計(jì)算流體力學(xué)

1流體力學(xué)基本方程計(jì)算流體力學(xué)(CFD)的概念及意義

流體力學(xué)的基本方程偏微分方程組的類型

重點(diǎn):

流體力學(xué)基本概念：連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，流動(dòng)描述方法N-S方程及其無量綱化（熟記）；

雙曲型方程性質(zhì)；2計(jì)算流體力學(xué):ComputationalFluidDynamics簡(jiǎn)稱CFD§1.1緒論3計(jì)算流體力學(xué)是通過數(shù)值方法求解流體力學(xué)控制方程，得到流場(chǎng)的離散的定量描述，并以此預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科CFD:通過離散求解流動(dòng)方程得到流動(dòng)信息流動(dòng)控制方程理論解（解析解）精確解：Poiseuille解，Blasius解，Plantdl湍流邊界層解漸進(jìn)解、近似解：Stokes解數(shù)值解差分法、有限體積法、邊界元法、譜（元）方法、粒子方法……借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前，數(shù)值方法已然產(chǎn)生方程復(fù)雜（非線性偏微方程組），解析解很難獲得4計(jì)算流體力學(xué)(CFD):在航空航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用●1970年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)主要依賴風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)YF-17研制，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)13,500小時(shí)●1980年代，CFD逐漸發(fā)展，部分取代實(shí)驗(yàn)YF-23，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)5,500小時(shí)，CFD計(jì)算15,000機(jī)時(shí)YF17YF23YF175●90年代，CFD在飛機(jī)設(shè)計(jì)中發(fā)揮了主力作用波音777，CFD占主角

●2000之后，CFD取代了大部分風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)波音787：全機(jī)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)僅3次波音787波音777●航天領(lǐng)域，CFD發(fā)揮著實(shí)驗(yàn)無法取代的作用

實(shí)驗(yàn)難點(diǎn)：復(fù)現(xiàn)高空高速流動(dòng)條件

6CFD面臨的挑戰(zhàn)及主要任務(wù)：多尺度復(fù)雜流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型化;

湍流的計(jì)算模型；

轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)模型；

燃燒及化學(xué)反應(yīng)模型；

噪聲模型……可處理間斷及多尺度流場(chǎng)的高分辨率、強(qiáng)魯棒性、高效數(shù)值方法；

高精度激波捕捉法；

間斷有限元法;……

可處理復(fù)雜外形、易用性強(qiáng)的算法；

復(fù)雜外形——網(wǎng)格生成工作量大

多塊分區(qū)算法；

無網(wǎng)格法；粒子算法；7傳統(tǒng)計(jì)算方法：

有限差分法，

有限體積法，有限元法，

譜方法（譜元法）等；最近發(fā)展的方法:基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），無網(wǎng)格

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)適用范圍有限差分法簡(jiǎn)單成熟，可構(gòu)造高精度格式處理復(fù)雜網(wǎng)格不夠靈活相對(duì)簡(jiǎn)單外形的高精度計(jì)算有限體積法守恒性好，可處理復(fù)雜網(wǎng)格不易提高精度（二階以上方法復(fù)雜）復(fù)雜外形的工程計(jì)算有限元法基于變分原理，守恒性好對(duì)于復(fù)雜方程處理困難多用于固體力學(xué)等間斷有限元法(DG)精度高、守恒性好、易于處理復(fù)雜網(wǎng)格計(jì)算量大；捕捉激波（限制器）難度大復(fù)雜外形的高精度計(jì)算譜方法精度高外形、邊界條件簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單外形的高精度計(jì)算粒子類方法算法簡(jiǎn)單，可處理復(fù)雜外形精度不易提高復(fù)雜外形的工程計(jì)算8課程安排流體力學(xué)基本方程

雙曲型方程組及其間斷（Riemann）解

差分法（1）：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及Fourier分析方法

差分法（2）：高精度激波捕捉格式

差分法（3）：通量分裂技術(shù)

有限體積法（1）

有限體積法（2）

間斷有限元方法

代數(shù)方程組的求解

不可壓方程的數(shù)值方法

網(wǎng)格生成技術(shù)湍流與轉(zhuǎn)捩（1）

湍流與轉(zhuǎn)捩（2）

燃燒及化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)初步；并行計(jì)算編程初步（MPIPart1)并行計(jì)算編程初步(MPIpart2,OpenMP)9§1.2

流體力學(xué)基本方程組連續(xù)介質(zhì)假設(shè)1.基本概念流體質(zhì)點(diǎn)：微觀充分大，宏觀充分小流體連續(xù)地充滿整個(gè)空間舉例說明流體密度定義體積為V的控制體平均密度：控制體內(nèi)流動(dòng)的總質(zhì)量/控制體體積控制體內(nèi)的平均密度隨體積變化規(guī)律微觀充分大，宏觀充分小控制體太大，有宏觀波動(dòng)控制體太小，有微觀波動(dòng)流動(dòng)描述方法Euler描述Lagrange描述描述流體信息：密度、速度、壓力、溫度等給出每個(gè)時(shí)刻每個(gè)空間點(diǎn)上的物理量研究的區(qū)域跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，記錄物理量隨時(shí)間的變化初始時(shí)刻的位置物質(zhì)（隨體）導(dǎo)數(shù)（場(chǎng)）例：乘火車從北京到上海，一路上記錄車廂外的溫度隨時(shí)間變化時(shí)間影響空間影響122.基本方程基于Euler描述任意點(diǎn)目的：給出t時(shí)刻（x,y,z）點(diǎn)處物理量（密度，速度、壓力、溫度）滿足的方程；

通過解方程得到這些物理量；1)

圍繞(x,y,z)點(diǎn)取一控制體;2)根據(jù)基本定律（質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒）,

給出控制體內(nèi)總量（積分量）的變化規(guī)律；

（總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量的變化規(guī)律：積分型方程）3)令控制體尺度趨近于0，得到(x,y,z)點(diǎn)物理量的微分型方程控制體示意圖xy特點(diǎn)：控制體不動(dòng)（Euler描述）13控制體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）數(shù)學(xué)化總質(zhì)量總動(dòng)量總能量

：質(zhì)量密度，單位體積內(nèi)的質(zhì)量

：動(dòng)量密度，單位體積內(nèi)的動(dòng)量E:能量密度，單位體積內(nèi)的總能量（不考慮源項(xiàng)）內(nèi)能（完全氣體）動(dòng)能單位時(shí)間內(nèi)，穿過垂直x軸單位面積流過的質(zhì)量流量（從左向右流過為正）流通量(flux)14控制體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）穿過垂直x方向單位面積面元的質(zhì)量通量同樣令(1)物理含義：通量的變化（散度）導(dǎo)致凈通量15控制體質(zhì)量（動(dòng)量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）計(jì)算流通量問題：如圖，試計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)流過右側(cè)單位面積面元的質(zhì)量、動(dòng)量和總能量。注：外力沖量等同于流過的動(dòng)量；外力做功等同于流過的能量質(zhì)量通量：動(dòng)量通量：流過質(zhì)量附帶的動(dòng)量+表面上外力的沖量

表面上（單位面積）所受外力所受外力能量通量：流過質(zhì)量附帶的能量+表面上外力做功+熱傳遞

Fourier熱傳導(dǎo)定律：熱流與溫度梯度呈正比（向右為正）質(zhì)量附帶動(dòng)量E:能量密度，單位體積的能量基本概念：應(yīng)力（張量）“把物體切開，其內(nèi)部的力就暴露出來”“切的方向不同，表面上的力也不同”給定切割方向，就能得到表面力怎么描述連續(xù)體內(nèi)部的力呢？切3次就夠了：垂直x軸,垂直y軸，垂直z軸各切一次沿垂直x的平面剖開，露出的面力沿垂直y的平面剖開，露出的面力沿垂直z的平面剖開，露出的面力沿任意方向切割，暴露出的力如下計(jì)算：局部力的平衡關(guān)系這個(gè)公式顯示：P是張量什么叫“張量”？矩陣不一定是張量張量的定義廣義牛頓粘性定律：通常情況下：

普通的線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

各向同性假設(shè)流體特性：靜止流體向各個(gè)方向的壓力相等（帕斯卡定律）靜止部分+運(yùn)動(dòng)部分通常情況下，第二粘性系數(shù)（膨脹粘性）可忽略17基本概念：力與變形的關(guān)系（本構(gòu)方程，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系）

流體特性：粘性力與變形速率呈正比（牛頓粘性定律）靜止流體牛頓實(shí)驗(yàn)示意圖18所受外力壓力粘性（剪切力）壓力（垂直表面向內(nèi)）xyz質(zhì)量通量：動(dòng)量通量：能量通量：穿過x-方向控制面的通量（密度）為：穿過y-,z-方向的通量同樣計(jì)算無粘通量粘性通量19將其帶入（1）式，得到最終的控制方程(N-S方程）：粘性通量無粘通量含義：質(zhì)量（動(dòng)量、能量）的變化=外界輸入的凈質(zhì)量（動(dòng)量、能量）質(zhì)量密度動(dòng)力密度能量密度補(bǔ)充關(guān)系20N-S方程各項(xiàng)物理含義剖析壓力做功流入質(zhì)量帶來的能量單位時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)垂直于x-軸單位面積平面的無粘流通量質(zhì)量流量流入質(zhì)量帶來的x-方向動(dòng)量壓力（提供的沖量）流入質(zhì)量帶來的y-方向動(dòng)量流入質(zhì)量帶來的z-方向動(dòng)量單位時(shí)間內(nèi)，流經(jīng)垂直于x-軸單位面積平面的粘性流通量粘性力提供的x-方向沖量粘性力提供的y-方向沖量粘性力提供的z-方向沖量由于熱傳導(dǎo)輸入的熱量粘性力做功N-S方程的無量綱化無量綱量：

物理量與特征量之比R特征量：A速度417.2m/s,

密度2.86kg/m3

溫度262K壓力88740Pa……速度1.85

密度0.62

溫度0.86壓力0.75……A點(diǎn)的物理量：有量綱描述無量綱描述優(yōu)點(diǎn)：直觀優(yōu)點(diǎn)：便于對(duì)比特征量：對(duì)于某物理量，人為設(shè)定的值（可任意）例如，設(shè)定密度的特征量為：無量綱密度定義為：也可以設(shè)定成其他值，但必須是密度量綱含義：密度為特征密度的1.8倍無量綱形式的優(yōu)點(diǎn)：數(shù)值更加簡(jiǎn)潔、便于對(duì)比；一組解可反映一系列（相似的）流動(dòng)；缺點(diǎn)：數(shù)值的物理直觀性差各有優(yōu)缺點(diǎn)，可相互補(bǔ)充無量綱方式可任意出現(xiàn)的無量綱參數(shù)：

不同的無量綱方式得到的方程的形式不同無量綱狀態(tài)方程：22常見的無量綱形式用動(dòng)壓作為特征壓力；可減少一個(gè)無量綱參數(shù)有量綱量特征量（有量綱）N-S方程的簡(jiǎn)化1）不可壓縮情況下2）無粘情況下（Euler方程）通常：變形：假設(shè)粘性系數(shù)為常數(shù)（溫度變化較小的情況）23方程的精確解：含義：以常速度c向右傳播。波形，振幅保持不變24

（常用）特例：常系數(shù)線性單波方程§1.3偏微方程的分類及特征基本概念：橢圓型、雙曲型、拋物型方程1.一階偏微分方程初值：uxt=0uxt=t0t=0時(shí)刻與t=t0時(shí)刻物理量的分布txt=t1t=t2t=t3x-ct=const重要概念：特征線自變量空間的一條曲線，該曲線上物理量的方程可簡(jiǎn)化ABc>0擾動(dòng)波向右傳播：

左端(A)需要給定邊界條件；

右端(B)只能被動(dòng)接受，無法給定邊界條件

（即使給定，對(duì)計(jì)算域也無任何影響,且造成B端的非適定性）。c<0擾動(dòng)波向左傳播：

右端(B)需要給定邊界條件；左端(A)無需給定線性單波方程的邊界條件:對(duì)于初值問題，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且連續(xù)依賴于初始值，則稱數(shù)學(xué)問題的提法是適定的。25有限空間重要基本概念，需掌握初值：?jiǎn)栴}：如何給定邊界條件？（一般形式）一階線性偏微方程采用特征線法，可轉(zhuǎn)化為常微分方程考慮曲線G:顯然，沿著該曲線G有：如果該曲線G滿足：則有：偏微方程在特征線上變成了常微分方程特征線特征相容關(guān)系（特征線上物理量的簡(jiǎn)化方程）26xy特征線簡(jiǎn)化了方程，在空氣動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛27演示：如何利用特征線計(jì)算物理量特征線特征相容關(guān)系計(jì)算域xy步驟：1）設(shè)定積分步長(zhǎng)（根據(jù)精度需求設(shè)定，例如0.1）2）在邊界上選取初始點(diǎn)，由邊界條件確定該點(diǎn)的物理量值3）根據(jù)特征線及特征相容關(guān)系數(shù)值積分，求出特征線下一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)值。遞推下去，計(jì)算出整條特征線的（離散）坐標(biāo)及物理量的（離散）值。4）在邊界上選取新的點(diǎn)，重復(fù)步驟3），計(jì)算出整個(gè)計(jì)算域物理量的分布

特征線法是空氣動(dòng)力學(xué)重要的計(jì)算方法。早期（計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前），是主要的CFD手工計(jì)算方法之一。2.一階常系數(shù)偏微方程組如果矩陣A可以被對(duì)角化：令：有即：m個(gè)方程完全解耦，可獨(dú)立求解有m條特征線：m個(gè)特征相容關(guān)系式：如果矩陣A能夠（相似變換）對(duì)角化，則原方程是雙曲型的28

如果矩陣A具有m個(gè)實(shí)特征值，這些特征值共具有m個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則稱為雙曲型方程一階擬線性偏微分方程組和m條特征線上的m個(gè)特征相容關(guān)系（常微分方程）等價(jià)。

如果A的特征值為m重根，而且對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量數(shù)小于m，則稱為拋物型方程。如果其A的特征值均為復(fù)數(shù)，則稱為橢圓型方程組合情況：

雙曲-橢圓型雙曲-拋物型思考題：如果A為變系數(shù)情況？293.高階偏微方程——可轉(zhuǎn)化為一階方程組原方程化為一階方程組：轉(zhuǎn)化為一階偏微方程組矩陣特征方程（3）有兩個(gè)互異實(shí)根->矩陣A可對(duì)角化->雙曲型

特征方程（3）有兩個(gè)相同實(shí)根，且無法對(duì)角化->拋物型特征方程（3）無實(shí)根->橢圓型對(duì)于變系數(shù)情況，局部討論304.討論Euler方程組將矩陣A對(duì)角化一維非定常Euler方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)單波方程:

擾動(dòng)波分別以速度傳播一維非定常流動(dòng)：31推導(dǎo)守恒變量：質(zhì)量密度、動(dòng)量密度、能量密度好性質(zhì)：齊次函數(shù)5.雙曲型方程組邊界條件提法變換成為了彼此獨(dú)立的n個(gè)單波方程方法：獨(dú)立給定j個(gè)方程的邊界條件

如果lj>0,則在左端給定vj的邊界條件如果lj<0,