八年級上冊人教版數(shù)學(xué)14.3因式分解

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一、選擇題（本大題共7小題）

1、請你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，則由整個圖形的面積關(guān)系可以得到一個有關(guān)多項式因式分解的等式，這個等式是()

A.a2B.a2C.a2-2ab+b?2=(a-b)D.(a+b)2=a??22、多項式77x2A.0B.10C.12D.223、若x2?x?n=(x?m)(x?3)A.6B.4C.12D.-124、下列從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是（

）A.（2+a）（2-a）=4-a2B.（x-3）（4-x）=-（x-4）（x-3）C.4ab-2a2-1=2a（2b-a）-1D.m2-n2=（m+n）（m-n）5、下列各組代數(shù)式中，沒有公因式的是(

)A.5m(a-b)和b-aB.(a+b)2C.mx+y和x+yD.?a2+ab6、分解2x(?x+y)2A.-x+yB.x-yC.(x?y)D.以上都不對7、分解因式(x?1)2A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)D.(x?2)二、填空題（本大題共7小題）

8、若x2+2x-3=0，則x3+x2-5x+2012=______．9、若一個正方形的面積為，則此正方形的周長為

．10、若關(guān)于x的二次三項式x2+ax+1411、若多項式x2+2(m?2)x+2512、已知實數(shù)a、b、x、y滿足a+b=x+y=5，ax+by=2，則xy(a213、設(shè)a=192×918，b=8882?302，c=6914、若(x+m)(x+n)=x2三、計算題（本大題共2小題）

15、用因式分解的方法進行簡便計算：1772+232+46×177．

16、因式分解：

（1）3x（a-b）-9y（b-a）

（2）x4-1

四、解答題（本大題共4小題）

17、發(fā)現(xiàn)與探索：根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解

①a2-12a+20

②（a-1）2-8（a-1）+7

③a2-6ab+5b2

18、閱讀下面文字內(nèi)容：對于形如x2+2ax+a2的二次三項式，

可以直接用完全平方公式把它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+4x-5，就不能直接用完全平方公式分解了．對此，我們可以添上一項4，使它與x2+4x構(gòu)成個完全平方式，然后再減去4，這樣整個多項式的值不變，即x2+4x-5=（x2+4x+4）-4-5=（x+2）2-9=（x+2+3）（x+2-3）=（x+5）（x-1）．像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的方法，叫做配方法．

請用配方法來解下列問題

（1）請用上述方法把x2-6x-7分解因式．

（2）已知：x2+y2+4x-6y+13=0，求y的值．

19、閱讀理解并解答：

（1）我們把多項a2+2ab+b2a2-2ab+b2叫做完全平方式，在運用完全平方公式進行因式分解時，關(guān)鍵是判斷這個多項式是不是一個完全平方式．同樣地，把一個多項式進行部分因式分解可以來解決求代數(shù)式值的最大（或最小）值問題．

例如：①x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2

∵（x+1）2是非負數(shù)，即（x+1）2≥0

∴（x+1）2+2≥2

則這個代數(shù)x2+2x+3的最小值是______，這時相應(yīng)的x的值是______；

②3x2-12x+5

=3（x2-4x）+5

=3（x2-4x+4-4）+5

=3（x-2）2-12+5

=3（x-2）2-7

∵（x-2）2是非負數(shù)，即（x-2）2≥0

∴3（x-2）2-7≥-7

則這個代數(shù)式3x2-12x+5的最小值是______，這時相應(yīng)的x的值是______；

（2）仿照上述方法求代數(shù)式-x2-14x+10的最大（或最小）值，并寫出相應(yīng)的x的值．

20、問題背景：

我們學(xué)習(xí)了整式的乘法，兩個多項式相乘，我們可以運用法則，將其展開，例如：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，而將等號的左右兩邊互換，我們得到了a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），等號的左邊是一個多項式，而右邊是幾個整式相乘的形式，我們規(guī)定將一個多項式寫成幾個整式相乘的形式，這種運算稱之為“因式分解”

問題提出：

如何將2a2+3ab+b2進行因式分解呢？

問題探究：

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導(dǎo)和解釋

例如：我們可以通過表示幾何圖形面積的方法來快速的對多項式a2+2ab+b2進行因式分解

如圖1所示邊長為（a+b）的大正方形是由1個邊長為a×a的正方形，2個邊長為a×b的長方形，1個邊長為b×b的正方形（a＞b）組成，我們可以用兩種方法表示大正方形的面積，這個圖形的面積可以表示成：a2+2ab+b2或（a+b）2

∴a2+2ab+b2=（a+b）2

我們將等號左邊的多項式寫成了右邊兩個整式相乘的形式，從而成功的對多項式a2+2ab+b2進行了因式分解

請你類比上述方法，利用圖形的幾何意義對多項式2a2+3ab+b2進行因式分解（要求自己構(gòu)圖并寫出推證過程）

問題拓展：

如何利用圖形幾何意義的方法推導(dǎo)：13+23=32？如圖2，A表示1個1×1的正方形，即：1×1×1=13

B表示1個2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個2×2的正方形，因此：A、B、C、D就可以表示2個2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一個（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：1323=（1+2）2=32

嘗試解決：

請你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形幾何意義方法推導(dǎo)出13+23+33的值．（要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程）．

歸納猜想：

13+23+33+…+n3=______．

答案詳解【第1題】

【答案】B

【解析】【分析】

此題考查數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用、考查因式分解及考查正方形、矩形的面積，根據(jù)圖知，大正方形分為：一個邊長為a的小正方形，一個邊長為b的小正方形，兩個長為b，寬為a的長方形，利用大正方形的面積等于這四部分面積的和可得答案．

【解答】

解：由圖知，大正方形的邊長為a+b，大正方形的面積為(a+b)2，

根據(jù)圖知，大正方形分為：一個邊長為a的小正方形，一個邊長為b的小正方形，

兩個長為b，寬為a的長方形，

因為大正方形的面積等于這四部分面積的和，

所以a2+2ab+b2【第2題】

【答案】C

【解析】解：利用十字交乘法將77x2?13x?30因式分解，

可得：77x2?13x?30=(7x?5)(11x+6)．

∴a=-5，b=11，c=6，

則a+b+c=(-5)+11+6=12．

故選C．

首先利用十字交乘法將77x2?13x?30因式分解，繼而求得a，b，c的值．

此題考查了十字相乘法分解因式的知識.注意ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解：這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，【第3題】

【答案】D

【解析】解：∵x2?x?n=(x?m)(x?3)=x2?(m+3)x+3m，

∴m+3=1，-n=3m，

解得：m=-2，n=6，

則mn=-12．【第4題】

【答案】D

【解析】解：A、不是因式分解，故本選項不符合題意；

B、不是因式分解，故本選項不符合題意；

C、不是因式分解，故本選項不符合題意；

D、是因式分解，故本選項符合題意；

故選：D．

根據(jù)因式分解的定義逐個判斷即可．

本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．【第5題】

【答案】C

【解析】解：A、5m(a-b)和b-a=-(a-b)，∴兩個代數(shù)式的公因式是a-b；

B、(a+b)2和-a-b=-(a+b)的公因式是a+b；

C、mx+y與x+y沒有公因式；

D、?a2+ab和a2b?ab2=?b(?a【第6題】

【答案】C

【解析】解：2x(?x+y)2?(x?y)3應(yīng)提取的公因式是(x?y)2．

故選C．【第7題】

【答案】D

【解析】解：(x?1)2?2(x?1)+1=(x?1?1)2=(x?2)2．

【第8題】

【答案】2009【解析】解：∵x2+2x-3=0，

∴（x+3）（x-1）=0，

解得x=-3或x=1，

（1）x=-3時，

x3+x2-5x+2012

=（-3）3+（-3）2-5×（-3）+2012

=-27+9+15+2012

=2009

（2）x=1時，

x3+x2-5x+2012

=13+12-5×1+2012

=1+1-5+2012

=2009

故答案為：2009．

首先根據(jù)：x2+2x-3=0，可得：（x+3）（x-1）=0，據(jù)此求出x的值是多少，然后應(yīng)用代入法，求出x3+x2-5x+2012的值是多少即可．

此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是求出x的值是多少．【第9題】

【答案】4a-2

【解析】【分析】本題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的面積求出正方形的邊長，即可確定出其周長．【解答】解：∵正方形的面積為，∴正方形的邊長為，則正方形的周長為4a-2．故答案為4a-2．【第10題】

【答案】±1【解析】解：中間一項為加上或減去x的系數(shù)和12積的2倍，

故a=±1，

解得a=±1，

故答案為：±1．

這里首末兩項是x和12這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x的系數(shù)和12【第11題】

【答案】7或3【解析】解：∵多項式x2+2(m?2)x+25能用完全平方公式因式分解，

∴2(m-2)=±10，

解得：m=7或-3，

故答案為：7或-3

利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出m的值．【第12題】

【答案】46

【解析】本題考查多項式乘多項，因式分解.由已知a+b=5，x+y=5，兩式相乘得ax+bx+ay+by=25，可求得ay+bx=25-2=23，再將xy(a???2+b???2)+ab(x2+y???2)運用分組分解法因式分解得xy(a解：∵a+b=x+y=2，

∴(a+b)(x+y)=ax+bx+ay+by=5×5=25，

∵ax+by=2，

∴ay+bx=25-2=23，

∴(a???2+b???2)xy+ab(x???2+y???=a???2xy+b???2xy+abx???2+aby=by(bx+ay)+ax(bx+ay)

=(ax+by)(ay+bx)

=2×23

=46

故答案為46．

【第13題】

【答案】a<c<b【解析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運用平方差公式進行化簡得出一個因數(shù)為918．

運用平方差公式進行變形，把其中一個因數(shù)化為918，再比較另一個因數(shù)，另一個因數(shù)大的這個數(shù)就大．

解：a=192×918=361×918

b=8882?302【第14題】

【答案】6

【解析】【分析】

本題考查了因式分解的意義，屬于基礎(chǔ)題，得出m、n之積為12是關(guān)鍵，把12分解為兩個整數(shù)的積的形式，p等于這兩個整數(shù)的和．

【解答】

解：根據(jù)題意可得：a=m+n，mn=12，

12=4×3=(-4)×(-3)=2×6=-6×(-2)=1×12=(-1)×(-12)，

所以a=7，-7，8，-8，13，-13，共6個．

故答案為6．

【第15題】

【答案】解：1772+232+46×177

=1772+232+2×23×177

=（177+23）2

=2002

=40000【解析】首先把1772+232+46×177化為1772+232+2×23×177，然后用因式分解的方法，求出算式的值是多少即可．

此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．【第16題】

【答案】解：（1）原式=3x（a-b）+9y（a-b）=3（a-b）（x+3y）；

（2）原式=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x+1）（x-1）．【解析】

（1）原式變形后，提取公因式即可；

（2）原式利用平方差公式分解即可．

此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【第17題】

【答案】解：①a2-12a+20

解原式=a2-12a+36-36+20

=（a-6）2-42

=（a-10）（a-2）；

②（a-1）2-8（a-1）+7

=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7

=（a-5）2-32

=（a-8）（a-2）；

③a2-6ab+5b2

解原式=a2-6ab+9b2-9b2+5b2

=（a-3b）2-4b2

=（a-5b）（a-b）．【解析】參照例題可得相應(yīng)解法：十字相乘法和配方法．

①先配方后利用平方差公式進行因式分解．

②先配方后利用平方差公式進行因式分解．

③先配方后利用平方差公式進行因式分解．

本題考查了十字相乘法分解因式，運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，本題需要進行多次因式分解，分解因式一定要徹底．【第18題】

【答案】解：（1）x2-6x-7

=x2-6x+9-9-7

=（x-3）2-16

=（x-3-4）（x-3+4）

=（x-7）（x+1）

（2）∵x2+y2+4x-6y+13=0，

∴x2+4x+4+y2-6y+9=0，

∴（x+2）2+（y-3）2=0，

∴x+2=0，y-3=0，

解得x=-2，y=3．【解析】

（1）應(yīng)用配方法，把x2-6x-7分解因式即可．

（2）首先把x2+y2+4x-6y+13=0分解因式，然后根據(jù)偶次方的非負性質(zhì)，求出y的值是多少即可．

此題主要考查了因式分解的方法和應(yīng)用，要熟練掌握，注意配方法、分組分解法等的應(yīng)用．【第19題】

【答案】解：（1）①∵x2+2x+3=（x+1）2+2，

∴這個代數(shù)x2+2x+3的最小值是2，這時相應(yīng)的x的值是-1．

②∵3x2-12x+5=3（x-2）2-7，

∴這個代數(shù)式3x2-12x+5的最小值是-7，這時相應(yīng)的x的值是2．

（2）-x2-14x+10

=-（x2+14x+49）+49+10

=-（x2+14x+49）+59

=-（x+7）2+59

（x+7）2是非負數(shù)，（x+7）2≥0

∴-（x+7）2≤0

-（x+7）2+59≤59

∴這個代數(shù)式的最大值是59，這時相應(yīng)的x的值是-7．

故答案為：2、-1、-7、2．

（1）①根據(jù)：x2+2x+3=（x+1）2+2，可得：這個代數(shù)x2+2x+3的最小值是2，這時相應(yīng)的x的值是-1．

②根據(jù)：3x2-12x+5=3（x-2）2-7，可得：這個代數(shù)式3x2-12x+5的最小值是-7，這時相應(yīng)的x的值是2．

（2）首先應(yīng)用完全平方公式，把-x2-14x+10化成-（x+7）2+59，然后判斷出這個代數(shù)式的最