半角模型及拓展---參考答案與試題解析1．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FH⊥AE于F，過H作GH⊥BD于G，下列有四個結論：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周長為定值，其中對的的結論有（）【解答】解：（1）連接FC，延長HF交AD于點L，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．（3）連接AC交BD于點O，可知：BD=2OA，∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．（4）延長AD至點M，使AD=DM，過點C作CI∥HL，則：LI=HC，根據△MEC≌△CIM，可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周長為8，為定值．故（1）（2）（3）（4）結論都對的．2．如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．下列結論：①△ABG≌△AFG：②BG=GC；③AG∥CF；④∠GAE=45°．則對的結論的個數有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，∵CD=3DE，∴DE=2，∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°，∴AF=AB，∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）．∴①對的；∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF．設BG=x，則CG=BC﹣BG=6﹣x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2．∵CG=6﹣x，CE=4，EG=x+2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得：x=3．∴BG=GF=CG=3．∴②對的；∵CG=GF，∴∠CFG=∠FCG．∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF．∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG．∴AG∥CF．∴③對的；∵△ADE沿AE折疊得到△AFE，∴△DAE≌△FAE．∴∠DAE=∠FAE．∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG=∠FAG．∵∠BAD=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°．∴④對的．3．如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，在斜邊AB上取兩點M、N，使∠MCN=45°．求證：以MN，BN，AM為邊的三角形是直角三角形．【解答】證明：將△BCN繞點C逆時針旋轉90°至△ACN′，點B與點A重疊，點N落在N′處，連接MN′，則有AN′=BN，CN′=CN，∠1=∠3．∵∠MCN=45°，∴∠1+∠2=45°，∴∠2+∠3=45°，∴∠MCN′=∠MCN．在△MCN與△MCN′中，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN=MN′．由旋轉性質可知，∠CAN′=∠B=45°，∴∠MAN′=∠CAN′+∠CAB=90°，∴△AMN′為直角三角形．∵AN′=BN，MN′=MN，∴以MN，BN，AM為邊的三角形是直角三角形．4．如圖，已知等邊△ABC邊長為1，D是△ABC外一點且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．則△AMN的周長等于（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：延長AC到E，使CE=BM，連接DE，（如圖）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，因此△AMN周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．故選：A．5．如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=8，AB=AC，∠CBD=30°，BD=4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN=45°，則△DMN的周長為4+4．【解答】解：將△ACN繞點A逆時針旋轉，得到△ABE，如圖：由旋轉得：∠NAE=90°，AN=AE，∠ABE=∠ACD，∠EAB=∠CAN，∵∠BAC=∠D=90°，∴∠ABD+∠ACD=360°﹣90°﹣90°=180°，∴∠ABD+∠ABE=180°，∴E，B，M三點共線，∵∠MAN=45°，∠BAC=90°，∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC﹣∠MAN=90°﹣45°=45°，∴∠EAM=∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN=ME，∴MN=CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠CBD=30°，BD=4，CD=BD×tan∠CBD=4，∴△DMN的周長為DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=4+4，故答案為：4+4．5．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，點D，E都在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=2CE，則DE的長為3﹣5．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC==4，把△AEC繞A點旋轉到△AFB，使AB和AC重疊，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，BF=EC設EC=x，則BF=x，BD=2x，DF=DE=x，∵BC=4，∴2x+x+x=4，x=3﹣，∴DE=x=（3﹣）=3﹣5，故答案為：3﹣5．7．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，點D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長為3﹣3．【解答】解：（辦法一）將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，連接EF，過點E作EM⊥CF于點M，過點A作AN⊥BC于點N，如圖所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2，∴AN=AB=，BN==3，∴BC=6．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，∴設CE=2x，則CM=x，EM=x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM=x，∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（x）2，解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），∴DE=6﹣6x=3﹣3．故答案為：3﹣3．（辦法二）：將△ABD繞點A逆時針旋轉120°得到△ACF，取CF的中點G，連接EF、EG，如圖所示．∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，∴∠ECG=60°．∵CF=BD=2CE，∴CG=CE，∴△CEG為等邊三角形，∴EG=CG=FG，∴∠EFG=∠FEG=∠CGE=30°，∴△CEF為直角三角形．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE．設EC=x，則BD=CF=2x，DE=FE=6﹣3x，在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，EF==x，∴6﹣3x=x，x=3﹣，∴DE=x=3﹣3．故答案為：3﹣3．8．（1）探究：如圖1，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且∠EAF=45°，請猜想并寫出線段DF、BE、EF之間的等量關系（不必證明）；（2）變式：如圖2，E、F分別在四邊形ABCD的邊BC、CD上，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠EAF=∠BAD，則線段BE、EF、FD的等量關系又如何？請加以證明；（3）應用：在條件（2）中，若∠BAD=120°，AB=AD=1，BC=CD（如圖3），求此時△CEF的周長．【解答】解：（1）EF=BE+DF．（2）EF=BE+DF．證明：延長CB至M，使BM=DF，∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∠1=∠D，又∵AB=AD，∴△ABM≌△ADF．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AME≌△AFE．∴EF=ME，即EF=BE+BM．∴EF=BE+DF．（3）連接AC，∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠B=∠D，∠DAC=∠BAC．∵∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∠BAC=∠BAD=60°．∴在Rt△ABC中，BC=ABtan60°=，由（2）得EF=BE+DF．∴△CEF的周長=CE+CF+EF=2BC=2．9．請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE=45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數量關系．小明的思路是：把△AEC繞點A順時針旋轉90°，得到△ABE′，連接E′D，使問題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決下列問題：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數量關系式，直接寫出你的猜想；（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結論與否發生變化？請闡明你的猜想并予以證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上，且∠DCE=30°，請你找出一種條件，使線段DE、AD、EB能構成一種等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數．【解答】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）關系式DE2=BD2+EC2仍然成立．證明：將△ADB沿直線AD對折，得△AFD，連FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°﹣∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣4