PAGE概率論與數理統計主編：韓旭里，謝永欽復旦大學出版社第一章概率論的基本概念引言：自然現象分兩類：1確定性現象.2隨機現象.

1在一定條件下必然發生的現象,稱為確定性現象.——特點：在相同的條件下，重復進行實驗或觀察，它的結果總是確定不變的。

2在一定的條件下，可能出現這樣的結果，也可能出現那樣的結果，而試驗或觀察前，不能預知確切的結果。稱為隨機現象.——特點：即在相同的條件下，重復進行觀測或試驗，它的結果未必是相同的。雖然在個別試驗中，其結果呈現出不確定性，但是人們經過長期實踐并深入研究之后，發現在大量重復試驗或觀察下，這類現象的結果呈現出某種規律性——這種在大量重復試驗或觀察中，所呈現出的固有規律性稱之為統計規律性概率論與數理統計是研究和揭示隨機現象統計規律性的一門數學學科.概率論的有關應用：概率論是數學的一個分支，它研究隨機現象的數量規律，概率論的應用幾乎遍及所有的科學領域，例如天氣預報、地震預報、產品的抽樣調查，在通訊工程中概率論可用以提高信號的抗干擾性、分辨率等等.總之:概率論與數理統計在自然科學和社會科學的很多領域都具有非常廣泛的應用.我對此不再展開介紹了.§1樣本空間、隨機事件1.1隨機試驗（E）試驗的特點:

1,可在相同條件下重復地進行;

2,每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確所有可能的結果.

3,進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現.試驗的例:

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現的現象.

E2:將一枚硬幣擲三次,觀察正面H,反面T出現的情況.

E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現正面的次數.

E4:拋一顆骰子,觀察出現的點數.

E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數.

E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.

E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.1.2樣本空間、隨機事件(一)樣本空間對于隨機試驗,盡管在每次試驗之前不能預知試驗的結果,但試驗的所有可能的結果組成的集合是已知的,將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間,記為Ω={ω1，ω2，ω3，…}.樣本空間的元素ω1，ω2，ω3，…,即E的每個基本結果,稱為樣本點.例:

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H,反面T出現的現象.

Ω1:{H,T}

E2:將一枚硬幣擲三次,觀察正面H,反面T出現的情況.

Ω2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};

E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現正面的次數.

Ω3:{0,1,2,3};

E4:拋一顆骰子,觀察出現的點數.

Ω4:{1,2,3,4,5,6};

E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數.

Ω5:{0,1,2,3,...};

E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命.

Ω6:{t|t0}

E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.

Ω7:{(x,y)|T0xyT1},這里x表示最低溫度,y表示最高溫度.并設這一地區的溫度不會小于T0,也不會大于T1.(二)隨機事件稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件,簡稱事件.在每次試驗中,當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時,稱這一事件發生.

特別,由一個樣本點組成的單點集,稱為基本事件.例如,擲一次硬幣的實驗E1有兩個基本事件{H}和{T};擲一次骰子的實驗E4有6個基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.樣本空間S包含所有的樣本點,它是S自身的子集,在每次試驗中它總是發生的,稱為必然事件,空集不包含任何樣本點,它也作為樣本空間的子集,它在每次試驗中都不發生,稱為不可能事件.幾個事件的例子:

例1:在E2:擲三次硬幣觀察正反面出現情況中事件A1:"第一次出現的是H",即

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.

事件A2:"三次出現同一面",即

A2={HHH,TTT}

在E6:測試任取的一只燈泡壽命中,事件A3:"壽命小于1000小時",即

A3={t|0t<1000}(三)事件間的關系與事件的運算事件是一個集合,因而事件間的關系與事件的運算按照集合論中集合間的關系和集合運算來處理.下面給出這些關系和運算在概率論中的提法.并根據"事件發生"的含義,給出它們在概率論中的含義.

設試驗E的樣本空間為S,而A,B,Ak(k=1,2,...)是S的子集.

通常喜歡用一個矩形來代表S,其中的子區域代表一個事件.1,若AB,則稱事件B包含事件A,這是指的事件A發生必然導致事件B發生.

若AB且BA,即A=B,則稱事件A與事件B相等.2,事件AB={x|xA或xB}稱為事件A與事件B的和事件.當且僅當A,B中至少有一個發生時,事件AB發生.3,事件AB={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的積事件.當且僅當A,B同時發生時,事件AB發生.AB也記作AB4,事件AB={x|xA且xB}稱為事件A與事件B的差事件,當且僅當A發生,B不發生時事件A--B發生.5.若AB=,則稱事件A與事件B是互不相容的,或互斥的,這指的是事件A與事件B不能同時發生,基本事件是兩兩互不相容的.6,若AB=S且AB=,則稱事件A與事件B互為逆事件,又稱事件A與事件B互為對立事件,這指的是對每次試驗而言,事件A,B中必有一個發生,且僅有一個發生.A的對立事件記為在進行事件運算時,經常要用到下述定律.設A,B,C為事件,則有

交換律:AB=BA;AB=BA.

結合律:A(BC)=(AB)C;

A(BC)=(AB)C.

分配律:A(BC)=(AB)(AC);

A(BC)=(AB)(AC);（可推廣到有窮或可數無窮情形）

德?摩根律:例2試驗為擲三次硬幣,事件A1:"第一次出現的是H",事件A2:"三次出現同一面",

A1={HHH,HHT,HTH,HTT},

A2={HHH,TTT},

A1A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT},

A1A2={HHH},

A2-A1={TTT},§2概率、古典概型2.1頻率，概率頻率1）定義在相同條件下,進行了n次試驗,在這n次試驗中,事件A發生的次數k稱為事件A發生的頻數.比值k/n稱為事件A發生的頻率,并記成fn(A).2）頻率基本性質:

1,0fn(A)1;

2,fn(S)=1;

3,若A1,A2,...,Ak是兩兩互不相容的事件,則

fn(A1A2...Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An事件A發生的頻率表示A發生的頻繁程度，fn(A).大，事件發生越頻繁，在試驗中，發生可能性就大2）頻率基本性質:

3）歷史上的擲硬幣試驗試驗者拋擲次數n正面出現次數m正面出現頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998大量實驗證實,當重復試驗的次數增大時,頻率fn(A)呈現出穩定性,逐漸穩定于某個常數,我們稱之為事件A的概率P(A),這叫大數定律.但是從純數學的角度看,概率無非是賦予事件A的一個實數.（故我們用概率來表示事件A在一次試驗中發生的可能性的大?。?/p>

因此,從純數學的觀點看問題,只要對每個事件賦予一個滿足一定性質的實數就行,是不關心概率在實際中的情況的.數學對實際的應用,都屬于某種方式的數學建模.概率1）定義設E是隨機試驗,S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實數,記為P(A),稱為事件A的概率,如果集合函數P(?)滿足下列條件:

1,非負性:對于每一個事件A,有P(A)0;

2,規范性:對于必然事件S,有P(S)=1;

3,可列可加性:設A1,A2,...是兩兩互不相容事件,即對于ij,AiAj=,i,j=1,2,...,則有

P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+... (3.1)

概率P(A)2）概率性質性質1P()=0.證則令An=f(n=1,2,...),則由概率的可列可加性(3.1)得注：不可能事件的概率為0，逆命題不成立（見第二章）性質2(有限可加性)若A1,A2,...,An是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

證令An+1=An+2=...=,即有AiAj=f,i1j,i,j=1,2,由(3.1)式得性質3設A,B是兩個事件,若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)P(A) 證由AB知B=A(B-A)(參見),且A(B-A)=,再由概率的有限可加性(3.2),得

P(B)=P(A)+P(B-A),

又由概率的非負性1,P(B-A)0知

P(B)P(A).性質4對于任一事件A,P(A)1

證因AS,由性質3得

P(A)P(S)=1

性質5(逆事件的概率)對任一事件A,有性質6(加法公式)對任意兩事件A,B有P(AèB)=P(A)+P(B)-P(AB).證因AB=A(B-AB)(參見),且A(B-AB)=,ABB,故由(3.2)及(3.3)得

P(AB)=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+P(B)-P(AB).

(3.5)式還可推廣到多個事件,例如,設A,B,C為任意三個事件,則有P(AèBèC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 例1.4：P92.2等可能概型(古典概型)1）定義：§1中所說的試驗E1:拋一枚硬幣,觀察正反兩面出現的情況,E4:擲一枚骰子,觀察出現的點數,它們具有兩個共同的特點:

1,試驗的樣本空間只包含有限個元素;

2,試驗中每個基本事件發生的可能性相同.

具有上面兩個特點的試驗稱為等可能概型,也稱為古典概型.設試驗的樣本空間為S={e1,e2,...,en}.由于在試驗中每個基本事件發生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).

又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是

1=P(S)=P({e1}{e2}...{en})=

P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei}),2）計算公式若事件A包含k個基本事件,即這里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k個不同的數.則有(4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的計算公式例1將一枚硬幣拋擲三次.(1)設事件A1為"恰有一次出現正面",求P(A1);(2)設事件A2為"至少有一次出現正面",求P(A2).

解(1)考慮§1中E2的樣本空間:

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.

而 A1={HTT,THT,TTH}.

故由(4.1)式,得注意：1）若本題考慮§1中E3的樣本空間:

S3={0,1,2,3}

則由于各個基本事件發生的可能性不相同,就不能利用(4.1)來計算P(A1)和P(A2).因而對本題來說,考慮樣本空間S2才能順利計算有關事件的頻率.2）當樣本空間元素較多時，一般不一一列出，只分別求S和A中元素的個數例2一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只.考慮兩種取球方式:(a)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣,試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.解(a)放回抽樣的情況.以A,B,C分別表示事件"取到的兩只球都是白球","取到的兩只球都是紅球","取到的兩只球中至少有一只是白球",易知"取到兩只顏色相同的球"這一事件即為AB,而由于AB=,得（b）不放回抽樣的情況例3將n只球隨機地放入N(Nn)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率(設盒子的容量不限).

解將n只球放入N個盒子,每種放法是一基本事件,共有NN...N=Nn種不同放法,而每個盒子中至多放一只球共有N(N-1)...[N-(n-1)]種不同放法,因而所求概率為許多問題和本例有相同的數學模型.例如,假設每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,則隨機選取n(365)個人,他們的生日各不相同的概率為因而,n個人中至少有兩人生日相同的概率為經計算可得下述結果:n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064100p0.9700.9970.9999997關于組合例4設有N件產品,其中有D件次品,今從中任取n件,問其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?

解所求的概率為(4.2)式即所謂超幾何分布的概率公式.例5袋中有a只白球,b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i=1,2,...,k)個人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b).

解(1)放回抽樣的情況,顯然有(2)不放回抽樣的情況.各人取一只球,每種值得注意的是P(B)與i無關,即k個人取球,盡管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一樣的,大家機會相同.另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.例6在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的數即不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

解設A為事件"取到的數能被6整除",B為事件"取到的數能被8整除",則所求概率為又由于一個數同時能被6與8整除,就相當于能被24整除,因此,由例7將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優秀生的概率是多少?(2)3名優秀生分配在同一班級的概率是多少?

解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數為每一種分配法為一基本事件,且由對稱性易知每個基本事件發生的可能性相同.(1)將3名優秀生分配到三個班級使每個班級都有一名優秀生的分法共3!種,對于這每一種分法,其余12名新生平均分配到三個班級中的分法共有12!/(4!4!4!)種.因此,每一班級各分配到一名優秀生的分法共有

(3!12!)/(4!4!4!)種.于是所求概率為(2)將3名優秀生分配在同一班級的分法共有3種.對于這每一種分法,其余12名新生的分法(一個班級2名,另兩個班級各5名)有

12!/(2!5!5!)種,因此3名優秀生分配在同一班級的分法共有(312!)/(2!5!5!)種,于是,所求概率為例8某接待站在某一同曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規定的.

解假設接待站的接待時間沒有規定,而各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12次接待來訪者都是在周二,周四的概率為212/712=0.0000003.而"概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發生的"(稱之為實際推斷原理),因此可以推斷接待站不是每天都接待來訪者.即認為接待時間是有規定的.作業2.3幾何概型§3條件概率、全概率公式3.1條件概率條件概率是概率論中的一個重要概念,所考慮的是事件A已發生的條件下,事件B發生的概率.。一般情況下，

例1，擲一顆均勻骰子，A={擲出2點}，B={擲出偶數點}，P(A)=1/6，P(A|B)=？已知事件B發生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B，B中共有3個元素，它們的出現是等可能的,其中只有1個在集A中于是P(A|B)=1/3.容易看到例1將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現正反面的情況.設事件A為"至少有一次為H",事件B為"兩次擲出同一面".現在求已知事件A已經發生條件下事件B發生的概率.

樣本空間為S=(HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH},B={HH,TT}.已知事件A已發生,知道"TT"不可能發生.即知試驗所有可能結果所成的集合就是A,A中共有3個元素,其中只有HHB.于是,在A發生的條件下B發生的概率,記為P(B|A),為另外,易知既有對于一般古典概型問題,若仍以P(B|A)記事件A已經發生的條件下B發生的概率,則關系式(5.1)仍然成立.事實上,設試驗的基本事件總數為n,A所包含的基本事件數為m(m>0),AB所包含的基本事件數為k,即有定義設A,B是兩個事件,且P(A)>0,稱為在事件A發生條件下事件B發生的條件概率.（二）條件概率性質不難驗證,條件概率P(|A)符合概率定義中的三個條件,即1,非負性:對任一事件B,有P(B|A)02,規范性:對于必然事件S,有P(S|A)=1;3,可列可加性:設B1,B2,...,是兩兩互斥事件,既然條件概率符合上述三個條件,上節中對概率重要結果都適用于條件概率.例如,對于任意事件B1,B2有

P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).

條件概率P(A|B)實質就是縮減了樣本空間上的事件的概率。由于已知事件B已經發生，原樣本空間S縮減為B，在該空間上再進一步計算事件A發生的概率(三)條件概率的計算（1）用定義計算:（2）在縮減的樣本空間上計算條件概率P(A|B)實質就是縮減了樣本空間上的事件的概率。由于已知事件B已經發生，原樣本空間S縮減為B，在該空間上再進一步計算事件A發生的概率P(A|B)=1/3.B發生后的縮減樣本空間所含樣本點總數B={擲出偶數點}={2,4,6}；A={擲出2點}={2}在縮減樣本空間中A所含樣本點個數

例2一盒子裝有4只產品,其中有3只一等品,1只二等品,從中取產品兩次,每次任取一只,作不放回抽樣.設事件A為"第一次取到的是一等品",事件B為"第二次取到的是一等品".試求條件概率P(B|A).解易知此屬古典概型問題.將產品編號,1,2,3號為一等品;4號為二等品.以(i,j)表示第一次,第二次分別取到第i號,第j號產品.試驗E(取產品兩次,記錄其號碼)的樣本空間為

S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1),(4,2),(4,3)},共12個基本事件組成,

A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)},共9個基本事件組成,

AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.

共6個基本事件組成.按(5.2)式,得條件概率也可以直接按條件概率的含義來求P(B|A).我們知道,當A發生以后,試驗E所有可能結果的集合就是A,A中有9個元素,其中只有(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)屬于B,故可得（二）乘法定理由條件概率的定義(5.2)可得乘法定理設P(A)>0,則有P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3)上式容易推廣到多個事件的積事件的情況.例如,設A,B,C為事件,且P(AB)>0,則有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)一般地,設A1,A2,...,An為n個事件,n2,且P(A1A2...An1)>0,則有P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1P(An1|A1A2...An2)P(An|A1A2...An設袋中裝有r只紅球,t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.

解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到紅球",例4某種透鏡,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下來未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.

解以Ai(i=1,2,3)表示事件"透鏡第i次落下打破",以B表示事件"透鏡落下三次而未打破,則3.2全概率公式和貝葉斯公式

（一）定義設S為試驗E的樣本空間,B1,B2,...,Bn為E的一組事件,若

(1)BiBj=,ij,i,j=1,2,...,n;

(2)B1B2...Bn=S,

則稱B1,B2,...,Bn為樣本空間的一個劃分.

若B1,B2,...,Bn是樣本空間的一個劃分,那么,對于每次試驗,事件B1,B2,...,Bn中必有一個且僅有一個發生.劃分的圖示（二）全概率公式定理設試驗E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則(5.6)式稱為全概率公式.證因為

A=AS=A(B1B2...Bn)=AB1AB2...ABn,

由假設P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)(ABj)=,ij,

i,j=1,2,...,n得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...

+P(A|Bn)P(Bn).（三）貝葉斯公式定理設試驗E的樣本空間為S.A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則下面的貝葉斯公式成立:證由條件概率的定義及全概率公式得特別在(5.6),(5.7)中取n=2,并將B1記為B,此時這兩個公式是常用的.例5某電子設備廠所用元件由三家元件廠供給,根據以往紀錄有以下數據:元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05解設A表示"取到次品",Bi表示"產品來自第i家廠",則B1,B2,B3構成劃分,P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

=0.0125.

(2)由貝葉斯公式例6對以往數據分析結果表明,當機器調整得良好時,產品的合格率為98%,而當機器發生某種故障時,其合格率為55%.每天早上調整良好的概率為95％.試求已知某日早上第一件產品是合格品時,機器調整良好的概率是多少?

解設A為事件"產品合格",B為"機器調整良好"這就是說,當生產出第一件產品是合格品時,此時機器調整良好的概率為0.97.這里,概率0.95是由以往的數據分析得到的,叫做先驗概率.而在得到信息(即生產出第一件產品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后驗概率.有了后驗概率我們就能對機器的情況有進一步的了解.例7某種癥斷癌癥的試驗有如下效果:若以A表示事件"試驗反應為陽性",以C表示事件"被論斷者有癌癥",則有P(A|C)=0.95,,設被試人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)=0.005,試求P(C|A).解已知P(A|C)=0.95,,由貝葉斯公式本題結果表明,雖然這兩個概率都比較高,但若將此試驗用于普查,則有P(C|A)=0.087,亦即其正確性只有8.7%(平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人確患有癌癥),如果不注意到這一點,將會得出錯誤的診斷,這也說明,若將P(A|C)和P(C|A)混淆了會造成不良的后果.§4獨立性設A,B是試驗E的兩事件,若P(A)>0,可以定義P(B|A).一般,A的發生對B發生的概率是有影響的,這時P(B|A)P(B)，只有在這種影響不存在時才會有P(B|A)=P(B),？P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)例1設試驗E為"拋甲,乙兩枚硬幣,觀察正反面出現的情況".設事件A為"甲幣出現H",事件B為"乙幣出現H".E的樣本空間為

S={HH,HT,TH,TT}.

則有可知P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B).事實上,由題意,甲幣是否出現正面與乙幣是否出現正面是互不影響的.這就是說，已知事件A發生，并不影響事件B發生的概率，這時稱事件A、B獨立1.兩個事件的獨立性（一）定義設A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B), (6.1)

則稱事件A,B相互獨立,簡稱A,B獨立.注意必然事件與任何事件獨立不可能事件與任何事件獨立

容易知道,若P(A)>0,P(B)>0則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.

定理一設A,B是兩事件,且P(A)>0,若A,B相互獨立,則P(B|A)=P(B)反之亦然.定理二若事件A與B相互獨立,則,和都相互獨立.證因為,得, .因此相互獨立,由此可立即推出相互獨立,又推出相互獨立.例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}問事件A、B是否獨立？解：1）由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2P(AB)=2/52=1/26可見,P(AB)=P(A)P(B)說明事件A、B獨立2）由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13P(A)=P(A|B),說明事件A、B獨立.2.多個事件的獨立性定義設A,B,C是三個事件,如果滿足等式則稱事件A,B,C相互獨立.一般,設A1,A2,...,An(n2)個事件,如果對于其中任意2個,任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率,都等于各事件概率之積,則稱事件A1,A2,...,An相互獨立.由定義可以得到以下兩點推論.

1若事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則其中任意k(2kn)個事件也是相互獨立的.

2若n個事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則將A1,A2,...,An中任意多個換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨立.3若A1,…,An相互獨立，則即：n個獨立事件至少有一個發生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.4注意：多個事件兩兩獨立與相互獨立的區別與聯系兩事件相互獨立的含義是它們中一個已發生,不影響另一個發生的概率.在實際應用中,對于事件的獨立性常常是根據事件的實際意義去判斷.一般,若由實際情況分析,A,B兩事件之間沒有關聯或關聯很微弱,那就認為它們是相互獨立的.例如,A,B分別表示甲乙兩人患感冒.如果甲乙兩人的活動范圍相距甚遠,就認為A,B相互獨立,若甲乙兩人是同住在一個房間里的,那就不能認為A,B相互獨立了.例1甲，乙，丙三人同時獨立向同一目標射擊，他們射中目標的概率分別為0.4,0.5,0.7。求(1)至少有一人射中目標的概率(2)恰有一人射中目標的概率例2P23例1.23例3一個元件(或系統)能正常工作的概率稱為元件(或系統)的可靠性.如圖,設有4個獨立工作的元件1,2,3,4按先串聯再并聯的方式聯接.設第i個元件的可靠性為pi(i=1,2,3,4),求系統的可靠性.121234解以Ai(i=1,2,3,4)表示事件第i個元件正常工作,以A表示系統正常工作.

A=A1A2A3A4

由系統的獨立性,得系統的可靠性:

P(A)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2A3A4)

=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=p1p2+p3p4例4要驗收一批(100件)樂器,驗收方案如下:自該批樂器中隨機地取3件測試(設3件樂器的測試是相互獨立的),如果3件中至少有一件在測試中被認為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設一件音色不純的樂器經測試查出其為音色不純的概率為0.95,而一件音色純的樂器經測試被誤認為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?解設以Hi(i=0,1,2,3)表示事件"隨機地取出3件樂器,其中恰有i件音色不純",H0,H1,H2,H3是S的一個劃分,以A表示事件"這批樂器被接收".已知一件音色純的樂器,經測試被認為音色純的概率為0.99,而一件音色不純的樂器,經測試被誤認為音色純的概率為0.05,并且3件樂器的測試是相互獨立的,于是有

P(A|H0)=(0.99)3,P(A|H1)=(0.99)20.05,

P(A|H2)=0.99(0.05)2,P(A|H3)=(0.05)3,例5甲乙兩人進行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p1/2.問對甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設各局勝負相互獨立.

解采用三局二勝制,甲最終獲勝,其勝局的情況是:"甲甲"或"乙甲甲"或"甲乙甲".而這三種結局互不相容,于是由獨立性得甲最終獲勝的概率為

p1=p2+2p2(1-p).采用五局三勝制,甲最終獲勝,至少需比賽3局(可能賽3,4,5局),最后一局必需是甲勝,前面甲需勝二局.例如,共賽4局,可能的情況是:"甲乙甲甲","乙甲甲甲","甲甲乙甲",且這三種結局互不相容,由獨立性得甲獲勝的概率為而p2--p1=3p2(p-1)2(2p-1)當p>(1/2)時p2>p1;故對甲來說采用五局三勝制為有利.作業：伯努利(Bernoulli)試驗概型n重伯努利試驗概型：(試驗重復獨立的進行n次概率模型)1試驗可重復n次，每次試驗只有兩個可能的結果：且2每次試驗的結果與其他次試驗無關——稱為這n次試驗是相互獨立的n重伯努利試驗中事件A出現k次的概率記為設E為伯努利試驗，且P(A)=p(0<p<1)，對于n重伯努利概型En，事件A恰好發生k(0￡k￡n)次的概率為k=0,1,2,…,n例1某射手的命中率為0.9，他獨立重復向目標射擊5次，求他恰好命中4次的概率.(2)他恰好不命中3次的概率.例2P25例1.25，1.26，1.27第二章隨機變量及其分布§1隨機變量§1.1隨機試驗引入隨機變量X,X的概率為了全面研究隨機試驗的結果,揭示隨機現象的統計規律性,將隨機試驗的每一個可能結果與一個實數對應起來,將隨機試驗的結果數量化,引入隨機變量的概念.

在隨機試驗完成時,人們常常不是關心試驗結果本身,而是對于試驗結果聯系著的某個數感興趣.例1在一袋中裝有編號分別為1,2,3的3只球.在袋中任取一只球,放回.再取一只球,記錄它們的編號.計算兩只球的號碼之和.試驗的樣本空間S={e}={i,j},i,j=1,2,3.這里i,j分別表示第一,二球的號碼.以X記兩球號碼之和,對于每一個樣本點e,X都有一個值與之對應,如圖所示.試驗的樣本空間S={e}={i,j},i,j=1,2,3.這里i,j分別表示第一,二球的號碼.以X記兩球號碼之和,對于每一個樣本點e,X都有一個值與之對應,如圖所示.例2將一枚硬幣拋擲3次.關心3次拋擲中,出現H的總次數,而對H,T出現的順序不關心.比如說,我們僅關心出現H的總次數為2,而不在乎出現的是"HHT","HTH"還是"THH".以X記三次拋擲中出現H的總數,則對樣本空間S={e}中的每一個樣本點e,X都有一個值與之對應,即有樣本點HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110§1.2隨機變量（一）定義設隨機試驗的樣本空間為S={e}.X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數.稱X=X(e)為隨機變量.有許多隨機試驗,它的結果本身是一個數,即樣本點e本身是一個數.我們令X=X(e)=e,則X就是一個隨機變量.例如,用Y記某車間一天的缺勤人數,以W記錄某地區第一季度的降雨量,以Z記某工廠一天的耗電量,以N記某醫院某一天的掛號人數.那么Y,W,Z,N都是隨機變量.

本書中,一般以大寫字母如X,Y,Z,W,...表示隨機變量,而以小寫字母x,y,z,w,...表示實數.（二）隨機變量的概率規律隨機變量的取值隨試驗結果而定,而試驗的各個結果出現有一定的概率,因而隨機變量的取值有一定的概率.例如,在例2中X取值為2,記成{X=2},對應于樣本點的集合A={HHT,HTH,THH},這是一個事件,當且僅當事件A發生時有{X=2}.則稱P(A)=P{HHT,HTH,THH}為{X=2}的概率,即P(X=2)=P(A)=3/8.類似地有一般,若L是一個實數集合,將X在L上取值寫成{X?L}.它表示事件B={e|X(e)?L},即B是由S中使得X(e)?L的所有樣本點e所組成的事件.此時有

P{X?L}=P(B)=P{e|X(e)?L},

隨機變量的取值隨試驗的結果而定,在試驗之前不能預知它取什么值,且它的取值有一定的概率.這些性質顯示了隨機變量與普通函數有著本質的差異.有了隨機變量，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的取值表達出來。隨機變量概念的產生是概率論發展史上的重大事件。引入隨機變量后，對隨機現象統計規律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規律的研究.§2.1離散型隨機變量及其分布律有些隨機變量,它全部可能取到的不相同的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為離散型隨機變量.例如§1例2中的隨機變量X,它只可能取0,1,2,3四個值,它是一個離散型隨機變量.又如某城市的120急救電話臺一晝夜收到的呼喚次數也是離散型隨機變量.若以T記某元件的壽命,它所可能取的值充滿一個區間,是無法按一定次序一一列舉出來的,因而它是一個非離散型的隨機變量.本節討論離散型隨機變量要掌握一個離散型隨機變量X的統計規律,必須且只需知道X的所有可能取的值及取每一個可能值的概率.

設X所有可能取的值為xk(k=1,2,...),而

P{X=xk}=pk,k=1,2, (2.1)

由概率的定義,pk滿足如下兩個條件稱(2.1)式為離散型隨機變量X的分布律.分布律也可用表格的形式來表示:Xx1x2...xn...pkp1p2...pn...例1設一汽車在開往目的地的道路上需經過四組信號燈,每組信號燈以1/2概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時,它已通過的信號燈組數(設各組信號燈的工作是相互獨立的),求X的分布律.

解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率,易知X的分布律為X01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P={X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4.以p=1/2代入得X01234pk0.50.250.1250.06250.0625下面介紹三種重要的離散型隨機變量.(一)兩點分布，(0-1)分布設隨機變量X只可能取x1，x2(0與1)兩個值,它的分布律是

P(X=x1)=1-p,P(X=x2)=p(0<p<1),

則稱X服從兩點分布或(0-1)分布.

(0-1)分布的分布律也可寫成X01pk1-pp對一個隨機試驗中的任何一個給定的事件A,0<P(A)<1,都可以根據事件A定義一個服從0-1分布的隨機變量來描述.例如,對新生嬰兒的性別進行登記,檢查產品的質量是否合格,某車間的電力消耗是否超過負荷以及前面多次討論過的"拋硬幣"試驗等都可以用(0-1)分布的隨機變量來描述.(0-1)分布是經常遇到的一種分布.定義隨機變量X表示n重伯努利試驗中事件A發生的次數,我們來求它的分布律.X所有可能取的值為0,1,2,...,n.由于各次試驗是相互獨立的,因此事件A在指定的k(0kn)次試驗中發生,在其它nk次試驗中A不發生的概率為若隨機變量X的分布律為：n,p的二項分布,記為X~b(n,p).q=1-p,二項分布模型：描敘n重貝努力試驗中時間A出現次數，射手射擊n次中中的次數的，拋n次硬幣出現正面次數概率分布等等例2按規定,某種型號電子元件的使用壽命超過1500小時的為一級品.已知一大批產品的一級品率為0.2,現在從中隨機地抽查20只.問20只元件中恰有k只(k=0,1,...,20)為一級品的概率是多少?

解這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數很大,且抽查的元件數量相對于元件的總數來說又很小,因而可以當作放回抽樣來處理,這樣做會有一些誤差,但誤差不大.檢查一只元件看它是否為一級品,檢查20只元件相當于20重貝努利試驗,以X記其中一級品總數,則X~b(20,0.2).由(2.6)式即得所求概率為將計算結果列表如下:P(X=0)=0.012P(X=4)=0.218P(X=8)=0.022P(X=1)=0.058P(X=5)=0.175P(X=9)=0.007P(X=2)=0.137P(X=6)=0.109P(X=10)=0.002P(X=0)=0.205P(X=7)=0.055

P{X=k}<0.001,當k311時計算結果的圖形:注意：當n很大時，計算麻煩，給出當n很大而p或者1-p很小時的近似計算公式：定理2.1泊松定理設npn=（>0是一常數，n是任意正整數），則對任意一固定的非負整數k,有此定理表明，當n很大p很小時，二項分布的泊松近似，常被應用于研究稀有事件（即每次試驗中事件A出現的概率p很?。├?某人進行射擊,設每次射擊命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.

解將一次射擊看成是一次試驗.設擊中的次數為X,則X~b(400,0.02).X的分布律為P{X2}=1-P{X=0}-P{X=1}=1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399=0.9972.例4設有80臺同類型設備,各臺工作是相互獨立的,發生故障的概率都是0.01,且一臺設備的故障能由一個人處理,考慮兩種配備維修工人的方法,其一是由4人維護,每人負責20臺;其二是由3人共同維護80臺.試比較這兩種方法在設備發生故障時不能及時維修的概率的大小.

解按第一種方法,以X記"第1人維護的20臺中同一時刻發生故障的臺數",以Ai(i=1,2,3,4)表示事件"第i人維護的30臺中發生故障不能及時維修".則知80臺中發生故障而不能及時維修的概率為

P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).

而X~b(20,0.01),故有即有P(A1A2A3A4)0.0169.按第二種方法,以Y記80臺中同一時刻發生故障的臺數.此時,Y~b(80,0.01),故80臺中發生故障而不能及時維修的概率為可以看出,在后一種情況下盡管任務重了(每人平均維護約27臺),但工作效率不僅沒有降低,反而提高了.泊松分布設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,...,而取各個值的概率為其中>0是常數.則稱X服從參數為的泊松分布,記為X~p().易知,P(X=k)0,k=0,1,2,...,且有泊松定理知，泊松分布常被應用于研究稀有事件（即每次試驗中事件A出現的概率p很?。?.2隨機變量的分布函數對于非離散型隨機變量X,由于其可能取的值不能一個一個地列舉出來,因而就不能像離散型隨機變量那樣可以用分布律來描述它.另外,通常所遇到的非離散型隨機變量取任一指定的實數值的概率都等于0.再者,在實際中,對于這樣的隨機變量,例如誤差,元件的壽命T等,我們并不會對誤差=0.05(mm),壽命T=1251.3(h)的概率感興趣,而是考慮誤差落在某個區間的概率,壽命T大于某個數的概率.因而我們轉而去研究隨機變量所取的值落在一個區間的概率,P{x1<Xx2}.由于

P{x1<Xx2}=P{xx2}-P{xx1}.

所以我們只需知道P{xx2}和P{xx1}就可以了.由此引出分布函數的概念.

（一）定義設X是一個隨機變量,x是任意實數.函數F(x)=P{Xx}

稱為X的分布函數.

對于任意實數x1,x2(x1<x2),有

P{x1<Xx2}=P{xx2}-P{xx1}=F(x2)-F(x1), (3.1)

稱為X的分布函數.分布函數是一個普通的函數,正是通過它,我們能用數學分析的方法來研究隨機變量.

如果將X看成是數軸上的隨機點的坐標,則分布函數F(x)在x處的函數值就表示X落在區間(-,x]上的概率.

分布函數F(x)具有以下的基本性質:

1,F(x)是一個不減函數.

事實上,由(3.1)式對于任意實數x1,x2(x1<x2)有

F(x2)F(x1)=P{x1<Xx2}0.2,0F(x)1,如圖,將區間端點x沿數軸無限向左移動(即x-,則"隨機點X落在x左邊"這一事件趨于不可能事件,從而其概率趨于0,即有F(-)=0;又若將點x無限右移,(即x),則"隨機點X落在x左邊"這一事件趨于必然事件,從而其概率趨于1,即有F()=1.3F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續的(例1設隨機變量X的分布律為X-123pk1/41/21/4解X僅在x=-1,2,3三點處其概率0,而F(x)的值是Xx的累積概率值,由概率的有限可加性,知它即為小于或等于x的那些xk處的概率pk之和.X-123pk1/41/21/4由此得F(x)的圖形為一般,設離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk,k=1,2,

由概率的可列可加性得X的分布函數為這里和式是對于所有滿足xkx的k求和的.分布函數F(x)在x=xk(k=1,2,...)處有跳躍,其跳躍值為pk=P{X=xk}.重點：已知分布函數F(x)求分布律{pk}，已知分布律求分布函數作業第二章習題請提問§3連續型隨機變量及其概率密度§3。1引入例2一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數.

解若x<0,則{Xx}是不可能事件,于是

F(x)=P{Xx}=0.

若0x2,由題意,P{0Xx}=kx2,k是某一常數,為了確定k的值,取x=2,有P{0X2}=22k.但已知P{0X2}=1,故得k=1/4,即于是若x2,由題意{Xx}是必然事件,于是 F(x)=P{Xx}=1.綜上所述,即得X的分布函數為它的圖形是一條連續曲線如圖所示另外,容易看到本例中的分布函數F(x)對于任意x可以寫成形式其中這就是說,F(x)是非負函數f(t)在區間(,x)上的積分,在這種情況下我們稱X為連續型隨機變量.對照f(x)和F(x)圖形（一）定義：如果對于隨機變量X的分布函數F(x),存在非負函數f(x),使對于任意實數x有則稱X為連續型隨機變量,其中函數f(x)稱為X的概率密度函數,簡稱概率密度.連續型隨機變量的分布函數是連續函數.在實際應用中遇到的基本上是離散型或連續型隨機變量.本課程只討論這兩種隨機變量.（二）概率密度f(x)性質:由性質2知道介于曲線y=f(x)與Ox軸之間的面積等于1.由性質3知道X落在區間(x1,x2]的概率P{x1<Xx2}等于區間(x1,x2]上的曲線y=f(x)之下的曲邊梯形面積.由性質4在f(x)的連續點x處有看出概率密度的定義與物理學中的線密度的定義相類似,這就是為什么稱f(x)為概率密度的原因.由(4.2)式知道,若不計高階無窮小,有 P(x<Xx+dx)f(x)dx. (4.3)例1設隨機變量X具有概率密度解f(x)的曲線形狀如圖所示(2)X的分布函數為F(x)與f(x)的對照圖X的分布函數為對于連續型隨機變量X來說,它取任一指定實數值a的概率均為0,即P{X=a}=0.事實上,設X的分布函數為F(x),x>0,則由

{X=a}{a-dx<Xa}得

0P{X=a}P{a-dx<Xa}=F(a)F(a-dx).

在上述不等式中令x0,并注意到X為連續型隨機變量,其分布函數F(x)是連續的,即得P{X=a}=0. (4.4)因此,在計算連續型隨機變量落在某一區間的概率時,可以不必區分該區間是開區間或閉區間或半閉區間.例如有

P{a<Xb}=P{aXb}=P{a<X<b}.

在這里,事件{X=a}并非不可能事件,但有P{X=a}=0.這就是說,若A是不可能事件,則有P(A)=0;反之,若P(A)=0,并不一定意味著A是不可能事件.

注意：以后當提到一個隨機變量X的"概率分布"時,指的是它的分布函數;或者,當X是連續型時指的是它的概率密度,當X是離散型是指的是它的分布律.介紹三種重要的連續型隨機變量均勻分布設連續型隨機變量X具有概率密度則稱X在區間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b).如X~U(a,b),則它落在(a,b)中任意子區間內的概率只依賴于子區間的長度而與子區間的位置無關.任給長度為l的子區間(c,c+l),ac<c+lb,有由(4.1)式得X的分布函數為例2設電阻值R是一個隨機變量,均勻分布在900~1100.求R的概率密度及R落在950~1050的概率.

解按題意,R的概率密度為指數分布設連續型隨機變量X的概率密度為其中>0為常數,則稱X服從參數為的指數分布.容易得到X的分布函數為f(x)的圖形:如X服從指數分布,則任給s,t>0,有

P{X>s+t|X>s}=P{X>t} (4.9)

事實上性質(4.9)稱為無記憶性.指數分布在可靠性理論和排隊論中有廣泛的運用.正態分布）定義設連續型隨機變量X的概率密度為其中,(>0)為常數,則稱X服從參數為的正態分布或高斯(Gauss)分布,記為X~N(2).顯然f(x)0,下面來證明令(x-m)/s=t,得到2）f(x)的圖形:f(x)具有的性質:

1,曲線關于x=對稱.這表明對于任意h>0有

P{-h<X}=P{<X+h}.

2,當x=時取到最大值x離越遠,f(x)的值越小.這表明對于同樣長度的區間,當區間離越遠,X落在這個區間上的概率越小.3，在x=處曲線有拐點.曲線以Ox軸為漸近線.4，固定（位置參數），（精度參數）越小，圖形越陡，因而X落在附近的概率越大，若固定，改變圖形平移，形狀不變由(4.10)式得X的分布函數為3）標準正態分布當=0,=1時稱X服從標準正態分布.其概率密度和分布函數分別用表示,即有易知 (4.15)人們已經編制了的函數表,可供查用(見附表2).引理若X~N(,2),則證：由此知Z~N(0,1).若X~N(,2)則它的分布函數F(x)可寫成:則對于任意區間(x1,x2],有例如,設X~N(1,4),查表得設X~N(,2),由的函數表還能得到:

P{<X<+}=(1)(1)

=2(1)1=68.26%

P{2<X<+2}=(2)(2)=95.44%

P{3<X<+3}=(3)(3)=99.74%

我們看到,盡管正態變量的取值范圍是(,),但它的值落在(-3,+3)內幾乎是肯定的事.這就是人們所談的"3"法則.例3將一溫度調節器放置在貯存著某種液體的容器內.調節器整定在d°C,液體的溫度X(以°C計)是一個隨機變量,且X~N(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d至少為多少?

解(1)所求概率為(2)按題意需求d滿足設X~N(0,1),若z滿足條件

P{X>za}=a, 0<a<1, (4.18)

則稱點za為標準正態分布的上a分位點.

由的對稱性知z1-a=--za§4隨機變量的函數的分布在實際中經常對某些隨機變量的函數更感興趣.例如,在一些試驗中,所關心的隨機變量往往不能直接由測量得到,而它卻是某個能直接測量的隨機變量的函數.比如我們能測量圓軸的直徑d,而關心的卻是截面積A=pid2/4.這里,隨機變量A是隨機變量d的函數.一般地，設X,Y是兩個隨機變量，y=g(x)是一個已知函數，如果當X取值x時，Y取值為g(x)，則稱Y是隨機變量X的函數,記作Y=g(X).下面討論如何由已知的隨機變量X的概率分布去求得它的函數Y=g(X)(g()是已知的連續函數)的概率分布.一離散型隨機變量函數的分布例1設隨機變量X具有以下的分布律,試求Y=X+2,的分布律.X-1012pk0.20.30.10.4解Y所有可能值為1,2,3,4,由P{Y=1}=P{X+2=1}=P{X=-1}=0.2,P{Y=2}=P{X=0}=0.3P{Y=3}=P{X=1}=0.`P{Y=4}=P{X=1}=0.4寫出Y的分布律Y=X+21234pk0.10.30.10.4步驟：1、確定Y的取值y1,y2,…yi…這里yi=g(xi)2、求概率P{Y=yi}=piP{X=xi}=pi3、列出概率分布表一般地，若X的分布列為Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……則Y=g(X)的分布列為Yg(x1)g(x2)……g(xk)……Pp1p2……pk……如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當并項即可.例1設隨機變量X具有以下的分布律,試求Y=(X-1)2的分布律.X-1012pk0.20.30.10.4解Y所有可能值為0,1,4,由P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,Y014pk0.10.70.2二連續型隨機變量函數的分布例2設隨機變量X具有概率密度求變量Y=2X+8的概率密度.解分別記X,Y的分布函數為FX(x),FY(y).下面先來求FY(y).將FY(y)關于y求導數,得Y=2X+8的概率密度為例3設隨機變量X~N(,2).試求X的線性函數Y=aX+b(a10)的概率密度.

1.當y=g(x)是單調函數定理設隨機變量X具有概率密度fX(x),<x<,又設函數g(x)處處可導且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),則Y=g(x)是連續型隨機變量,其概率密度為其中=min(g(-),g()),=max(g(-),g()),h(y)是g(x)的反函數.證先設g'(x)>0.此時g(x)在(￥,￥)嚴格單調增加,它的反函數h(y)存在,且在()嚴格單調增加,可導.分別記X,Y的分布函數為FX(x),FY(y).

因Y在()取值,故當y￡時,FY(y)=P{Y￡y}=0;當y3時,FY(y)=P{Y￡y}=1.

當<y<時,

FY(y)=P{Y￡y}=P{g(X)￡y}

=P{X￡h(y)}=FX[h(y)].FY(y)=FX[h(y)].

將FY(y)關于y求導數,即得Y的概率密度對于g'(x)<0的情況同樣可以證明,有合并(5.3),(5.4)式得證.如fX(x)在有限區間[a,b]以外等于零,只需成立在[a,b]上恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),上述定理依然成立,但此時有

=min[g(a),g(b)],=max[g(a),g(b)].例3設隨機變量X~N(,2).試證明X的線性函數Y=aX+b(a10)也服從正態分布證明：見教材p54用公式法證明2.當y=g(x)是非單調函數對于分區間分段單調函數，可以分段利用公式求出密度函數，再求和例3設隨機變量X具有概率密度fX(x),-<x<,求Y=X2的概率密度.

(思路：先求分布函數，再求導得概率密度)解分別記X,Y的分布函數為FX(x),FY(y).由于Y=X20,故當y0時FY(y)=0.當y>0時有將FY(y)關于y求導數,即得Y的概率密度為例題已知隨機變量X~U[0,p],求Y=sinX的概率密度fY(y)從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中，關鍵的一步是設法從{g(X)≤y}中解出X,得一個與{g(X)≤y}等價的X的不等式這樣做是為了利用已知的X的分布，從而求出相應的概率..總結：求隨機變量函數Y=g(X)的概率密度的方法：法一：求分布函數法（先求分布函數，再求導得概率密度）法二：公式法（若嚴格單調或分段嚴格單調，）:第三章多維隨機變量及其分布3.1二維隨機變量在很多實際問題中，需要考慮兩個或兩個以上的隨機變量。先看兩個隨機變量：二維隨機變量（X,Y)的性質不僅與X及Y有關，而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關系。定義：設E是一個隨機試驗，他的樣本空間是S,設XY是定義在同一樣本空間S上的兩個隨機變量，則稱X，Y為S上的二維隨機向量(變量),簡記（X,Y）注意：還可以類似推廣到n維隨機向量或隨機變量（X1,X2,…XN）一維隨機變量X——R1上的隨機點坐標；二維隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標；……n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標。多維隨機變量的研究方法也與一維類似，用分布函數、概率密度、或分布律來描述其統計規律。一聯合分布函數1．定義設（X,Y)是二維隨機變量，對任意的實數x,y,令F(x,y)=P({X￡x}∩{Y￡y})=P{X￡x,Y￡y}.則稱F(x,y)為（X,Y）的聯合分布函數。即F(x,y)為事件{X￡x}與{Y￡y}同時發生的概率。分布函數的幾何意義如果用平面上的點(x,y)表示二維隨機變量(X,Y)的一組可能的取值，則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入下圖所示的角形區域的概率即：隨機點(X,Y)落在區域-∞＜X≤x，-∞＜Y≤y中的概率xyxy(x,y)2．F(x,y)的性質性質1對于x和y,F(x,y)都是單調不減函數，即若x1<x2,對任意的實數y，則有F(x1,y)￡F(x2,y)；若y1<y2,對任意的實數x，則有F(x,y1)￡F(x,y2)性質2對于任意的實數x,y,均有0￡F(x,y)￡1,性質3對于x和y，F(x,y)都是右連續的，即對任意的實數x0和y0，均有F(x,y)=F(x0F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=FF(x,y)=F(x,y0)性質4若x1<x2,y1<y2,則P{x1<X￡x2,y1<Y￡y2}=F(x2,,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)>=0幾何意義如下:(x(x2,y2)(x1,y1)xxy二．二維離散型隨機變量及其聯合分布律1定義如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的不同的值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)是離散型的隨機變量．設二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能的取值為(xi,yj),i，j=1,2,...,取這些值的概率為pij=P{X=xi,Y=yj}i,j=1,2,……稱上式為(X,Y)的聯合分布律.2性質(1)pij30，i,j=1,2,…（2）問：如何用表格表示(X,Y)分布情況？YXy1y2...yj...x1p11p12...p1j...x2p21p22...p2jxipi1pi2...pij答:見書例題3.1例3.2袋里有5個編號的球，其中1個球編號為1，有2個球編號均為2，有2個球編號均為3。每次從中任取兩個球，以X和Y分別表示這兩個球中編號最小的號碼和最大的號碼。求X和Y的聯合分布律。解(X,Y)的全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5個球從中任取2個，共有C52=10種取法。試驗樣本點總數為10，YX2310.20.220.10.4300.1三．二維連續型隨機變量及其聯合概率分布1定義設二維隨機變量(X,Y)的分布函數為F(x,y)。若存在非負函數f(x,y),對任意實數x,y有則稱(X,Y)為連續型二維隨機變量，且稱函數f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的聯合密度函數，簡稱為聯合密度或概率密度。可記為(X,Y)~f(x,y)，(x,y)?R22性質:1）非負性2）歸一性3）若f(x,y)在點(x,y)處連續，則4）設G是xOy平面上的一個區域，則有在幾何上z=f(x,y)表示空間的一張曲面。由性質(2)知，介于該曲面和xy平面之間的空間區域的體積是1。由性質(4)知,的值等于以G為底，以曲面z=f(x,y)為頂的曲頂柱體的體積。例3.3設二維隨機變量(X,Y)的聯合概率密度函數為(1)求常數k；(2)求概率P(X+Y≤1)?！ぁぁそ獾胟=15確定積分區域例題3.4見教材p67四．常用的二維均勻分布和二維正態分布（一維推廣）1.二維均勻分布設D為平面上的有界區域,D的面積大于零.若二維隨機變量(X,Y)的聯合密度為則稱(X,Y)在D上服從均勻分布向平面上有界區域D上任投一質點，若質點落在D內任一小區域B的概率與小區域的面積成正比，而與B的形狀及位置無關.則質點的坐標（X,Y）在D上服從均勻分布.例5設(X,Y)在圓域D={(x,y):x2+y2￡r2}上服從均勻分布,其聯合密度為求(1)P(r2/8￡X2+Y2￡r2/4);(2)(X,Y)的邊緣密度函數2.若二維隨機變量（X,Y）具有概率密度其中均為常數,其中均為常數,且則稱（X,Y）為服從參數為的二維正態分布.二維正態分布的重要性質： 則由此性質看到，(X,Y)的邊緣分布都與r無關，說明r不同，得到的二維正態分布也不同，但其邊緣分布相同。因此邊緣分布是不能唯一確定聯合分布的，即使X,Y都是服從正態分布的隨機變量，(X,Y)不一定是服從二維正態分布。二維正態分布的邊緣分布必為一維正態分布，反之不真。3.2邊緣分布函數一、二維隨機變量的邊緣分布函數1定義：二維隨機變量(X,Y)作為一個整體，具有聯合分布函數F(x,y)，而X和Y都是隨機變量，各自也有它們的分布函數，記X的分布函數為FX(x)，稱為隨機變量(X,Y)關于X的邊緣分布函數；Y的分布函數為FY(y)，稱為隨機變量(X,Y)關于Y的邊緣分布函數。由分布函數的定義可得到聯合分布函數和邊緣分布函數的關系2邊緣分布的幾何意義FX(x)的函數值表示隨機點(X,Y)落入如下左圖所示區域內的概率；FY(y)的函數值表示隨機點(X,Y)落入如下右圖所示區域內的概率。3聯合分布函數與邊緣分布函數的關系FX(x)=P{X￡x}=P{X￡x,-￥<Y<+￥}=F(x,+￥)，FY(y)=P{Y￡y}=P{-￥<X<+￥,Y￡y}=F(+￥,y)例1：設求(X,Y)的邊緣分布函數。例3.6設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為其中A，B，C為常數，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)(1)試確定A，B，C；(2)求X和Y的邊緣分布函數；(3)求P(X>2)解(1)由聯合分布函數性質2可知解得(3)由X的分布函數可得二．二維離散型隨機變量的邊緣分布律1若(X,Y)為離散型隨機變量,則X,Y均為離散型隨機變量。由(X,Y)的聯合分布律P(X＝xi,Y＝yj}＝pij，i,j＝1,2,… i＝1,2,…j＝1,2,…它們分別是事件(X=xi)和(Y=yj)的概率，且有pi.≥0，p.j≥0稱pi.=P{X=xi},i=1,2,…p.j=P{Y=yj},j=1,2,…兩式分別為(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律，簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。以表格形式表示為YXy1y2…yj…P(X=xi)x1p11p12…p1j…

x2p21p22…p1j…

…xipi1pi1…pij…

…P(Y=yj)

…

…1例題3.6p69注意：聯合分布律不同，而邊緣分布律相同，僅有邊緣分布律一般不能得到聯合分布律。即聯合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯合分布律。2聯合分布律與邊緣分布律的關系設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為pij=P{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,…則三．二維連續型隨機變量的邊緣密度函數1.定義若(X,Y)為連續型隨機變量,則X,Y均為連續型隨機變量2.若(X,Y)是二維連續型隨機變量，其聯合密度函數是f(x,y)，此時X和Y也是連續型隨機變量，分別稱X和Y的概率密度函數fX(x)和fY(y)為(X,Y)關于X和Y的邊緣密度函數,簡稱為邊緣密度。且有(3)f(x,y)與fX(x),fY(y)之間的關系例3.7設隨機變量X和Y具有聯合分布求X和Y邊緣密度（可見書）(我們分析被積函數在xy平面上不為0的區域如下:)1)2)3.4隨機變量的獨立性一、兩個隨機變量的獨立性定義設F(x,y)是二維隨機變量(X,Y)的分布函數，FX(x)，FY(y)分別是X與Y的邊緣分布函數，若對一切x,y∈R，均有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)?P(Y≤y)即F(x,y)=FX(x)?FY(y)則稱隨機變量X與Y是相互獨立的。隨機變量X與Y是相互獨立的充要條件是事件(X≤x)與事件(Y≤y)相互獨立。1若(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…,則X與Y相互獨立的充分