2023-2024學年湖南省百所重點高中高二數學第一學期期末學業質量監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數是偶函數且在上是減函數的是A. B.C. D.2．等比數列的公比為，則“”是“對于任意正整數n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.4．設命題，則為A. B.C. D.5．算盤是中國傳統計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數術記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下撥一粒上珠，往上撥3粒下珠，得到的數為質數（除了1和本身沒有其它的約數）的概率是（）A. B.C. D.6．曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．一質點從出發，做勻速直線運動，每秒的速度為秒后質點所處的位置為（）A. B.C. D.8．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.99．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.10．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.411．已知雙曲線，則“”是“雙曲線的焦距大于4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．設雙曲線的虛軸長為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”.（1）設，則在上的“新駐點”為___________；（2）如果函數與的“新駐點”分別為、，那么和的大小關系是___________.14．已知數列滿足，，則_____________.15．雙曲線的焦點在圓上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點滿足（其中O是坐標原點），則的面積是_________16．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，則點G橫坐標的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）將離心率相同的兩個橢圓如下放置，可以形成一個對稱性很強的幾何圖形，現已知.（1）若在第一象限內公共點的橫坐標為1，求的標準方程；（2）假設一條斜率為正的直線與依次切于兩點，與軸正半軸交于點，試求的最大值及此時的標準方程.18．（12分）平面直角坐標系中，曲線與坐標軸交點都在圓上.（1）求圓的方程；（2）圓與直線交于，兩點，在圓上是否存在一點，使得四邊形為菱形？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，說明理由.19．（12分）已知點，，設動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動直線l經過點，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由20．（12分）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答：已知等差數列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）21．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的單調區間；（2）若函數在其定義域上是增函數，求實數的取值范圍.22．（10分）某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策，不超過12站的地鐵票價如下表：乘坐站數票價（元）246現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過12站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙下地鐵的方案共有多少種？（2）若甲、乙兩人共付費8元，則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，為一次函數，不是偶函數，不符合題意；對于B，，，為奇函數，不是偶函數，不符合題意；對于C，，為二次函數，是偶函數且在上是減函數，符合題意；對于D，，，為奇函數，不是偶函數，不符合題意；故選C【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判定，關鍵是掌握常見函數的奇偶性與單調性，屬于基礎題2、D【解析】結合等比數列的單調性，根據充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D3、D【解析】建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設正方體的棱長為2，連接，以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D4、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應該為，即本題的正確選項為C.5、B【解析】根據古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題有，算盤所表示的數可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是質數的有：17，71，53，故所求事件的概率為故選：B6、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.7、A【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】2秒后質點所處的位置為.故選：A【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，考查了基本知識掌握的情況以及學生的綜合素養，屬于基礎題.8、C【解析】由，，共面，設，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(實數m、n)，即，∴，解得故選：C9、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A10、A【解析】利用正態分布的對稱性和概率的性質即可【詳解】由，且則有：根據正態分布的對稱性可知：故選：A11、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件，再進行判斷即可【詳解】若的焦距，則；若，則故選：A12、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】（1）根據“新駐點”的定義求得，結合可得出結果；（2）求出的值，利用零點存在定理判斷所在的區間，進而可得出與的大小關系.詳解】（1），，根據“新駐點”的定義得，即，可得，，解得，所以，函數在上的“新駐點”為；（2），則，根據“新駐點”的定義得，即.，則，由“新駐點”的定義得，即，構造函數，則函數在定義域上為增函數，，，，由零點存在定理可知，，.故答案為：（1）；（2）.【點睛】本題考查導數的計算，是新定義的題型，關鍵是理解“新駐點”的定義.14、【解析】由題設可得，應用累加法有，結合已知即可求.【詳解】由題設，，所以，又，所以.故答案為：.15、【解析】根據雙曲線的焦點在圓上可求出的值，設線段與軸的交點坐標為，進而根據求出的坐標，代入圓中，求出的值，即可求出結果.【詳解】因為雙曲線的焦點在圓上，所以，設線段與軸的交點坐標為，結合雙曲線與圓的對稱性可知為線段的中點，又因為，即，且，則，又因為直線的方程為，所以，又因為在圓上，所以，又因為，則，所以，從而，故,故答案為：.16、【解析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.【詳解】設直線的方程為，聯立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根設點、，設的中點為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）；【解析】（1）設，將點代入得出的標準方程；（2）聯立與直線的方程，得出兩點的坐標，進而得出，再結合導數得出的最大值及此時的標準方程.【小問1詳解】由題意得：在第一象限的公共點為設，則有：的標準方程為：；【小問2詳解】設y=kx+m則①，則②，，，又，由①有代入①有，令，則令，在單調遞增，在單調遞減，此時，則，代入②得，綜上：的最大值2，此時.18、（1）；（2）存在，直線方程為或.【解析】（1）利用待定系數法即求；（2）利用直線與圓的位置關系可得，然后利用菱形的性質可得圓心到直線的距離，即得.【小問1詳解】曲線與軸的交點為，與軸的交點為，，設圓的方程為，則，解得.∴圓的方程為；【小問2詳解】∵圓與直線交于，兩點，圓化為，圓心坐標為，半徑為.∴圓心到直線的距離，解得.假設存在點，使得四邊形為菱形，則與互相平分，∴圓心到直線的距離，即，解得，經驗證滿足條件.∴存在點，使得四邊形為菱形，此時的直線方程為或.19、（1）；（2）直線AC和BD的斜率之比為定值【解析】（1）設，依據兩點的斜率公式可求得曲線E的方程（2）設直線l：，，，聯立方程得，得出根與系數的關系，表示直線AC的斜率，直線BD的斜率，并代入計算，可得其定值.【詳解】解：（1）設，依題意可得，所以，所以曲線E的方程為（2）依題意，可設直線l：，，，由，可得，則，，因為直線AC的斜率，直線BD的斜率，因為，所以，所以直線AC和BD的斜率之比為定值20、；【解析】將條件①②③轉化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項公式，從而表示出，利用裂項相消法求和.【詳解】選①：設等差數列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選②：設等差數列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選③：設等差數列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以【點睛】數列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數列、與二項式系數、對稱性相關聯的數列的求和(2)錯位相減：用于等差數列與等比數列的積數列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數列的和或差數列的求和21、（1）在、上遞增，在上遞減；（2）.【解析】【小問1詳解】由題設，且定義域為，則，當或時，；當時，.所以在、上遞增，在上遞減.【小問2詳解】由題設，在上恒成立，所以在上恒成立，當時，滿足題設；當時，，可得.綜上，.22、（1）24（種）（2）21（種）【解析】（1）先根據共付費6元得一人付費2元一人付費4元，再確定人與乘坐站數，即可得結果；（2）先根據共付費8元得一人付費2元一人付費6元或兩人都付費4元，再求甲比乙先下地鐵的方案數.【小問1詳解】由已知可得：甲、乙兩人共付費6元，則甲、乙一人付費2元一人付費4元，又付費2元的乘坐站數有1，2，3三種選擇，付費4元的乘坐站數有4，5，6，7四種