3.1.3頻率與概率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．(重點(diǎn))2．正確理解概率的意義，利用概率知識正確理解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題．(重點(diǎn))3．理解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．(難點(diǎn))1.通過頻率與概率的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．2．借助概率知識理解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).1．概率(1)統(tǒng)計(jì)定義：在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當(dāng)n很大時(shí)，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時(shí)就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)．(2)性質(zhì)：隨機(jī)事件A的概率P(A)滿足0≤P(A)≤1.特別地，①當(dāng)A是必然事件時(shí)，P(A)＝1.②當(dāng)A是不可能事件時(shí)，P(A)＝0.2．概率與頻率之間的聯(lián)系概率是可以通過頻率來“測量”的，或者說頻率是概率的一個近似值．概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生可能性的大小．1．下列說法正確的是()A．任何事件的概率總是在(0,1]之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率一般會穩(wěn)定于概率D．概率是隨機(jī)的．在試驗(yàn)前不能確定C[由概率與頻率的有關(guān)概念可知C正確．]2．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為eq\f(1,5)，前4個病人都沒有治好，第5個病人的治愈率為()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D．0B[由概率的意義知，第5個病人的治愈率仍為eq\f(1,5)，與前4個病人都沒治好沒有關(guān)系．]3．某射擊運(yùn)動員射擊20次，恰有18次擊中目標(biāo)，則該運(yùn)動員擊中目標(biāo)的頻率是________．0.9[設(shè)擊中目標(biāo)為事件A，則n＝20，nA＝18，則f20(A)＝eq\f(18,20)＝0.9.]4．在一次擲硬幣試驗(yàn)中，擲30000次，其中有14984次正面朝上，則出現(xiàn)正面朝上的頻率是________，這樣，擲一枚硬幣，正面朝上的概率是________．0.49950.5[設(shè)“出現(xiàn)正面朝上”為事件A，則n＝30000，nA＝14984，fn(A)＝eq\f(14984,30000)≈0.4995，P(A)＝0.5.]概率概念的理解[探究問題]1．如何理解概率意義上的“可能性”？[提示](1)概率意義上的“可能性”是大量隨機(jī)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計(jì)”是不同的，也就是說，單獨(dú)一次試驗(yàn)結(jié)果的不肯定性與多次試驗(yàn)累積結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義上的“可能性”．(2)概率是根據(jù)大量的隨機(jī)試驗(yàn)得到的一個相應(yīng)的期望值，它說明一個事件發(fā)生的可能性的大小，并未說明一個事件一定發(fā)生或一定不發(fā)生．2．同一個隨機(jī)事件在相同條件下在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都一樣嗎？[提示]概率是從數(shù)量上反映隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生可能性的大小的一個量，是一個確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)；同一個隨機(jī)事件在相同條件下在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．3．如何用概率知識解釋天氣預(yù)報(bào)中的“降水”？[提示]天氣預(yù)報(bào)中的“降水”是一個隨機(jī)事件，概率只是說明這個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，概率值越大，說明在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的可能性越大，但在一次試驗(yàn)中，“降水”這個事件是否發(fā)生還是隨機(jī)的．【例1】下列說法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩小孩，則一定為一男一女B．一次摸獎活動中，中獎概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎C．10張票中有1張獎票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎票的可能性大D．10張票中有1張獎票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1[思路探究]抓住事件的概率是在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上得到，它只反映事件發(fā)生的可能性大小．D[一對夫婦生兩小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎概率為0.2是說中獎的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎，也可能中一張、兩張、三張、四張，或者都不中獎，所以B不正確；10張票中有1張獎票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．]1．概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．2．由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．3．正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個具體的事件．1．我們知道，每次拋擲硬幣的結(jié)果出現(xiàn)正、反的概率都為0.5，則連續(xù)拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次，是否一定出現(xiàn)“一次正面向上，一次反面向上”呢？[解]不一定．這是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)規(guī)律不同于確定的數(shù)學(xué)規(guī)律，對于具體的一次試驗(yàn)而言，它帶有很大的隨機(jī)性(即偶然性)，通過具體試驗(yàn)可以知道除上述結(jié)果外，也可能出現(xiàn)“兩次都是正面向上”“兩次都是反面向上”．盡管隨機(jī)事件的概率不像函數(shù)關(guān)系那樣具有確定性，但是如果我們知道某事件發(fā)生的概率的大小，也能作出科學(xué)的決策．例如：做連續(xù)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)1000次，可以預(yù)見：“兩個都是正面向上”大約出現(xiàn)250次，“兩個都是反面向上”大約出現(xiàn)250次，而“一個正面向上、一個反面向上”大約出現(xiàn)500次．2．若某種彩票準(zhǔn)備發(fā)行1000萬張，其中有1萬張可以中獎，則買一張這種彩票的中獎概率是多少？買1000張的話是否一定會中獎？[解]中獎的概率為eq\f(1,1000)；不一定中獎，因?yàn)橘I彩票是隨機(jī)的，每張彩票都可能中獎也可能不中獎．買彩票中獎的概率為eq\f(1,1000)，是指試驗(yàn)次數(shù)相當(dāng)大，即隨著購買彩票的張數(shù)的增加，大約有eq\f(1,1000)的彩票中獎．概率與頻率的關(guān)系及求法【例2】下面的表中列出了10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果，n為每次試驗(yàn)拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面向上的次數(shù)．計(jì)算每次試驗(yàn)中正面向上的頻率，并考查它的概率．試驗(yàn)序號拋擲次數(shù)(n)正面向上次數(shù)(m)正面向上的頻率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247[思路探究]eq\x(由表中數(shù)據(jù))→eq\x(計(jì)算事件頻率)→eq\x(觀察頻率的穩(wěn)定值)→eq\x(估計(jì)概率)[解]由頻率公式fn(A)＝eq\f(m,n)，可分別得出這10次試驗(yàn)中事件正面向上出現(xiàn)的頻率依次為0.502,0.498,0.512,0.506，0．502,0.492,0.488,0.516，0．524,0.494，這些數(shù)字在0.5附近擺動，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可得，正面向上的概率約為0.5.1．頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率．頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個穩(wěn)定值附近左右擺動，這個穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟是：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．3．下面是某批乒乓球質(zhì)量檢查結(jié)果表：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率(1)在上表中填上優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率；(2)估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率是多少？(3)若抽取乒乓球的數(shù)量為1700只，則優(yōu)等品的數(shù)量大約為多少？[解](1)如下表所示：抽取球數(shù)5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)45921944709541902優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率0.90.920.970.940.9540.951(2)從表中數(shù)據(jù)可以看出，這批乒乓球優(yōu)等品的概率是0.95.(3)由優(yōu)等品的概率為0.95，則抽取1700只乒乓球時(shí)，優(yōu)等品數(shù)量為1700×0.95＝1615.概率的實(shí)際應(yīng)用【例3】甲、乙兩人做游戲，規(guī)定“同時(shí)擲兩枚骰子，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，則甲勝，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，則乙勝”，乙說“點(diǎn)數(shù)之和為2,3,4，…，12，共11種結(jié)果，其中偶數(shù)有6個，奇數(shù)有5個，所以這個游戲是不公平的，甲獲勝的可能性要大些”．你認(rèn)為乙的說法對嗎？試說明理由．[思路探究]eq\x(列出所有結(jié)果)→eq\x(計(jì)算概率)→eq\x(判斷)[解]乙的說法是不對的，該游戲是公平的，擲兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和其實(shí)共有36種結(jié)果，如表所示：1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)1點(diǎn)2345672點(diǎn)3456783點(diǎn)4567894點(diǎn)56789105點(diǎn)678910116點(diǎn)789101112不難看出點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有18種，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的結(jié)果也有18種，所以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)和點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率都是eq\f(1,2)，故游戲是公平的．1．解題關(guān)鍵是理解概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量，因此計(jì)算概率是本題的核心問題．2．解決此類問題要注意觀察分析數(shù)據(jù)總數(shù)和某事件包含的數(shù)據(jù)個數(shù)，有時(shí)需要對試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測．3．實(shí)際生活與生產(chǎn)中常常用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來估計(jì)某個生物種群中個別生物種類的數(shù)量、某批次的產(chǎn)品中不合格產(chǎn)品的數(shù)量等．4．某為了了解初中部學(xué)生的某項(xiàng)行為規(guī)范的養(yǎng)成情況，在隨機(jī)抽取初中部的150名學(xué)生登記佩帶胸卡的學(xué)生名字．結(jié)果，150名學(xué)生中有60名佩帶胸卡．第二次檢查，調(diào)查了初中部的所有學(xué)生，有500名學(xué)生佩帶胸卡．據(jù)此估計(jì)該初中部一共有多少名學(xué)生．[解]設(shè)初中部有n名學(xué)生，依題意得eq\f(60,150)＝eq\f(500,n)，解得n＝1250.所以該初中部共有學(xué)生大約1250名．1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解概率的含義，了解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，難點(diǎn)是應(yīng)用概率的意義解釋生活中的實(shí)際問題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)理解概率的意義．(2)掌握利用頻率估計(jì)概率的步驟．(3)利用概率思想正確處理和解釋實(shí)際問題．3．本節(jié)課的易錯點(diǎn)(1)對概率的理解有誤致錯．(2)列舉基本事件時(shí)易漏或重．1．思考辨析(1)概率就是隨機(jī)事件發(fā)生的頻率．()(2)隨機(jī)事件的概率不能為0.()(3)必然事件的概率為1.()(4)在大量實(shí)驗(yàn)中頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項(xiàng)是說這種手術(shù)的成功率大約是99%.下列解釋正確的是()A．100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗B．這個手術(shù)一定成功C．99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù)D．這個手術(shù)成功的可能性大小是99%D[成功率大約是99%，說明手術(shù)成功的可能性大小是99%，故選D．]3．一家保險(xiǎn)公司想了解汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率，公司收集了20000部汽車的相關(guān)信息，時(shí)間是從某年的5月1日到下一年的5月1日，共發(fā)現(xiàn)有600部汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，則一部汽車在一年內(nèi)擋風(fēng)玻璃破碎的概率近似值是________．0.03[這一年內(nèi)汽車擋風(fēng)玻璃破碎的頻率為eq\f(600,20000)＝0.03，