的傾斜角為（）A．108° B．72° C．118° D．18°4．設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．圓C：與圓D：的位置關系不可能是（）A．內含 B．相交 C．外切 D．內切6．某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，該橢圓的離心率為．若該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，則該橢球的高為（）A．3.2米 C．4米 7．在四面體OABC中，D為AB的中點，G為的重心，則（）A． B．C． D．8．的最小值為（）A． B．3 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在棱長為4的正方體中，以空間中某個點作為坐標原點建立空間直角坐標系，則B，的坐標可能為（）A．， B．，C．， D．，10．下列結論正確的是（）A．直線的傾斜角大于45°B．直線過定點C．直線與直線之間的距離是D．與點距離為1，且與點距離為4的直線共有4條11．已知曲線C：，，，P為C上異于A，B的一點，直線AP與直線交于點M，直線BP與直線交于點N，則（）A．P到點的距離的取值范圍是B．存在兩個定點，使得P到這兩個定點的距離之和為定值C．直線AP與直線BP的斜率之積為D．當直線AP的斜率等于時，等于12．已知曲線C：，圓M：，則（）A．當或時，曲線C與圓M沒有公共點B．當時，曲線C與圓M有1個公共點C．當時，曲線C與圓M有2個公共點D．當時，曲線C與圓M有4個公共點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若P為橢圓E：上一點，，分別為左、右焦點，若，則______．14．一束光線自點發出，被Oxy平面反射后到達點被吸收，則該光線所走的路程是______．15．若直線與兩個圓，都相離，則a的取值范圍是______．16．3D打印是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術．如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印得到的，已知該塔筒（數據均以外壁即塔筒外側表面計算）上底直徑為6cm，下底直徑為10cm，高為20cm，則喉部（最細處）的直徑為______cm．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知拋物線C的頂點為坐標原點，準線方程為．（1）求C的方程；（2）若直線l：與C交于A，B兩點，求弦AB的長．18．（12分）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體中，，側棱與AD，AB均成60°角，M為側面的中心．（1）若N為AM的中點，證明：，B，D，N四點共面．（2）求異面直線AM與所成角的余弦值．19．（12分）已知圓M經過，，三點．（1）求圓M的一般方程；（2）過點的直線l與圓M交于E，F兩點，，求直線l的方程．20．（12分）已知雙曲線M：與拋物線有相同的焦點，且M的虛軸長為4．（1）求M的方程．（2）是否存在直線l，使得直線l與M交于A，B兩點，且弦AB的中點為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由．21．（12分）如圖，在正三棱柱中，D是的中點，．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．22．（12分）已知橢圓C：的右焦點為，短軸長為2．（1）求C的方程．（2）若A，B為C上的兩個動點，A，B兩點的縱坐標的乘積大于0，，，且．證明：直線AB過定點．2023年秋季河南省高二期中考試聯考數學參考答案1．A因為直線的斜率為，所以，解得．2．D因為拋物線的焦點坐標為，所以，解得．3．A因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為108°．4．B向量在向量上的投影向量為，則，當且僅當時，等號成立，所以λ的最小值為．5．C圓C的標準方程為，因為，所以圓C的圓心在圓D的內部，所以兩圓的位置關系不可能是外切．6．D由題意可知，，則，由該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，可知米，所以米，米，該橢球的高為米．7．D因為D為AB的中點，所以，因為G為的重心，所以，所以．8．C表示直線上一點P到，兩點的距離之和．B關于直線的對稱點為，故．9．BD在棱長為4的正方體中，，排除A與C，故選BD．10．AB因為直線的斜率為，所以該直線的傾斜角大于45°，故A正確；將直線整理成，由解得，，所以該直線過定點，故B正確；將直線化為，所以兩直線間的距離，故C錯誤；記以為圓心，1為半徑的圓為，以為圓心，4為半徑的圓為，因為兩圓的圓心距，且兩圓的半徑之和，所以，所以兩圓外切，所以兩圓有三條公切線，這三條公切線滿足與點的距離為1，且與點的距離為4，故D錯誤．11．ABD由，得，則C表示橢圓的上半部分，根據橢圓的定義，可得B正確．點是橢圓的右焦點，則，A正確．設，則，C錯誤．設，則，，直線AP的方程為，則M的坐標為．直線BP的方程為，則N的坐標為，所以，當時，，D正確．12．ACD由，得或，設：，：，易得過定點，過定點，當與圓M相切時，由，得或，當與圓M相切時，由，得或．當或時，與圓M相離，與圓M相離，則曲線C與圓M沒有公共點．當時，與圓M相交，與圓M相離，則曲線C與圓M有2個公共點．當時，與圓M相交，與圓M相切，則曲線C與圓M有3個公共點．當時，與圓M相交，與圓M相交，則曲線C與圓M有4個公共點．13．5因為，，所以．14．因為入射光線被Oxy平面反射后到達點且被吸收，根據光的反射定律可知，入射光線必過點，故該光線從發射到吸收所走過的路程為．15．點到直線的距離，解得．點到直線的距離，解得．故a的取值范圍是．16．雙曲塔筒的軸截面如圖所示，以C為喉部對應點，設A與B分別為上、下底面對應點．由題意可知cm，cm，cm．設，則．設雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，方程可化簡為（*），將A和B的坐標代入（*）式可得解得所以．故該塔筒的喉部直徑為cm．17．解：（1）依題意可設C的方程為，…1分則，解得．…3分所以C的方程為．…4分（2）將代入，得，…6分則，，，…8分所以．……10分【注】第（2）問的弦長還可以這樣求解：因為直線l：經過C的焦點，所以．18．（1）證明：，…3分所以，因為，所以，B，D，N四點共面．…6分（2）解：，即．…8分…10分，即異面直線AM與所成角的余弦值為．…12分19．解：（1）設圓M的一般方程為，…1分把A，B，C三點坐標代入可得…3分解得，，，…4分所以圓M的一般方程為．…5分（2）由（1）得圓M的標準方程為，即圓心為，半徑為．…6分當直線l與x軸垂直，即時，此時，符合題意；…8分當直線l與x軸不垂直時，設該直線的方程為，即，…9分則圓心M到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為．…11分綜上，直線l的方程為或．…12分20．解：（1）拋物線的焦點為，…1分依題意可得…3分解得，，故M的方程為．…5分（2）設，，則…6分兩式相減得．…7分依題意可得…8分所以．…9分M的漸近線方程為．…10分因為，…11分所以直線l與M相交，故存在直線l，且直線l的斜率為．…12分21．（1）證明：取BC的中點E，連接AE，DE，則在正三棱柱中，平面．…1分因為平面，所以．…2分又D是的中點，，所以．…3分因為，所以平面ADE．…4分因為平面ADE，所以．…5分（2）解：以E為坐標原點，直線EB，EA分別為x軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，…6分，，．…7分設平面ABD的法向量為，則由得……8分令，得．…9分設平面ABC?的法向量為，則由得令，得．…10分．…11分由圖可知，二面